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1《金融工程》（第2版）计算题答案第二章计算题1、假设现在6个月即期利率为10%（半年复利一次，下同），1年期的即期利率是12%。如果有人把今后6个月到1年期的远期利率定为11%，试计算说明这样的市场行情能否产生套利活动？答：按6个月即期利率10%和远期利率11%计算，有(1+10%/2)(1+11%/2)=1.108按1年期即期利率12%(半年复利一次)计算，有(1+12%/2)2显然，两者结果并不相等，所以市场上的远期利率如果是11%时，则一定存在套利机会。=1.1242、假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。假设现在的无风险年利率等于10%，现在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。答：为了找出该期权的价值，可构建一个由一单位看涨期权空头和Δ单位的标的股票多头组成的组合。为了使该组合在期权到期时无风险，Δ须满足下式：11Δ-max(0,11-10.5)=9Δ-max(0,9-10.5)即11Δ-0.5=9Δ-0Δ=0.25由于11Δ－0.5=9Δ=2.25，该无风险组合的现值应为：2.25e-10%×3/12因当前股票市价是10元，有=2.1910Δ-f=10×0.25-f=2.19得f=2.5-2.19=0.31元3.一只股票现在的价格是40元，该股票一个月后的价格将上涨到42元或者是下降到38元。假如市场无风险利率是8%，运用无套利原理说明，执行价格为39元的一个月欧式看涨期权的价值是多少？答：为了找出该期权的价值，可构建一个由一单位看涨期权空头和Δ单位的标的股票多头组成的组合。为了使该组合在期权到期时无风险，Δ须满足下式：42Δ-max(0,42-39)=38Δ-max(0,38-39)即42Δ-3=38Δ-0Δ=0.75由于42Δ-3=38Δ=28.5，该无风险组合的现值应为：28.5e-0.08×1/12因当前股票市价是40元，有=28.3040Δ-f=40×0.75-f=28.30得f=30-28.30=1.70元4.条件同上题，试用风险中性定价法计算看涨期权的价值，并比较两种计算的结果。答：假定所有投资者都是风险中性的，设此时股票价格上升概率为P、下跌概率为l-P，该风险中性概率由市场平均风险厌恶程度所决定，可依据无风险利率计算：2e－8%×1/12e[42×P+38×(1-P)]=40－0.02/3可得P=0.567[4P+38]=40根据风险中性定价原理，对该期权未来的期望值加以折现就得到期权期初的价值：f=e－8%×1/12f=0.993×[3×0.567+0×0.433)=1.70(元)[max(0,42-39)P+max(0,38-39)(1-P)]第三章计算题1．某项资产的年波动率为35%，该资产目前的市场价值为40万元，计算该资产置信度为99%时，一星期时间的在险价值(VaR)为多少？答：由于σ=35%、S0VAR=2.33=40万元、T=1/52年，当置信度为99%时，该资产在险价值为：TSσ0=4.52362．假设某公司持有甲、乙、丙三种股票构成的证券组合，其β系数分别是1.5、1.3和0.9，各自在证券组合中所占的比重分别是35％、35％和30％，此时证券市场的平均收益率为12％，无风险收益率为5％。请问上述组合投资的风险溢价和收益率分别是多少？答：组合投资的贝塔系数为：βp=Σwi·βi组合投资的风险溢价为：R=35％×1.5+35％×1.3+30％×0.9=1.25p=βp·(Rm-Rf=1.25×(12％-)组合投资的总收益率为：R=5％)=8.75％Rf＋Rp=5％+8.75％=13.75％3．有A、B两只股票，当前价格分别为30元每股和25元每股，若股票市场出现牛市的概率为35%，A、B股票价格分别上涨10元每股和5元每股；股票市场出现熊市的概率为45%，A、B股票价格分别下跌10元每股和5元每股；股票市场维持现状的概率为20%。