第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题（初二组）

第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题（初二组）（时间：2007年4月21日10：00~11：30）一、填空题（每题10分，共80分）1、已知4ba，042cab，则cba的值为。2、已知0)2(12aba，则)2007)(2007(1)1)(1(11babaab的值为。3、在平面直角坐标系中，点P]1)1([mmm，（m为实数）不可能在第象限。4、有一只手表每小时比准确时间慢3分钟，若在清晨4：30与准确时间对准，则当天上午手表指示的时间是10：50，准确时间应该是。5、如图，P是平行四边形ABCD内一点，且S△PAB＝5，S△PAD＝2，则阴影部分的面积为。6、若10个数据的平均数是22，平方和是10，则方差是。7、若直线1103457323yx与直线897543177yx的交点坐标是（a，b），则222004ba的值是。8、某校组织师生春游，如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座客车，可以少租一辆，且余30个座位。则该校去参加春游的人数为；若已知45座客车的租金为每辆250元，60座客车租金为每辆CBADP300元，这次春游同时租用这两种客车，其中60座客车比45座客车多租1辆，所以租金比单独一种客车要节省，按这种方案需要租金元。二、解答题（每题10分，共40分，要求写出解题过程）9、已知fexdxcxbxaxx23455)1(，求下列各式的值：（1）fedcba（2）edcb（3）eca10、如图所示，在△ABC中，AC＝7，BC＝4，D为AB的中点，E为AC边上一点，且∠AED＝90°＋21∠C，求CE的长。ADBCE11、已知n是正整数，且12n与13n都是完全平方数。是否存在n，使得35n是质数？如果存在，请求出所有n的值；如果不存在，请说明理由。12、某市电话号码原为六位数，第一次升位是在首位数和第二位数之间加上3成为一个七位数；第二次升位是在首位数前加上2成为一个八位数，某人发现他家中的电话号码升位后的八位数恰好是原六位数的电话号码的33倍。问这家原来的电话号码是多少？第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题参考答案（初二组）一、填空（每题10分，共80分）题号12345678答案020092008二11：103212008270，1400注：第8题，每空5分。1-8题参考答案提示：1、解：因为042cab，即0)4(2cab，所以4ab，0c。0)4(4164)()(22abbaba，所以cba=0。2、解：由非负性可得：1a，2b，原式=200920082009120081413131212112009200814313212113、解：（1）当0)1(mm时，有010mm或010mm，所以0m或1m，因此11m或21m，即P]1)1([mmm，经过第一、四象限。（2）当0)1(mm时，有010mm或010mm，所以01m，因此112m，即P]1)1([mmm，经过第四象限。综合得，P]1)1([mmm，不经过第二象限。4、解：11：10。设标准时间经过了x小时，则60)65105.4(3xx，解得x6小时40分。5、因为SPAB＋SPCD＝21SABCD＝SACD所以SACD－SPCD＝SPAB则SPAC＝SACD－SPCD－SPAD＝SPAB－SPAD＝5－2＝36、解：22)(1011021xxxx，102102221xxx，21]21102522210[101]10)(2)[(101]222[101])()()[(101210212102221210210222221212102221xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxS7、解：8975431771103457323yxyx，解得12yx，所以2a，1b，因此222004ba=20088、解：设该校去参加春游的人数为a人，则有1603045aa，解得a=270设租用45座客车x辆，则租用60座客车（x+1）辆，由题意若单独租45座客车需要270÷45=6辆，租金250×6=1500元，若单独租60座客车需要（270+30）÷60=5辆，租金300×5=1500元，则有270)1(60451500)1(300250xxxx，解得112434x∴x=2即租45座客车2辆，60座客车3辆，此时租金为：250×2+300×3=1400（元）二、解答题（每题10分，共40分，要求写出解题过程）9、解：（1）令1x，即可得32fedcba；（2）比较两边系数，因为1fa，所以30edcb；（3）再令1x，可得0fedcba，与（1）中的结论相减再除以2，即可得16eca。评分参考：第（1）小题3分，第（2）小题3分，第（3）题4分。10、解：作BF∥DE交AC于F，作∠ACB的平分线交AB于G，交BF于H。…………（1分）则∠AED＝∠AFB＝∠CHF＋21∠C。……………………………………………………（2分）因为∠AED＝90°＋21∠C，所以∠CHF＝90°＝∠CHB。……………………………（3分）又∠FCH＝∠BCH，CH＝CH。∴△FCH≌△BCH。……………………………………………………（5分）∴CF＝CB＝4，…………………………………（6分）∴AF＝AC－CF＝7－4＝3。………………（7分）∵AD＝DB，BF∥DE∴AE＝EF＝1.5。………………（9分）∴CE＝5.5。………………（10分）评分参考：见解答过程，有答案没有过程，只给2分。11、解：不存在正整数n，使得35n是质数。理由如下：…………（1分）设212kn，213mn，其中k，m都是正整数，则)2)(2(4)13()12(43522mkmkmknnn。…………………（4分）若12mk，则35n不是质数；…………………………………………………（7分）若12mk，则12235mmkn，于是2)35()13(2)12(12)1(222nnmmmmm02n，矛盾。…………………………………………………………………（9分）综上所述，不存在正整数n，使得35n是质数。………………………………（10分）评分参考：见解答过程。12、解：设原电话号码为abcdef，则升位后为bcdefa32，令bcdefx，…………（2分）∴bcdefaabcdef3233，即xaxa100000020300000)100000(33，化简得ax2300000203000003291(a，1000000x的整数），………………（6分）故100000)23203(31250ax，20323171a，∴8a。…………………………………………………………………………………………（8ADBCEFGH分）于是59375)823203(3125x。故所求的电话号码为859375。…………………………………………………………………（10分）评分参考：见解答过程，有答案没有过程，只给4分。