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第16讲直角三角形知识点1直角三角形的性质与判定1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数是(B)A．40°B．50°C．60°D．70°2．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，下列结论错误的是(B)A．图中有三个直角三角形B．∠1＝∠2C．∠1和∠B都是∠A的余角D．∠2＝∠A知识点2含30°角的直角三角形的性质3．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则BC＝(A)A．6B．62C．63D．12第3题图第4题图4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，AB＝4，则下列结论中不正确的是(D)A．BC＝2B．BD＝1C．AD＝3D．CD＝2知识点3直角三角形斜边上的中线的性质5．如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若AB＝10，则CE＝5．第5题图第6题图6．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝20°，则∠BDC＝40°．知识点4勾股定理7．直角三角形的斜边长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为6．8．把一个边长为1的正方形如图所示放在数轴上，以正方形的对角线为半径画弧交数轴于点A，则点A对应的数是2．第8题图第9题图9．如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为18__m．知识点5勾股定理的逆定理10．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是(B)A．4，5，6B．1.5，2，2.5C．2，3，4D．1，2，311．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为直角三角形．重难点1勾股定理及其逆定理已知，如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2－EA2＝AC2.(1)求证：∠A＝90°；(2)若DE＝3，BD＝4，求AE的长．【思路点拨】(1)连接CE，根据题意可知DE是BC的垂直平分线，则BE＝CE，由BE2－EA2＝AC2，可得CE2－EA2＝AC2，依据勾股定理的逆定理即可得证；(2)先分别用AE表示AB，AC，然后在Rt△ABC中依据勾股定理构造方程模型求解．【自主解答】(1)证明：连接CE，∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴CE＝BE.∵BE2－EA2＝AC2，∴CE2－EA2＝AC2，即EA2＋AC2＝CE2.∴△ACE是直角三角形，即∠A＝90°.(2)∵DE＝3，BD＝4，∴BE＝DE2＋BD2＝5＝CE.∴AC2＝EC2－AE2＝25－AE2.∵BC＝2BD＝8，∴在Rt△ABC中，由勾股定理可得：BC2－BA2＝64－(5＋AE)2＝AC2.∴64－(5＋AE)2＝25－AE2，解得AE＝75.【变式训练1】如图所示的一块地ABCD，已知AD＝4m，CD＝3m，∠ADC＝90°，AB＝13m，BC＝12m，则这块地的面积是24__m2．易错提示1．勾股定理应用的前提是这个三角形必须是直角三角形，解题时，只有在同一直角三角形中，才能利用它求第三边长．2．勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形的重要方法，应先确定最长边，然后验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方．重难点2直角三角形性质的应用(2017·青岛改编)如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD.(1)判断△DEB的形状，并说明理由；(2)当∠BAD的度数为多少时，△BED是等腰直角三角形；(3)若AC＝10，BD＝8，求△BDE的周长．【思路点拨】(1)根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知DE＝BE＝AE＝12AC；(2)利用等边对等角以及三角形外角的性质得出12∠DEB＝∠DAB，即可得出答案；(3)根据直角三角形斜边上的中线的性质求出ED，BE的值，再代入BD＋DE＋BE求出即可．【自主解答】(1)△DEB是等腰三角形．理由：在△ABC中，∵∠ABC＝90°，点E是AC的中点，∴BE＝12AC.同理，DE＝12AC.∴BE＝DE.∴△BED是等腰三角形．(2)∵AE＝ED，∴∠DAE＝∠EDA.∵AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA.∵∠DAE＋∠EDA＝∠DEC，∠EAB＋∠EBA＝∠BEC，∴∠DAB＝12∠DEB.∵△BED是等腰直角三角形，∴∠DEB＝90°.∴∠BAD＝45°.(3)∵AC＝10，∴DE＝12AC＝5，BE＝12AC＝5.∴△BDE的周长为BD＋DE＋BE＝8＋5＋5＝18.【变式训练2】(2016·南充)如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为(A)A．1B．2C.3D．1＋3,方法指导直角三角形中“斜边上的中线等于斜边的一半”，“30°角所对的直角边等于斜边的一半”都能揭示直角三角形中的边、线与斜边的关系，运用这两个性质时，要注意它们之间的区别．1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是(D)A．2，3，3B．2，3，4C．2，3，5D．3，4，52．(2017·南充)如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为(D)A．(1，1)B．(3，1)C．(3，3)D．(1，3)第2题图第3题图3．(2015·北京)如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为(D)A．0.5kmB．0.6kmC．0.9kmD．1.2km4．(2017·绍兴)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为(C)A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米第4题图第5题图5．(2017·枣庄)如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE.若AB的长为2，则FM的长为(B)A．2B.3C.2D．16．(2017·淮安)如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC＝∠ECA，则AC的长是(B)A．33B．6C．4D．5第6题图第7题图7．(2017·益阳)如图，△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，CD是AB边上的中线．则CD＝6.5．8．(2016·西宁)如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC＝4，则PD＝2．第8题图第9题图9．(2017·淮安)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是AB，AC的中点，点F是AD的中点，若AB＝8，则EF＝2．10．(2017·丽水)我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示．在图2中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为10．11．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE＝∠BAD.证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.又∵AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC.∴∠BAD＋∠ABC＝90°.∵BE⊥AC，∴∠CBE＋∠C＝90°.∴∠CBE＝∠BAD.12．(2017·荆州)《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为(D)A．x2－6＝(10－x)2B．x2－62＝(10－x)2C．x2＋6＝(10－x)2D．x2＋62＝(10－x)213．(2016·连云港)如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1，S2，S3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4，S5，S6.其中S1＝16，S2＝45，S5＝11，S6＝14，则S3＋S4＝(C)A．86B．64C．54D．4814．(2016·雅安)如图所示，底边BC为23，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于点D，则△ACE的周长为(A)A．2＋23B．2＋3C．4D．33第14题图第15题图15．(2017·扬州)如图，把等边△ABC沿着DE折叠，使点A恰好落在BC边上的点Ρ处，且DΡ⊥BC，若BΡ＝4cm，则EC＝(2＋23)cm.16．(2017·常德)如图，已知Rt△ABE中，∠A＝90°，∠B＝60°，BE＝10，D是线段AE上的一动点，过D作CD交BE于C，并使得∠CDE＝30°，则CD长度的取值范围是0CD≤5．