你作为投资者，在A、B股票中会如何选择？答：A、B两只股票的期望收益各为：E(RA)=ΣRAi·PiE(R=30×20%+40×35%+20×45%=29（元）B)=ΣRBi·PiA、B两只股票的期望收益率各为：=25×20%+30×35%+20×45%=24.5（元）E(rA)=[E(RA)-RA]／RAE(r=(29-30)／30=-3.33%（元）B)=[E(RB)-RB]／RB所以应选择B股票，因为在给定条件下，B股票的预期损失率要小于A股票。=(24.5-25)／25=-2.00%（元）第四章计算题1.假设两种证券构成一市场投资组合，它们的期望收益、标准差和投资比例如下表所示。若两种证券的相关系数为0.4，市场无风险利率为6%，请写出其资本线方程。证券期望收益标准差投资比例AB0.120.180.150.250.30.7答：由于σA﹥0、σB﹥0，故A、B两种证券均为风险资产，其构成的投资组合的期望收益E(rAB)和标准差σAB为：3=0.3×0.12+0.7×0.18=0.162(元)=(0.3×0.15)2+(0.7×0.25)2σ+2×0.3×0.7×0.4×0.15×0.25=0.03895AB=(0.03895)½A、B两种证券投资组合与无风险资产构成的资本配置线(CAL)方程为：=0.1972.假设市场投资组合由四种证券组成，它们的投资比例、市场的协方差如下表所示。请计算该市场投资组合的标准差。证券与市场的协方差投资比例A2420.2B3600.3C1550.2D2100.3答：该市场投资组合的方差为：=(0.2×242+0.3×360+0.2×155+0.3×210)×10-3标准差为:σ=0.2504P=(0.2504)½=0.53、假定市场资产组合的风险溢价的期望值为8%，标准差为22%，如果一资产组合由25%的通用公司股票（βGM=1.10）和75%的福特公司股票（βFord答：该资产组合的贝塔系数β=1.25）组成，那么这一资产组合的风险溢价是多少？P为：=(0.25×1.10)+(0.75×1.25)因为市场资产组合的风险溢价E(r=1.2125M)-rf=8%，故该资产组合的风险溢价E(rP)-rf为：=1.2125×8%=9.7%第八章计算题1.一份本金为10亿美元的利率互换还有10月的期限。这笔互换规定以6个月的LIBOR利率交换12%的年利率（每半年记一次复利）。市场上对交换6个月的LIBOR利率的所有期限的利率的平均报价为10%（连续复利）。两个月前6个月的LIBOR利率为9.6%。请问上述互换对支付浮动利率的那一方价值为多少？对支付固定利率的那一方价值为多少？答：运用债券组合为该利率互换估值，设甲方支付浮动利率LIBOR，收入固定利率12%；乙方支付固定利率12%，收入浮动利率LIBOR；并设各变量、参数符号如下。fixB：互换合约中分解出的固定利率的价值；flB：互换合约中分解出的浮动利率的价值。it：当前距第i次现金流交换的时间(1≤i≤n)；L：利率互换合约中的名义本金额；)()()(BBAAABrEwrEwrE+=BABABBAAAB=fABABABprwrEwrE⋅−+⋅=)1()()(ABPPABfABfwrrEr⋅+=−+=−+=102.006.0197.006.0162.006.0)(σσσABfABABABP)1(=⋅−+⋅=σσσimiiPwσσΣ=2FordFordGMGMPwwβββ⋅+⋅=])([)(fMPfprrErrE−=−β4ir：到期日为it的LIBOR零息票利率；k：支付日支付的固定利息额。