§7.1系统函数与系统特性

第1页■第七章系统函数§7.1系统函数与系统特性系统函数的零、极点分布图系统函数H(·)与系统的因果性系统函数与时域响应系统函数与频率响应第2页■▲一、系统函数的零、极点分布图LTI系统的系统函数是复变量s或z的有理分式，即A(·)=0的根p1，p2，···，pn称为系统函数H(·)的极点；B(·)=0的根1，2，···，m称为系统函数H(·)的零点。)()()(ABH将零极点画在复平面上得零、极点分布图。例：)1()1()2(2)(22ssssHσjω0(2)-1-2j-j第3页■▲例：已知H(s)的零、极点分布图如图所示，并且h(0+)=2。求H(s)的表达式。σjω0-1j2-j2解：由分布图可得524)1()(22ssKssKssH根据初值定理，有KssKsssHhss52lim)(lim)0(22522)(2ssssH第4页■▲二、系统函数H(·)与系统的因果性因果系统是指，系统的零状态响应yzs(·)不会出现于f(·)之前的系统。连续因果系统的充分必要条件是：冲激响应h(t)=0,t0或者，系统函数H(s)的收敛域为：Re[s]σ0离散因果系统的充分必要条件是：单位响应h(k)=0,k0或者，系统函数H(z)的收敛域为：|z|ρ0第5页■▲三、系统函数H(·)与时域响应h(·)冲激响应或单位序列响应的函数形式由H(·)的极点确定。下面讨论H(·)极点的位置与其时域响应的函数形式。所讨论系统均为因果系统。1．连续因果系统H(s)按其极点在s平面上的位置可分为:在左半开平面、虚轴和右半开平面三类。（1）在左半平面(a)若系统函数有负实单极点p=–(0)，则A(s)中有因子(s+)，其所对应的响应函数为Ke–tε(t)第6页■▲(b)若有一对共轭复极点p1,2=–±jβ，则A(s)中有因子[(s+)2+β2]→Ke–tcos(βt+θ)ε(t)(c)若有r重极点，则A(s)中有因子(s+)r或[(s+)2+β2]r，其响应为Kitie–tε(t)或Kitie–tcos(βt+θ)ε(t)(i=0,1,2,···,r–1)以上三种情况：当t→∞时，响应均趋于0。暂态分量。（2）在虚轴上(a)单极点p=0或p1,2=±jβ，则响应为Kε(t)或Kcos(βt+θ)ε(t)——稳态分量(b)r重极点，相应A(s)中有sr或(s2+β2)r，其响应函数为Kitiε(t)或Kiticos(βt+θ)ε(t)(i=0,1,2,···,r–1)——递增函数（3）在右半开平面：均为递增函数。第7页■▲结论LTI连续因果系统的h(t)的函数形式由H(s)的极点确定。(1)H(s)在左半平面的极点所对应的响应函数为衰减的。即当t→∞时，响应均趋于0。(2)H(s)在虚轴上的一阶极点所对应的响应函数为稳态分量。(3)H(s)在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点，其所对应的响应函数都是递增的。即当t→∞时，响应均趋于∞。第8页■▲2．离散因果系统H(z)按其极点在z平面上的位置可分为:在单位圆内、在单位圆上和在单位圆外三类。根据z平面与s平面的映射关系，得结论：(1)H(z)在单位圆内的极点所对应的响应序列为衰减的。即当k→∞时，响应均趋于0。(2)H(z)在单位圆上的一阶极点所对应的响应函数为稳态响应。(3)H(z)在单位圆上的高阶极点或单位圆外的极点，其所对应的响应序列都是递增的。即当k→∞时，响应均趋于∞。第9页■▲四、系统函数与频率响应1.连续系统若系统函数H(s)的收敛域包含虚轴（对于因果系统，H(s)的极点均在左半平面），则系统存在频率响应，频率响应与系统函数之间的关系为H(jω)=H(s)|s=jω下面介绍两种常见的系统。（1）全通函数若系统的幅频响应|H(jω)|为常数，则称为全通系统，其相应的H(s)称为全通函数。