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第24讲与圆相关的计算知识点1与正多边形有关的计算1．正八边形的中心角是(A)A．45°B．135°C．360°D．1080°2．正六边形的边心距是3，则它的边长是(B)A．1B．2C．23D．33知识点2弧长的计算3．弧长等于半径的圆弧所对的圆心角是(B)A.360°πB.180°πC.90°πD．60°4．如图，⊙O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，∠BAC＝36°，则劣弧BC的长是(B)A.15πB.25πC.35πD.45π知识点3扇形面积的计算5．半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是(D)A．3πB．6πC．9πD．12π6．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为120°，AB长为30cm，贴纸部分BD长为20cm，贴纸部分的面积为(A)A.8003πcm2B.5003πcm2C．800πcm2D．500πcm2第6题图第7题图7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝23，则阴影部分的面积为(D)A．2πB．πC.π3D.2π38．如图所示，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点O，A，B均为格点，则扇形OAB的面积是5π4．知识点4圆锥的有关计算9．如图，圆锥底面半径为rcm，母线长为10cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则r的值为(B)A．3B．6C．3πD．6π第9题图第10题图10．如图，把一个圆锥沿母线OA剪开，展开后得到扇形AOC，已知圆锥的高h为12cm，OA＝13cm，则扇形AOC中AC︵的长是10π__cm．(结果保留π)重难点弧长、扇形面积的计算(2017·枣庄改编)如图，在▱ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB＝12.(1)⊙O内接正三角形的边长为63；(2)以⊙O的下半圆制作一个无底的圆锥，则圆锥的高为33；(3)若∠C＝60°.①求EF︵的长．②求阴影部分的面积．【自主解答】①连接OE，OF，∵CD是⊙O的切线，∴OE⊥CD.∵AB∥CD，∴OE⊥AB，即∠AOE＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∠C＝60°，∴∠A＝∠C＝60°.∵OA＝OF，∴∠A＝∠OFA＝60°.∴∠AOF＝60°.∴∠EOF＝∠AOE－∠AOF＝30°.EF︵的长为30π×6180＝π.②根据①可知OE是▱ABCD的高，S▱ABCD＝12×6＝72，S△AOF＝34×62＝93，S扇形BOF＝120π×62360＝12π.S阴影＝S▱ABCD－S△AOF－S扇形BOF＝72－93－12π.【变式训练1】(2017·烟台)如图，▱ABCD中，∠B＝70°，BC＝6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则DE︵的长为(B)A.13πB.23πC.76πD.43π【变式训练2】(2017·达州)以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是(A)A.22B.32C.2D.3【变式训练3】(2017·苏州)如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，AC＝3，∠BOC＝2∠AOC，若用扇形OAC围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是12．变式训练3图变式训练4图【变式训练4】(2016·德州)如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是32－π6.,例题剖析(1)已知圆的直径的情况下，要求圆内接正三角形的边长，只需在含120°的等腰三角形中解出GH即可．含120°的等腰三角形三边之比为1∶1∶3；Ｋ,(2)考查圆锥的高线的计算，h＝\r(R2－r2)；(其中R表示圆锥的母线长，即半圆的半径，r表示圆锥底面圆的半径),(3)①求弧长的关键是求圆心角的度数，在求圆心角的度数时，涉及切线的性质，平行四边形的性质等等知识点；,②求阴影部分的面积关键是要转化成规则图形的面积，然后再进行计算．方法指导:求阴影部分面积的常用方法：(1)公式法：如果所求图形的面积是规则图形，如扇形、特殊四边形等，可直接利用公式计算；(2)和差法：所求图形的面积是不规则的图形，可通过转化成规则图形的面积的和或差；(3)等积变换法：直接求面积较麻烦或根本求不出时，通过对图形的平移、旋转、割补等，为公式法或和差法创造条件．1．(2017·株洲)下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是(A)A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形2．