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第2课时图形的平移、位似与旋转知识点1图形的平移1．如图，△ABC中，BC＝5cm，将△ABC沿BC方向平移至△A′B′C′的位置时，A′B′恰好经过AC的中点O，则△ABC平移的距离为2.5cm.第1题图第2题图2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝4，△ABC的周长为14，将△ABC平移到△DEF的位置．(1)△ABC平移的方向是沿AD(或者是沿BC)方向；(2)△ABC平移的距离是4；(3)四边形ABFD的周长是22．知识点2图形的位似3．如图，E(－6，0)，F(－4，－2)，以O为位似中心，按比例尺1∶2把△EFO放大，则点F的对应点F′的坐标为(B)A．(－2，－1)或(2，1)B．(－8，－4)或(8，4)C．(－2，0)D．(8，－4)知识点3图形的旋转4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为(B)A．30°B．60°C．90°D．150°5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，F分别在AB，AC上，CF＝CB.连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF.求证：△BCD≌△FCE.证明：∵CD绕点C按顺时针方向旋转90°得CE，∴CD＝CE，∠DCE＝90°.∵∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°－∠ACD＝∠FCE.在△BCD和△FCE中，CB＝CF，∠BCD＝∠FCE，CD＝CE，∴△BCD≌△FCE(SAS)．知识点4网格作图6．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A(－3，2)，B(0，4)，C(0，2)．(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)以点C为对称中心，画出△ABC关于点C对称的△A2B2C2；(3)平移△ABC，使点A的对应点A3的坐标为(0，－4)，画出平移后对应的△A3B3C3；(4)将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得△AB4C4，请画出△AB4C4；(5)以点C为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半，得到△A5B5C.请在所给的坐标系中作出所有满足条件的图形．解：如图所示．重难点1平移的计算与证明(2017·扬州)如图，将△ABC沿着射线BC方向平移至△A′B′C′，使点A′落在∠ACB的外角平分线CD上，连接AA′.(1)判断四边形ACC′A′的形状，并说明理由；(2)在△ABC中，∠B＝90°，AB＝24，cos∠BAC＝1213，求CB′的长．【思路点拨】(1)根据平移的特征可知四边形ACC′A′是平行四边形，再根据CD是角平分线，可证明一组邻边相等，即可得四边形ACC′A′的形状；(2)根据平移的特征可知，B′C′＝BC，∠B′＝∠B＝90°，求出BC的长，就知道CB′的长．【自主解答】(1)四边形ACC′A′是菱形，理由如下：∵△A′B′C′是由△ABC沿着射线BC平移得到的，∴AA′∥CC′且AA′＝CC′.∴四边形ACC′A′是平行四边形．∵CD平分∠ACC′，∴∠ACA′＝∠A′CC′.∵AA′∥CC′，∴∠AA′C＝∠A′CC′.∴∠ACA′＝∠AA′C.∴AC＝AA′.∴四边形ACC′A′是菱形．(2)在△ABC中，∠B＝90°，AB＝24，cos∠BAC＝1213，∴AC＝26，BC＝10.∴CC′＝AA′＝AC＝26.∵△A′B′C′是由△ABC沿着射线BC平移得到的，∴B′C′＝BC＝10.∴CB′＝26－10＝16.【变式训练1】(2017·苏州)如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝8，F是AB的中点．过点F作FE⊥AD，垂足为E.将△AEF沿点A到点B的方向平移，得到△A′E′F′.设P，P′分别是EF，E′F′的中点，当点A′与点B重合时，四边形PP′CD的面积为(A)A．283B．243C．323D．323－8,方法指导解决平移相关的问题，关键要紧扣平移的性质特征：①对应线段平行(或共线)且相等；②对应点的连线平行且相等；③平移前后的图形全等．重难点2位似在平面直角坐标系中，点C，D的坐标分别为C(2，3)，D(1，0)，现以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB.若点D的对应点B在x轴上且OB＝2，则点C的对应点A的坐标为(4，6)或(－4，－6)．,方法指导确定以坐标原点为位似中心的位似变换，先根据对应边的长确定位似比，然后根据坐标的变化规律与位似比之间的关系确定变换后的坐标．易错提示已知位似中心和位似比的位似变换，要注意分位似变换的两个图形在位似中心的同侧和两侧两种情况．【变式训练2】(2017·成都)如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA∶OA′＝2∶3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为(A)A．4∶9B．2∶5C．2∶3D.2∶3重难点3旋转的计算与证明(1)(2017·广州)如图，将正方形ABCD中的阴影三角形绕点A顺时针旋转90°后，得到图形为(A)方法指导图形的旋转变换为全等变换，在解题时应充分运用其性质解题．如旋转前、后的两个三角形全等，利用全等的性质就可以求出线段的长或角的度数.60°的旋转考虑有没有等边三角形，45°的旋转考虑有没有等腰直角三角形．(2)(2016·无锡)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C，当A1落在AB边上时，连接B1B，取BB1的中点D，连接A1D，则A1D的长度是(A)A.7B．22C．3D．23【变式训练3】(2016·株洲)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到△A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC，A′B′交于点O，则∠COA′的度数是(B)A．50°B．60°C．70°D．80°,重难点4平移、对称、旋转、位似作图(2016·聊城改编)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－3，5)，B(－2，1)，C(－1，3)．