凡极点位于左半开平面，零点位于右半开平面，并且所有零点与极点对于虚轴为一一镜像对称的系统函数即为全通函数。第10页■▲（2）最小相移函数对于具有相同幅频特性的系统函数而言，右半开平面没有零点的系统函数称为最小相移函数。2.离散系统若系统函数H(z)的收敛域包含单位圆（对于因果系统，H(z)的极点均在单位圆内），则系统存在频率响应，频率响应与系统函数之间的关系为H(ejθ)=H(z)|z=ejθ，式中θ=ωTs，ω为角频率，Ts为取样周期。第11页■▲举例例：某离散系统的系统函数35.0)(zzzzzH(1)若系统为因果系统，求单位序列响应h(k);(2)若系统为反因果系统，求单位序列响应h(k);(3)若系统存在频率响应，求单位序列响应h(k)。解:(1)|z|3，h(k)=[(–0.5)k+3k](k)(2)|z|0.5，h(k)=[–(–0.5)k–3k](–k–1)(3)0.5|z|3，h(k)=(–0.5)k(k)–3k(–k–1)第12页■§7.2系统的稳定性一、稳定系统的定义一个系统，若对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出(BoundInputBoundOutput——BIBO)稳定的系统，简称为稳定系统。即，若系统对所有的激励|f(·)|≤Mf，其零状态响应|yzs(·)|≤My(M为有限常数），则称该系统稳定。第13页■▲1.连续系统稳定的充分必要条件时域：tthd|)(|s域：若H(s)的收敛域包含虚轴，则该系统必是稳定系统。对于因果系统若H(s)的极点均在左半开平面，则该系统必是稳定系统。≤M第14页■▲2.离散系统稳定的充分必要条件时域：kkh|)(|z域：若H(z)的收敛域包含单位圆，则该系统必是稳定系统。对于因果系统若H(z)的极点均在单位圆内，则该系统必是稳定系统。≤M第15页■▲举例例1:y(k)+1.5y(k–1)–y(k–2)=f(k–1)(1)若为因果系统，求h(k)，并判断是否稳定。(2)若为稳定系统，求h(k).解:24.05.04.0)2)(5.0(15.15.11)(2211zzzzzzzzzzzzzzH(1)若为因果系统，则收敛域为|z|2，所以h(k)=0.4[0.5k–(–2)k]ε(k)，不稳定。(2)若为稳定系统，则收敛域为0.5|z|2，所以h(k)=0.4(0.5)kε(k)+0.4(–2)kε(–k–1)第16页■▲例2：如图所示离散因果系统框图，为使系统稳定，求常量a的取值范围解：设加法器输出信号X(z)1z∑∑2aF(z)Y(z)X(z)z–1X(z)X(z)=F(z)+z–1aX(z)Y(z)=(2+z–1)X(z)=(2+z–1)/(1–az–1)F(z)H(z)=(2+z–1)/(1–az–1)=(2z+1)/(z–a)为使系统稳定，H(z)的极点必须在单位圆内，故|a|1第17页■▲二、连续因果系统稳定性判断准则——罗斯–霍尔维兹准则对因果系统，只要判断H(s)的极点，即A(s)=0的根（称为系统特征根）是否都在左半平面上，即可判定系统是否稳定，不必知道极点的确切值。所有的根均在左半平面的多项式称为霍尔维兹多项式。1.必要条件——简单方法一实系数多项式A(s)=ansn+···+a0=0的所有根位于左半开平面的必要条件是：（1）所有系数都必须非0，即不缺项；（2）系数的符号相同。例1:A(s)=s3+4s2–3s+2符号相异，不稳定例2:A(s)=3s3+s2+2，a1=0，不稳定例3:A(s)=3s3+s2+2s+8需进一步判断，非充分条件。第18页■▲2.罗斯列表将多项式A(s)的系数排列为如下阵列—罗斯阵列第1行anan–2an–4…第2行an–1an–3an–5…第3行cn–1cn–3cn–5…它由第1、2行，按下列规则计算得到：312111nnnnnnaaaaac514131nnnnnnaaaaac…第4行由2、3行同样方法得到，一直排到第n+1行。