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滚动小专题(九)矩形中的折叠问题——人教八下P64数学活动1的变式与应用【教材母题】如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，可以采用下面的方法(如图)：(1)对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；(2)再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM.同时，得到了线段BN.观察所得的∠ABM，∠MBN和∠NBC，这三个角有什么关系？你能证明吗？通过证明可知，这是从矩形得到30°角的好方法，简单而准确，因此，15°，60°，150°等角就容易得到了．【自主解答】∠ABM＝∠MBN＝∠NBC＝30°.证明：过点N作NG⊥BC于点G.由折叠知，△ABM≌△NBM，BN＝AB＝2BE.易知四边形BGNE是矩形，∴NG＝BE＝12BN.∴在Rt△BNG中，∠NBG＝30°.又∠ABM＝∠NBM，∴∠ABM＝∠NBM＝∠NBG＝30°.【方法归纳】1.折叠的常见图形有：2．折叠的性质：图形的折叠部分在折叠前后是全等图形，两图形关于折痕成轴对称．3．折叠问题常用方法：(1)找出折叠后出现的等角、等边并结合图形本身特点借助于勾股定理构造方程求解；(2)利用相似三角形由相似比列方程求解．1．(2016·南充)如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平，再一次折叠，使点D落到EF上G点处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为(C)A．30°B．45°C．60°D．75°第1题图第2题图2．将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知∠CED′＝60°，则∠BAD′的大小是(A)A．30°B．45°C．50°D．60°3．如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使BC，AD边与对角线AC重叠，且顶点B，D恰好落在同一点O上，折痕分别是CE，AF，则AEEB等于(B)A.3B．2C．1.5D.2第3题图第4题图4．如图，四边形ABCD是矩形，AB∶AD＝4∶3，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE，则DE∶AC＝(D)A．1∶3B．3∶8C．8∶27D．7∶255．取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图(1)；第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′，得Rt△AB′E，如图(2)；第三步：沿EB′线折叠得折痕EF，如图(3)．若AB＝3，则EF的值是(B)A．1B．2C．3D．46．(2017·咸宁)如图，点O是矩形纸片ABCD的对称中心，E是BC上一点，将纸片沿AE折叠后，点B恰好与点O重合，若BE＝3，则折痕AE的长为6．第6题图第7题图7．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE，EF为折痕，∠BAE＝30°，AB＝23，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处，则BC的长为6．8．对一张矩形纸片ABCD进行折叠，具体操作如下：第一步：先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开；第二步：再一次折叠，使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA′，EA′，展开，如图1；第三步：再沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，展开，如图2.(1)证明：∠ABE＝30°；(2)证明：四边形BFB′E为菱形．证明：(1)∵对折后AD与BC重合，折痕是MN，∴点M是AB的中点．∴A′是EF的中点．∵∠BA′E＝∠A＝90°，∴BA′垂直平分EF.∴BE＝BF.∴∠A′BE＝∠A′BF.由翻折的性质，得∠ABE＝∠A′BE，∴∠ABE＝∠A′BE＝∠A′BF.∴∠ABE＝13×90°＝30°.(2)∵沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，∴BE＝B′E，BF＝B′F.∵BE＝BF，∴BE＝B′E＝B′F＝BF.∴四边形BFB′E为菱形．9．(2017·济宁)实验探究：(1)如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开；再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN.请你观察图1，猜想∠MBN的度数是多少，并证明你的结论．(2)将图1中的三角形纸片BMN剪下，如图2，折叠该纸片，探究MN与BM的数量关系，写出折叠方案，并结合方案证明你的结论．解：(1)猜想：∠MBN＝30°.证明：连接AN.∵直线EF是AB的垂直平分线，∴AN＝NB.由折叠可知，BN＝AB.∴AB＝BN＝AN.∴△ABN是等边三角形．∴∠ABN＝60°.∴∠MBN＝∠ABM＝12∠ABN＝30°.(2)结论：MN＝12BM.折叠方案：折叠△BMN，使得点N落在BM上O处，折痕为MP，连接OP.证明：由折叠可知△MOP≌△MNP，∴MN＝OM，∠OMP＝∠NMP＝12∠OMN＝30°＝∠B，∠MOP＝∠MNP＝90°.∴∠BOP＝∠MOP＝90°.∵OP＝OP，∴△MOP≌△BOP.∴MO＝BO＝12BM.∴MN＝12BM.