(1)若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为(4，0)，写出顶点A1，B1的坐标；(2)若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称，写出△A2B2C2的各顶点的坐标；(3)若△ABC和△A3B3C3关于点(－1，1)位似，位似比为1∶2，画出△A3B3C3，并写出△A3B3C3各顶点的坐标；(4)将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A4B4C4，写出△A4B4C4的各顶点的坐标，并求出点C旋转的路径长．【自主解答】(1)如图，△A1B1C1为所作，∵点C(－1，3)平移后的对应点C1的坐标为(4，0)，∴△ABC先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A1B1C1.∴点A1的坐标为(2，2)，点B1的坐标为(3，－2)．(2)∵△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称，∴A2(3，－5)，B2(2，－1)，C2(1，－3)．(3)如图，△A3B3C3为所作，A3(3，－7)，B3(1，1)，C3(－1，－3)．(4)如图，△A4B4C4为所作，A4(5，3)，B4(1，2)，C4(3，1)．OC＝32＋12＝10，点C旋转的路径长为：90·π·10180＝102π.,方法指导1．平移、对称、旋转与位似作图的一般步骤：(1)确定原图形中的关键点；(2)按要求作出原图形中各关键点的对应点；(3)按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点.2.点的坐标变化规律：(1)点的坐标对称规律：点A(x，y)――→关于x轴对称点A′(x，－y)；Ｋ点A(x，y)――→关于y轴对称点A′(－x，y)；点A(x，y)――→关于原点对称点A′(－x，－y)；点A(x，y)――→关于原点位似位似比为k点A′(kx，ky)或(－kx，－ky)．(2)点的坐标平移规律(上加下减，右加左减)：(3)点的坐标旋转规律(以原点O为旋转中心，旋转角为特殊角)：点A(x，y)――→绕原点O顺时针旋转90°点A′(y，－x)；点A(x，y)――→绕原点O逆时针旋转90°点A′(－y，x)；点A(x，y)――→绕原点O顺（逆）时针旋转180°点A′(－x，－y)1．(2017·枣庄)将数字“6”旋转180°，得到数字“9”；将数字“9”旋转180°，得到数字“6”．现将数字“69”旋转180°，得到的数字是(B)A．96B．69C．66D．992．(2017·泰安)如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转角α得到的，点A′与A对应，则角α的大小为(C)A．30°B．60°C．90°D．120°第2题图第3题图3．如图，在平面直角坐标系中，点B，C，E在y轴上，Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE，若点C的坐标为(0，1)，AC＝2，则这种变换可以是(A)A．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位长度B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1个单位长度C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1个单位长度D．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3个单位长度4．(2016·台州)如图，把三角板的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，则顶点C平移的距离CC′＝5．第4题图第5题图5．(2017·兰州)如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是点O，OEOA＝35，则FGBC＝35．6．(2017·北京)如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB可以看作是△OCD经过若干次图形的变化(平移、轴对称、旋转)得到的，写出一种由△OCD得到△AOB的过程：先向左平移2个单位长度，再绕原点O顺时针旋转90°．第6题图第7题图7．(2016·大连)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE＝90°，AB＝1，则BD＝2．8．(2017·宁夏)在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，3)，B(1，1)，C(5，1)．(1)把△ABC平移后，其中点A移到点A1(4，5)，画出平移后得到的△A1B1C1；(2)把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的△A2B2C2.解：(1)(2)如图．9．已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE＝CG，连接BG并延长交DE于F.(1)求证：△BCG≌△DCE；(2)将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形，并说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝DC，∠BCG＝90°.∵∠BCG＋∠DCE＝180°，∴∠BCG＝∠DCE＝90°.在△BCG和△DCE中，BC＝DC，∠BCG＝∠DCE，CG＝CE，∴△BCG≌△DCE(SAS)．(2)四边形E′BGD是平行四边形．理由：∵△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，∴CE＝AE′.∵CG＝CE，∴CG＝AE′.∵四边形ABCD是正方形，∴BE′∥DG，AB＝CD.∴AB－AE′＝CD－CG，即BE′＝DG.∴四边形E′BGD是平行四边形．10．(2016·昆明)如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)．(1)请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1；(2)请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2；(3)在x轴上找一点P，使PA＋PB的值最小，请直接写出点P的坐标．解：(1)如图所示．(2)如图所示．(3)P(2，0)．11．(2016·菏泽)如图，A，B的坐标分别为(2，0)，(0，1)，若将线段AB平移至A1B1，则a＋b的值为(A)A．2B．3C．4D．5第11题图第12题图12．(2016·河南)如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为(B)A．(1，－1)B．(－1，－1)C．