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上海交通大学2008年振动力学期末考试试题第一题（20分）1、在图示振动系统中，已知：重物C的质量m1，匀质杆AB的质量m2，长为L，匀质轮O的质量m3，弹簧的刚度系数k。当AB杆处于水平时为系统的静平衡位置。试采用能量法求系统微振时的固有频率。解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物C的位移y作为系统的广义坐标，在静平衡位置时y＝0，此时系统的势能为零。AB转角：系统动能：m1动能：m2动能：m3动能：系统势能：在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，因而有：上式求导，得系统的微分方程为：固有频率和周期为：2、质量为m1的匀质圆盘置于粗糙水平面上，轮缘上绕有不可伸长的细绳并通过定滑轮A连在质量为m2的物块B上；轮心C与刚度系数为k的水平弹簧相连；不计滑轮A，绳及弹簧的质量，系统自弹簧原长位置静止释放。试采用能量法求系统的固有频率。解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物B的位移x作为系统的广义坐标，在静平衡位置时x＝0，此时系统的势能为零。物体B动能：轮子与地面接触点为速度瞬心，则轮心速度为，角速度为，转过的角度为。轮子动能：系统势能：在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，有：上式求导得系统的运动微分方程：固有频率为：第二题（20分）1、在图示振动系统中，重物质量为m，外壳质量为2m，每个弹簧的刚度系数均为k。设外壳只能沿铅垂方向运动。采用影响系数方法：（1）以x1和x2为广义坐标，建立系统的微分方程；（2）求系统的固有频率。解：系统为二自由度系统。当x1＝1，x2＝0时，有：k11＝2k，k21＝－2k当x2＝1，x2＝1时，有：k22＝4k，k12＝－2k因此系统刚度矩阵为：系统质量矩阵为：系统动力学方程为：频率方程为：解出系统2个固有频率：，2、在图示振动系统中，物体A、B的质量均为m，弹簧的刚度系数均为k，刚杆AD的质量忽略不计，杆水平时为系统的平衡位置。采用影响系数方法，试求：（1）以x1和x2为广义坐标，求系统作微振动的微分方程；（2）系统的固有频率方程。解：系统可以简化为二自由度振动系统，以物体A和B在铅垂方向的位移x1和x2为系统的广义坐标。当x1＝1，x2＝0时，AD转角为，两个弹簧处的弹性力分别为和。对D点取力矩平衡，有：；另外有。同理，当x2＝1，x2＝1时，可求得：，因此，系统刚度矩阵为：系统质量矩阵为：系统动力学方程为：频率方程为：即：第三题（20分）在图示振动系统中，已知：物体的质量m1、m2及弹簧的刚度系数为k1、k2、k3、k4。（1）采用影响系数方法建立系统的振动微分方程；（2）若k1=k3=k4=k0，又k2=2k0，求系统固有频率；（3）取k0=1，m1=8/9，m2=1，系统初始位移条件为x1(0)=9和x2(0)=0，初始速度都为零，采用模态叠加法求系统响应。解：（1）系统可以简化为二自由度振动系统。当x1＝1，x2＝0时，有：k11＝k1+k2+k4，k21＝－k2当x2＝1，x2＝1时，有：k22＝k2+k3，k12＝－k2。因此，系统刚度矩阵为：系统质量矩阵为：系统动力学方程为：（2）当，时，运动微分方程用矩阵表示为：频率方程为：求得：（3）当k0=1，m1=8/9，m2=1时，系统质量阵：系统刚度阵：固有频率为：，主模态矩阵为：主质量阵：主刚度阵：模态空间初始条件：，模态响应：，即：，因此有：第四题（20分）一匀质杆质量为m，长度为L，两端用弹簧支承，弹簧的刚度系数为k1和k2。杆质心C上沿x方向作用有简谐外部激励。图示水平位置为静平衡位置。（1）以x和为广义坐标，采用影响系数方法建立系统的振动微分方程；（2）取参数值为m=12，L=1，k1=1，k2=3，求出系统固有频率；（2）系统参数仍取前值，试问当外部激励的频率为多少时，能够使得杆件只有方向的角振动，而无x方向的振动？解：（1）系统可以简化为二自由度振动系统，选x、q为广义坐标，x为质心的纵向位移，q为刚杆的角位移，如图示。当、时：，当、时：，因此，刚度矩阵为：质量矩阵为：系统动力学方程：（2）当m=12，L=，k1=1，k2=3时，系统动力学方程为：频率方程为：即：求得：（3）令，代入上述动力学方程，有：由第二行方程，解得，代入第一行的方程，有：，要使得杆件只有方向的角振动，而无x方向的振动，则需，因此。第五题（20分）如图所示等截面悬臂梁，梁长度为L，弹性模量为E，横截面对中性轴的惯性矩为I，梁材料密度为。在梁的位置作用有集中载荷。已知梁的初始条件为：，。（1）推导梁的正交性条件；（2）写出求解梁的响应的详细过程。（假定已知第i阶固有频率为，相应的模态函数为，）提示：梁的动力学方程为：，其中，为函数。解：（1）梁的弯曲振动的动力学方程为：可写为：代入梁的动力学方程，有：设与、对应有、，有：（1）（2）式（1）两边乘以并沿梁长对积分，有：（3）利用分部积分，上式左边可写为：（4）由于在梁的简单边界上，总有挠度或剪力中的一个与转角或弯矩中的一个同时为零，所以，上式右边第一、第二项等于零，成为：将上式代入（3）中，有：（5）式（2）乘并沿梁长对积分，同样可得到：（6）由式(5)、(6)得：（7）如果时，，则有：当（8）上式即梁的主振型关于质量的正交性。再由（3）及（6）可得：当当上两式即梁的主振型关于刚度的正交性。当时，式（7）总能成立，令：、即为第j阶主质量和第j阶主刚度。由式（6）知有：如果主振型中的常数按下列归一化条件来确定：（9）则所得的主振型称为正则振型，这时相应的第j阶主刚度为。式（9）与（8）可合并写为：由式（6）知有：，（2）悬臂梁的运动微分方程为：（1）其中：（2）令：（3）代入运动微分方程，有：（4）上式两边乘，并沿梁长度对x进行积分，有：（5）利用正交性条件，可得：（6）其中广义力为：（7）初始条件可写为：（8）上式乘以，并沿梁长度对x积分，由正交性条件可得：（9）由式（6），可得：（10）利用式（3），梁的响应为：