固定利率的价值为：nniitrnitrfixLekeB−=−+=∑1Bfix=10×12％×½×(e－10%×4/12+e－10%×10/12)+10e=0.6×(0.9672+0.9200)+10×0.9200=10.132(10亿美元)－10%×10/12浮动利率的价值为：11)(*trflekLB−+=Bfl=10e－10%×10/12+10×9.6％×½×e－10%×4/12+10×10％×½×e=10×0.9200+0.48×0.9672+0.5×0.9200=10.124(10亿美元)－10%×10/12该互换对甲方价值为：flfixBBV−=甲=10.132-10.124=0.008(10亿美元)=800(万美元)该互换对乙方价值为：甲乙VBBVfixfl−=−==-0.008(10亿美元)=-800(万美元)2.甲公司希望以固定利率借入美元，而乙公司希望以固定利率借入日元，而且本金用即期汇率计算价值很接近。市场对这两公司的报价如下：公司日元美元甲公司5.0%9.6%乙公司6.5%10.0%请设计一个货币互换，银行作为中介获得的报酬是50个基点，而且要求对互换双方具有同样的吸引力，汇率风险由银行承担。答：甲公司和乙公司的货币互换设计如下图，其中甲公司美元利率降低：9.6%-9.3%=0.3%乙公司日元利率降低：6.5%-5.5%-(10%-9.3%)=0.3%中介银行获得的报酬为：5.5%-5%=0.5%(即50个基点)3.甲公司和乙公司如果在金融市场上借入5年期本金为2000万美元的贷款，需支付的年利率分别为：公司固定利率浮动利率甲公司12.0%LIBOR+0.1%乙公司13.4%LIBOR+0.6%甲公司需要的是浮动利率贷款，乙公司需要的是固定利率贷款。请设计一个利率互换，其中银行作为中介获得的报酬是0.1%的利差，而且要求互换对双方具有同样的吸引力。答：甲公司和乙公司的利率互换设计如下图，其中甲公司利率降低：12.3%-12%+[(LIBOR+0.1%)-LIBOR])=0.4%甲公司乙公司中介银行日元5%日元5.5%美元9.3%美元9.3%美元10%(美元9.6%)(日元6.5%)日元5%5乙公司利率降低：13.4%-12.4%-[(LIBOR+0.6%)-LIBOR]=0.4%中介银行获得的利差报酬为：12.4%-12.3%=0.1%4、甲公司和乙公司若要在金融市场上借入5年期本金为2000万元的贷款，需支付的年利率分别为：公司固定利率浮动利率甲公司9%LIBOR+0.25%乙公司10%LIBOR+0.75%甲公司需要的是浮动利率贷款，乙公司需要的是固定利率贷款。假设乙公司将在市场上以LIBOR+0.75%的利率接入2000万元后又借给甲公司，乙公司再从甲公司接入2000万的固定利率贷款。问：(1)这样可行吗？互换的理论依据是什么？(2)甲乙公司合计降低融资成本多少？以利率表示。(3)甲给乙的贷款的固定利率有效范围。答：(1)可行。甲公司在固定利率市场上比乙公司优惠1%，乙公司在浮动利率市场上比甲公司仅贵0.5%，可以通过互换共同降低成本1%-0.5%=0.5%。(2)甲乙公司合计降低融资成本0.5%。站在甲、乙公司角度看，本来甲公司需要浮动利率贷款，成本为LIBOR+0.25%，乙公司需要固定利率贷款，成本为10%，合计总成本为LIBOR+10.25%。现在通过互换，甲公司成本变为LIBOR+0.75%，乙公司变为9%，合计总成本为LIBOR+9.75%。所以合计成本降低10.25%-9.75%=0.5%。(3)范围是大于等于9.5%，小于等于10%。理论上可取等号，但若取等号的话，就与直接从银行借款一样了，所以实际上不应取等号值。可以这样来理解，甲从乙处借入浮动利率的贷款，比他直接从银行借款成本要高0.5%(=0.75%-0.25%)，故而他要从乙处取回这部分费用。所以当他借给乙方钱时，固定利率要比银行高至少0.5%，即下限为9%+0.5%=9.5%。如果比这个还低的话，甲就直接从银行借款了。而上限就是乙直接从银行借入固定利率款的成本，即10%，如果比这个还高的话，乙就直接从银行借款了。可见，二者可以共同节省的费用加起来就是0.5%，他们的协商也只能在这个范围内，讨论节省利率的收益双方来如何分配。第