圆锥纸帽的侧面展开图是一个圆心角为120°，弧长为6πcm的扇形纸片，则圆锥形纸帽的侧面积为(C)A．9πcm2B．18πcm2C．27πcm2D．36πcm23．(2017·滨州)若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为(A)A.2B．22C.22D．14．(2017·湘潭)如图，在半径为4的⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，垂足为点E，∠AOB＝90°，则阴影部分的面积是(D)A．4π－4B．2π－2C．4πD．2π第4题图第5题图5．(2017·宁波)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝22，以BC的中点O为圆心分别与AB，AC相切于D，E两点，则DE︵的长为(B)A.π4B.π2C．πD．2π6．(2017·济宁)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1.将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为BD︵，则图中阴影部分的面积是(A)A.π6B.π3C.π2－12D.12第6题图第7题图7．(2017·黄石)如图，已知扇形OAB的圆心角为60°，扇形的面积为6π，则该扇形的弧长为2π．8．(2017·广州)如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，若圆锥的底面圆半径是5，则圆锥的母线l＝35．第8题图第9题图9．(2017·安徽)如图，已知等边△ABC的边长为6，以AB为直径的⊙O与边AC，BC分别交于D，E两点，则劣弧DE︵的长为π．10．(2017·荆门)已知：如图，△ABC内接于⊙O，且半径OC⊥AB，点D在半径OB的延长线上，且∠A＝∠BCD＝30°，AC＝2，则由BC︵，线段CD和线段BD所围成图形的阴影部分的面积为23－23π．11．(2017·郴州)如图，AB是⊙O的弦，BC切⊙O于点B，AD⊥BC，垂足为D，OA是⊙O的半径，且OA＝3.(1)求证：AB平分∠OAD；(2)若点E是优弧AEB︵上一点，且∠AEB＝60°，求扇形OAB的面积．(所求为劣弧AB所对扇形，计算结果保留π)解：(1)证明：连接OB，∵BC切⊙O于点B，∴OB⊥BC.∵AD⊥BC，∴AD∥OB.∴∠DAB＝∠OBA.∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.∴∠DAB＝∠OAB.∴AB平分∠OAD.(2)点E在AEB︵上，且∠AEB＝60°.∴∠AOB＝120°.∴S扇形OAB＝120°360°×π×AO2＝13×π×32＝3π.12．如图，四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是(A)A.2π3－3B.2π3－32C．π－32D．π－3第12题图第13题图13．(2017·宜宾)如图，⊙O的内接正五边形ABCDE的对角线AD与BE相交于点G，AE＝2，则EG的长是5－1．14．(2017·烟台)如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB.已知OA＝6，取OA的中点C，过点C作CD⊥OA交弧AB于点D，点F是弧AB上一点，若将扇形BOD沿OD翻折，点B恰好与点F重合．用剪刀沿着线段BD，DF，FA依次剪下，则剪下的纸片(形状同阴影图形)面积之和为36π－108．15．(2016·宜昌)如图，CD是⊙O的弦，AB是直径，且CD∥AB.连接AC，AD，OD，其中AC＝CD.过点B的切线交CD的延长线于E.(1)求证：DA平分∠CDO；(2)若AB＝12，求图中阴影部分的周长之和．(参考数据：π≈3.1，2≈1.4，3≈1.7)解：(1)证明：∵CD∥AB，∴∠CDA＝∠BAD.又∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠BAD.∴∠ADO＝∠CDA.∴DA平分∠CDO.(2)连接BD.∵AB是直径，∴∠ADB＝90°.∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠CDA.∵∠CDA＝∠BAD，∴∠CDA＝∠BAD＝∠CAD.∴AC︵＝DC︵＝BD︵.∴∠DOB＝60°.∴∠BAD＝12∠DOB＝30°.在△ADB中，∠DAB＝30°，∠ADB＝90°，∠ABD＝60°，AB＝12，∴BD＝12AB＝6.∵AC︵＝BD︵，∴AC＝BD＝6.∵BE切⊙O于B，∴BE⊥AB.∴∠DBE＝∠ABE－∠ABD＝30°.又∵CD∥AB，∴BE⊥CE.∴DE＝12BD＝3，BE＝BD·cos∠DBE＝6×32＝33.∴BD︵的长为60π×6180＝2π.又AC︵＝BD︵，∴AC︵的长为2π.∴图中阴影部分周长之和为2π＋6＋2π＋3＋33＝4π＋9＋33≈4×3.1＋9＋3×1.7＝26.5.