八年级数学(下册)知识点总结二次根式【知识回顾】1.二次根式:式子a(a≥0)叫做二次根式。2.最简二次根式:必须同时满足下列条件:⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式;⑵被开方数中不含分母;⑶分母中不含根式。3.同类二次根式:二次根式化成最简二次根式后,若被开方数相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。4.二次根式的性质:(1)(a)2=a(a≥0);(2)aa25.二次根式的运算:(1)因式的外移和内移:如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么,就可以用它的算术根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数和的形式,那么先解因式,变形为积的形式,再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.(2)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.(3)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.ab=a·b(a≥0,b≥0);bbaa(b≥0,a0).(4)有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算.【典型例题】a(a>0)a(a<0)0(a=0);1、概念与性质例1下列各式1)22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153xaaa,其中是二次根式的是___1345______(填序号).例2、求下列二次根式中字母的取值范围(1)xx315;(2)22)-(x例3、在根式1)222;2);3);4)275xabxxyabc,最简二次根式是(C)A.1)2)B.3)4)C.1)3)D.1)4)例4、已知:的值。求代数式22,211881xyyxxyyxxxy例5、(2009龙岩)已知数a,b,若2()ab=b-a,则(B)A.abB.abC.a≥bD.a≤b2、二次根式的化简与计算例1.将根号外的a移到根号内,得()A.;B.-;C.-;D.例2.把(a-b)-1a-b化成最简二次根式例3、计算:例4、先化简,再求值:11()babbaab,其中a=512,b=512.例5、如图,实数a、b在数轴上的位置,化简:222()abab4、比较数值(1)、根式变形法当0,0ab时,①如果ab,则ab;②如果ab,则ab。例1、比较35与53的大小。(2)、平方法当0,0ab时,①如果22ab,则ab;②如果22ab,则ab。例2、比较32与23的大小。(3)、分母有理化法通过分母有理化,利用分子的大小来比较。例3、比较231与121的大小。(4)、分子有理化法通过分子有理化,利用分母的大小来比较。例4、比较1514与1413的大小。(5)、倒数法例5、比较76与65的大小。(6)、媒介传递法适当选择介于两个数之间的媒介值,利用传递性进行比较。例6、比较73与873的大小。(7)、作差比较法在对两数比较大小时,经常运用如下性质:①0abab;②0abab例7、比较2131与23的大小。(8)、求商比较法它运用如下性质:当a0,b0时,则:①1aabb;②1aabb例8、比较53与23的大小。5、规律性问题例1.观察下列各式及其验证过程:,验证:;验证:.(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路,猜想4415的变形结果,并进行验证;(2)针对上述各式反映的规律,写出用n(n≥2,且n是整数)表示的等式,并给出验证过程.勾股定理1.勾股定理:如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2。2.勾股定理逆定理:如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2。,那么这个三角形是直角三角形。3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。(例:勾股定理与勾股定理逆定理)4.直角三角形的性质(1)、直角三角形的两个锐角互余。可表示如下:∠C=90°∠A+∠B=90°(2)、在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半。∠A=30°可表示如下:BC=21AB∠C=90°(3)、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半∠ACB=90°可表示如下:CD=21AB=BD=ADD为AB的中点5、摄影定理在直角三角形中,斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项,每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项∠ACB=90°BDADCD2ABADAC2CD⊥ABABBDBC26、常用关系式由三角形面积公式可得:ABCD=ACBC7、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c有关系222cba,那么这个三角形是直角三角形。8、命题、定理、证明1、命题的概念判断一件事情的语句,叫做命题。理解:命题的定义包括两层含义:(1)命题必须是个完整的句子;(2)这个句子必须对某件事情做出判断。2、命题的分类(按正确、错误与否分)真命题(正确的命题)命题假命题(错误的命题)所谓正确的命题就是:如果题设成立,那么结论一定成立的命题。所谓错误的命题就是:如果题设成立,不能证明结论总是成立的命题。3、公理人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题,叫做公理。4、定理用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。5、证明判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。6、证明的一般步骤(1)根据题意,画出图形。(2)根据题设、结论、结合图形,写出已知、求证。(3)经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程。9、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。(1)三角形共有三条中位线,并且它们又重新构成一个新的三角形。(2)要会区别三角形中线与中位线。