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复数的三角表示式高中数学复习知识点专题讲义课前预学课堂导学1.通过复数的几何意义,了解复数的三角表示.2.了解复数的辐角及辐角的主值的含义.3.了解复数的代数表示与三角表示之间的关系.4.通过复数三角形式的学习,培养学生的数学运算素养.课前预学课堂导学欧拉公式eix=cosx+isinx(i是虚数单位),它将指数扩大到复数,建立了三角函数与指数函数之间的关系,它在复变函数论里非常重要,被誉为“数学中的天桥”,下面我们探究复数的三角形式.阅读教材,回答下列问题.问题1:复数z=a+bi的三角形式是什么呢?答案复数z=a+bi的三角形式是r(cosθ+isinθ).课前预学课堂导学问题2:复数的辐角、辐角的主值是什么?答案以x轴的非负半轴为始边,向量𝑂𝑍所在的射线(射线OZ)为终边的角θ叫作复数z=a+bi的辐角.规定在[0,2π)范围内的辐角θ的值为辐角的主值.课前预学课堂导学任务1:复数的三角表示式我们知道asinx+bcosx=𝑎2+𝑏2sin(x+φ)tan𝜑=𝑏𝑎,而复数的代数形式z=a+bi(a,b∈R),由此联想z的三角表示式.问题1:你能类比上述三角变换,推出复数的三角形式吗?答案能.a+bi=𝑎2+𝑏2𝑎𝑎2+𝑏2+𝑏𝑎2+𝑏2i,令𝑎𝑎2+𝑏2=cosθ,𝑏𝑎2+𝑏2=sinθ,r=𝑎2+𝑏2,则a+bi=r(cosθ+isinθ).答案设r=|OP|=𝑥2+𝑦2,则cosθ=𝑥𝑟,sinθ=𝑦𝑟,tanθ=𝑦𝑥.课前预学课堂导学问题2:若角θ的顶点在坐标原点,始边在x轴非负半轴上,已知终边上一点P(x,y),如何表示角θ的三角函数?【新知生成】课前预学课堂导学1.定义:r(cosθ+isinθ)叫作复数z=a+bi的三角表示式,简称三角形式,即z=r(cosθ+isinθ),其中|z|=r,θ为复数z的辐角.2.非零复数z辐角θ的多值性:以x轴的非负半轴为始边,向量𝑂𝑍所在的射线(射线OZ)为终边的角θ叫作复数z=a+bi的辐角.因此复数z的辐角是θ+2kπ(k∈Z).【新知运用】课前预学课堂导学把下列复数的代数形式化成三角形式:(1)3+i;(2)1-i.解析(1)r=3+1=2,∵3+i在复平面内对应的点在第一象限,∴tanθ=13=33,即θ=π6,∴3+i=2cosπ6+isinπ6.(2)r=1+1=2.∵1-i在复平面内对应的点在第四象限,且tanθ=-11=-1,∴θ=7π4,∴1-i=2cos7π4+isin7π4.课前预学课堂导学方法总结复数的代数形式化三角形式的步骤:(1)先求复数的模;(2)确定辐角所在的象限;(3)根据象限求出辐角;(4)求出复数的三角形式.下列复数是不是复数的三角形式?如果不是,把它们表示成三角形式.(1)12cosπ4-isinπ4;(2)-12cosπ3+isinπ3;(3)12sin3π4+icos3π4;(4)cos7π5+isin7π5;(5)12cosπ2+isinπ6.课前预学课堂导学【巩固训练】解析根据复数三角形式的定义可知(1)(2)(3)(5)不是,(4)是复数的三角形式.(1)原式=12cos-π4+isin-π4;(2)原式=12cosπ+π3+isinπ+π3=12cos4π3+isin4π3;(3)原式=12cosπ2-3π4+isinπ2-3π4=12cos-π4+isin-π4;(5)原式=14cosπ2+isinπ2.课前预学课堂导学课前预学课堂导学任务2:辐角的主值答案辐角的主值的取值范围为[0,2π).问题1:我们知道复数z的辐角是θ+2kπ(k∈Z),而三角函数是周期函数,且正弦函数、余弦函数的周期是2π,那么如何确定辐角的主值的取值范围呢?答案终边相同的角相差2π的整数倍.问题2:终边相同的角有什么关系?1.定义及表示:在0≤θ2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值,通常记作argz,即0≤argz2π.2.唯一性:复数z的辐角的主值是确定唯一的.特别注意:(1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值,且这些值相差2π的整数倍.(2)复数0的辐角是任意的.(3)当且仅当两个非零复数的模与辐角的主值分别相等时,两复数相等.【新知生成】课前预学课堂导学(1)求复数z=cosπ6-isinπ6的辐角的主值;(2)求复数z=22(1-i)的辐角的主值.【新知运用】课前预学课堂导学解析(1)z=cosπ6-isinπ6=32-12i=cos11π6+isin11π6,所以arg32-12i=11π6.(2)z=22(1-i)=22-22i=cos7π4+isin7π4,所以arg22-22i=7π4.方法总结先把所给复数写成复数的三角形式,然后写出辐角,进而写出辐角的主值.【巩固训练】课前预学课堂导学求复数z=3sinπ3-icosπ3的辐角的主值.解析∵z=332-12i=3cos11π6+isin11π6,∴argz=11π6.课前预学课堂导学数学运算——转化思想在复数的三角形式中的应用把下列复数表示成代数形式.(1)4cosπ3+isinπ3;(2)6cos11π6+isin11π6.解析(1)4cosπ3+isinπ3=4×12+4×32i=2+23i.(2)6cos11π6+isin11π6=6×32+6×-12i=33-3i.课前预学课堂导学素养提炼将复数的三角形式化为代数形式:由z=r(cosθ+isinθ)=rcosθ+irsinθ,可得a=rcosθ,b=rsinθ.课前预学课堂导学将下列复数的三角形式化成代数形式.(1)2cosπ6+isinπ6;(2)6(cos60°+isin60°).解析(1)原式=232+12i=3+i.(2)原式=612+32i=3+33i.1.-6的辐角的主值为().A.0B.π2C.πD.-π2解析-6=6(-1+0·i)=6(cosπ+isinπ),辐角的主值为π.故选C.【当堂检测】C课前预学课堂导学2.下列复数中已用三角形式表示的是().A.2(cosα-isinα)B.2(sinα+icosα)C.-2(cosα+isinα)D.2[cos(-α)+isin(-α)]D课前预学课堂导学解析复数的三角形式为z=r(cosα+isinα),其满足的条件:①r≥0;②加号连接;③cosα在前,sinα在后;④α前后一致,可取任意值.3.复数1+i的三角形式为.课前预学课堂导学解析r=2,cosθ=12=22,又因为1+i在复平面内对应的点位于第一象限,所以arg(1+i)=π4.所以1+i=2cosπ4+isinπ4.2cosπ4+isinπ44.设复数z满足z-3𝑧−的辐角的主值为5π4,z+1的模为10,求复数z.课前预学课堂导学解析设z=x+yi(x,y∈R).由|z+1|=10,得|(x+1)+yi|=10,∴(x+1)2+y2=10.①又z-3𝑧−=(x+yi)-3(x-yi)=-2x+4yi,∴arg(z-3𝑧−)=5π4⇔-2𝑥0,4𝑦0,-2𝑥=4𝑦,②由①②可得x=2,y=-1.∴z=2-i.