罗斯准则指出：若第一列元素具有相同的符号，则A(s)=0所有的根均在左半开平面。若第一列元素出现符号改变，则符号改变的总次数就是右半平面根的个数。第19页■▲举例例1：A(s)=2s4+s3+12s2+8s+2罗斯阵列：2122180418112228.502第1列元素符号改变2次，因此，有2个根位于右半平面。注意：在排罗斯阵列时，可能遇到一些特殊情况，如第一列的某个元素为0或某一行元素全为0，这时可断言：该多项式不是霍尔维兹多项式。第20页■▲例2：已知某因果系统函数kssssH1331)(23为使系统稳定，k应满足什么条件？解：列罗斯阵列1331+k(8–k)/31+k所以，–1k8，系统稳定。特例：对于二阶系统A(s)=a2s2+a1s+a0，若a20，不难得出，A(s)为霍尔维兹多项式的条件为：a10，a00第21页■▲三、离散因果系统稳定性判断准则——朱里准则为判断离散因果系统的稳定性，要判断A(z)=0的所有根的绝对值是否都小于1。朱里提出一种列表的检验方法，称为朱里准则。朱里列表：第1行anan–1an–2……a2a1a0第2行a0a1a2……an–2an–1an第3行cn–1cn–2cn–3……c1c0第4行c0c1c2……cn–2cn–1第5行dn–2dn–3dn–4……d0第6行d0d1d2……dn–2…………第2n–3行r2r1r0第22页■▲第3行按下列规则计算：nnnaaaac0011012nnnaaaac2023nnnaaaac…一直到第2n–3行，该行有3个元素。朱里准则指出：A(z)=0的所有根都在单位圆内的充分必要的条件是:(1)A(1)0(2)(–1)nA(–1)0(3)an|a0|cn–1|c0|dn–2|d0|…r2|r0|即，奇数行其第1个元素必大于最后一个元素的绝对值。特例：对二阶系统。A(z)=a2z2+a1z+a0,易得A(1)0A(–1)0a2|a0|第23页■▲举例例：A(z)=4z4–4z3+2z–1解：排朱里列表4–402–1–120–4415–140440–1415209–21056A(1)=10(–1)4A(–1)=5041，154，20956所以系统稳定。第24页■§7.3信号流图用方框图描述系统的功能比较直观。信号流图是用有向的线图描述方程变量之间因果关系的一种图，用它描述系统比方框图更加简便。信号流图首先由Mason(梅森)于1953年提出的，应用非常广泛。信号流图就是用一些点和有向线段来描述系统，与方框图本质是一样的，但简便多了。第25页■▲一、信号流图1.定义：信号流图是由结点和有向线段组成的几何图形。它可以简化系统的表示，并便于计算系统函数。2.信号流图中常用术语(1)结点：信号流图中的每个结点表示一个变量或信号。(2)支路和支路增益：连接两个结点之间的有向线段称为支路。每条支路上的权值（支路增益）就是该两结点间的系统函数（转移函数）。F(s)H(s)Y(s)即用一条有向线段表示一个子系统。第26页■▲(3)源点与汇点，混合结点仅有出支路的结点称为源点（或输入结点）。仅有入支路的结点称为汇点（或输出结点）。有入有出的结点为混合结点沿箭头指向从一个结点到其他结点的路径称为通路。如果通路与任一结点相遇不多于一次，则称为开通路。闭合的路径称为闭通路（回路、环）。相互没有公共结点的回路，称为不接触回路。只有一个结点和一条支路的回路称为自回路。(4)通路、开通路、闭通路（回路、环）、不接触回路、自回路：(5)前向通路：从源点到汇点的开通路称为前向通路。(6)前向通路增益，回路增益：通路中各支路增益的乘积第27页■▲3.信号流图的基本性质（1）信号只能沿支路箭头方向传输。支路的输出=该支路的输入与支路增益的乘积。（2）当结点有多个输入时，该结点将所有输入支路的信号相加，并将和信号传输给所有与该结点相连的输出支路。