三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。三角形中位线定理的作用:位置关系:可以证明两条直线平行。数量关系:可以证明线段的倍分关系。常用结论:任一个三角形都有三条中位线,由此有:结论1:三条中位线组成一个三角形,其周长为原三角形周长的一半。结论2:三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。结论3:三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。结论4:三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。结论5:三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。10数学口诀.平方差公式:平方差公式有两项,符号相反切记牢,首加尾乘首减尾,莫与完全公式相混淆。完全平方公式:完全平方有三项,首尾符号是同乡,首平方、尾平方,首尾二倍放中央;首±尾括号带平方,尾项符号随中央。四边形1.四边形的内角和与外角和定理:(1)四边形的内角和等于360°;(2)四边形的外角和等于360°.2.多边形的内角和与外角和定理:(1)n边形的内角和等于(n-2)180°;(2)任意多边形的外角和等于360°.3.平行四边形的性质:因为ABCD是平行四边形.54321)邻角互补()对角线互相平分;()两组对角分别相等;()两组对边分别相等;()两组对边分别平行;(4.平行四边形的判定:是平行四边形)对角线互相平分()一组对边平行且相等()两组对角分别相等()两组对边分别相等()两组对边分别平行(ABCD54321.5.矩形的性质:因为ABCD是矩形.3;2;1)对角线相等()四个角都是直角(有通性)具有平行四边形的所(6.矩形的判定:边形)对角线相等的平行四()三个角都是直角(一个直角)平行四边形(321四边形ABCD是矩形.7.菱形的性质:因为ABCD是菱形.321角)对角线垂直且平分对()四个边都相等;(有通性;)具有平行四边形的所(8.菱形的判定:边形)对角线垂直的平行四()四个边都相等(一组邻边等)平行四边形(321四边形四边形ABCD是菱形.9.正方形的性质:因为ABCD是正方形.321分对角)对角线相等垂直且平(角都是直角;)四个边都相等,四个(有通性;)具有平行四边形的所((1)(2)(3)10.正方形的判定:一组邻边等矩形)(一个直角)菱形(一个直角一组邻边等)平行四边形(321四边形ABCD是正方形.(3)∵ABCD是矩形又∵AD=AB∴四边形ABCD是正方形11.等腰梯形的性质:因为ABCD是等腰梯形.321)对角线相等(;)同一底上的底角相等(两底平行,两腰相等;)(12.等腰梯形的判定:对角线相等)梯形(底角相等)梯形(两腰相等)梯形(321四边形ABCD是等腰梯形(3)∵ABCD是梯形且AD∥BC∵AC=BD∴ABCD四边形是等腰梯形14.三角形中位线定理:三角形的中位线平行第三边,并且等于它的一半.15.梯形中位线定理:梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半.一基本概念:四边形,四边形的内角,四边形的外角,多边形,平行线间的距离,平行四边形,矩形,菱形,正方形,中心对称,中心对称图形,梯形,等腰梯形,直角梯形,三角形中位线,梯形中位线.二定理:中心对称的有关定理※1.关于中心对称的两个图形是全等形.※2.关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分.※3.如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称.三公式:1.S菱形=21ab=ch.(a、b为菱形的对角线,c为菱形的边长,h为c边上的高)2.S平行四边形=ah.a为平行四边形的边,h为a上的高)3.S梯形=21(a+b)h=Lh.(a、b为梯形的底,h为梯形的高,L为梯形的中位线)四常识:※1.若n是多边形的边数,则对角线条数公式是:2)3n(n.2.规则图形折叠一般“出一对全等,一对相似”.3.如图:平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系.4.常见图形中,仅是轴对称图形的有:角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形……;仅是中心对称图形的有:平行四边形……;是双对称图形的有:线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆…….注意:线段有两条对称轴.一次函数一.常量、变量:在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量;数值始终不变的量叫做常量。二、函数的概念:函数的定义:一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数.三、函数中自变量取值范围的求法:(1)用整式表示的函数,自变量的取值范围是全体实数。(2)用分式表示的函数,自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。(3)用寄次根式表示的函数,自变量的取值范围是全体实数。用偶次根式表示的函数,自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一切实数。(4)若解析式由上述几种形式综合而成,须先求出各部分的取值范围,然后再求其公共范围,即为自变量的取值范围。(5)对于与实际问题有关系的,自变量的取值范围应使实际问题有意义。四、函数图象的定义:一般的,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么在坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象.五、用描点法画函数的图象的一般步骤1、列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。)注意:列表时自变量由小到大,相差一样,有时需对称。2、描点:(在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点。3、连线:(按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来)。六、函数有三种表示形式:(1)列表法(2)图像法(3)解析式法七、正比例函数与一次函数的概念:一般地,形如y=kx(k为常数,且k≠0)的函数叫做正比例函数.其中k叫做比例系数。一般地,形如y=