数列解题方法--高考复习

曲靖师范学院王袁芳18987404961解题技巧（数列）一、典型例题解答示范例1．在等差数列中20151296aaaa求20S解法一dnaan)1(1∴20)192(2)14()11()8()5(11111151296dadadadadaaaaa∴101921da那么100)192(102)(20120120daaaS解法二由qpnmaaaaqpnm20)(2)(2201156151296aaaaaaaa【方法点评】⑴在等差数列中，由条件不能具体求出1a和d，但可以求出1a与d的组合式，而所求的量往往可以用这个组合式表示，那么用“整体代值”的方法将值求出；⑵利用qpnmaaaaqpnm将所求量化为已知量也是“整体代值”的思想，它比用1a和d表示更简捷。例2．等差数列前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为解法一用方程的思想，由条件知10022)(302)(211maamaamm100)(60)(211maamaamm∵ma、ma2、ma3成等数列∴)2(23)(2321313mmmmaaamaamS由②Χ2-①得140)(21mmaaam代入210140233mS解法二在等差数列中由性质知mS、mmSS2、mmSS23成等差数列mmmmmSSSSS)(2223210)(323mmmSSS解法三等差数列}{na中dnnnaSn)1(2112)1(dnanSn①②曲靖师范学院王袁芳18987404961即}{nSn为以1a为首项公差为2d的等差数列依题意条件知mSm，mSm22，mSm33成等差∴mSmSmSmmm32232∴210)(323mmmSSS【方法点评】三种解法从不同角度反映等差数列所具有的特性，运用方程的方法、性质或构造新的等差数列都是数列中解决问题的常用方法且有价值，对解决某些问题极为方便。例3在等比数列中935S18665432aaaaa，求8a分析在等比数列中对于1aqnnanS五个量一般“知三求二”。解法一18665432aaaaa186165aaS3169aa31519aqa又9315115qqaaS29319311qqaa31a则384718qaa解法二935S而186)(5432165432qaaaaaaaaaa2q代入931)1(51qqa中得31a故384718qaa【方法点评】根据等比数列定义运用方程的方法解决数列问题常用解法二更为简捷。二、方法提炼（错位相减法）例1求和：132)12(7531nnxnxxxS………………①解：由题可知，{1)12(nxn}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{1nx}的通项之积设nnxnxxxxxS)12(7531432…….②（设制错位）①－②得nnnxnxxxxxSx)12(222221)1(1432（错位相减）曲靖师范学院王袁芳18987404961再利用等比数列的求和公式得：nnnxnxxxSx)12(1121)1(1（错位相减法）例2求数列,22,,26,24,2232nn前n项的和.解：由题可知，{nn22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n21}的通项之积设nnnS2226242232………………①14322226242221nnnS………………②（设制错位）①－②得1432222222222222)211(nnnnS（错位相减）1122212nnn∴1224nnnS（反序相加法）例3求89sin88sin3sin2sin1sin22222的值解：设89sin88sin3sin2sin1sin22222S…①将①式右边反序得1sin2sin3sin88sin89sin22222S…②（反序）又因为1cossin),90cos(sin22xxxx①+②得（反序相加）)89cos89(sin)2cos2(sin)1cos1(sin2222222S＝89∴S＝44.5（分组求和法)例4求数列的前n项和：231,,71,41,1112naaan，…解：设)231()71()41()11(12naaaSnn将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12naaaSnn（分组）当a＝1时，2)13(nnnSn＝2)13(nn（分组求和）当1a时，2)13(1111nnaaSnn＝2)13(11nnaaan曲靖师范学院王袁芳18987404961（裂项求和法）例5求数列,11,,321,211nn的前n项和.解：设nnnnan111（裂项）则11321211nnSn（裂项求和）＝)1()23()12(nn＝11n（裂项求和法）例6在数列{an}中，11211nnnnan，又12nnnaab，求数列{bn}的前n项的和.解：∵211211nnnnnan∴)111(82122nnnnbn（裂项）∴数列{bn}的前n项和)]111()4131()3121()211[(8nnSn（裂项求和）＝)111(8n＝18nn（合并法求和）例7数列{an}：nnnaaaaaa12321,2,3,1，求S2002.解：设S2002＝2002321aaaa由nnnaaaaaa12321,2,3,1可得,2,3,1654aaa,2,3,1,2,3,1121110987aaaaaa……2,3,1,2,3,1665646362616kkkkkkaaaaaa∵0665646362616kkkkkkaaaaaa（找特殊性质项）∴S2002＝2002321aaaa（合并求和）＝)()()(66261612876321kkkaaaaaaaaaa2002200120001999199819941993)(aaaaaaa曲靖师范学院王袁芳18987404961＝2002200120001999aaaa＝46362616kkkkaaaa＝5（合并法求和）例8在各项均为正数的等比数列中，若103231365logloglog,9aaaaa求的值.解：设1032313logloglogaaaSn由等比数列的性质qpnmaaaaqpnm（找特殊性质项）和对数的运算性质NMNMaaalogloglog得)log(log)log(log)log(log6353932310313aaaaaaSn（合并求和）＝)(log)(log)(log6539231013aaaaaa＝9log9log9log333＝10（通项公式法）例9求11111111111个n之和.解：由于)110(91999991111111kkk个个（找通项及特征）∴11111111111个n＝)110(91)110(91)110(91)110(91321n（分组求和）＝)1111(91)10101010(911321个nn＝9110)110(1091nn＝)91010(8111nn