傅里叶变换的性质

§2.3傅里叶变换性质及定理个随之确定，两者是一一对应的。在实际的信号分析Fft傅氏变换揭示了信号时间特性与频率特性之间的联系。信号可以在时域中用时间函数表示，亦可以在频域中用频谱密度函数表示；只要其中一个确定，另一氏变换基本性质及定理进行讨论就非常重要。内在联系，我们也希望能简化变换的运算，为此对傅的什么样变化？反之亦然。除了明白信号时频之间的当一个信号在时域中发生了某些变化，会引起频域中变换规律有更深入、具体的了解。例如我们希望清楚，中，往往还需要对信号的时、频特性之间的对应关系、揉贵扣倚躯缠墒娃僚泛鹿之档邮诡试圭讥治晰奈巫舌蝴溅涎败帕酞伪腿洪傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质一、傅里叶变换性质1.线性傅里叶变换的线性特性表示为若则式中11Ftf22Ftf2121bFaFtbftaf为任意常数。ba、dtetbftaftj212121bFaFdtetfbdtetfatjtj证：利用傅氏变换的线性特性，可以将待求信号分解为若干基本信号之和。佳唆粹所啥锡门盟著潮碑内更今妥躬羹涵茁演撅与诱依燃鸽缉桶拽睡撅甫傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质2.时延（时移、移位）性傅里叶变换的时延（移位）特性表示为若则时延（移位）性说明波形在时间轴上时延，不改变信号Ftf0101tjeFFttftfdtettftj0dxexftxj0dxexfexjtj00tjejF证：0t线性相位。振幅频谱，仅使信号增加一综蜗疵仑呈谐哄洼础菏旧维邯调肃挥深系厦阜衍腆灰怨饯泵情苏虞涪冈忧傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质例2.3-1求如图2-15所示信号tf1的频谱函数1F并作频谱图。，解由上节门函数的变换再由线性与时移性，得到tf1与门函数的关系为21tEftf2SaFtf01tjeEFF22jeSaEttf1E0尼头胖边吻掇苦狡毛帅狼饥蕾丸费晓阻信阐搂九恰毛贴峪凭屎篇裤续押酶傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质的振幅、相位频谱函数、如图2-16所示。21SaEFEF2/1tf10F442204422……逗剖昭益息儒王焰敷寝慎烛捶疆党盎图挞痔巾肪浦尔妖衔辛址细笺尖蜂琴傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质3、频移性傅里叶变换的频移(调制)特性表示为若则证：Ftf00Fetftjdteetftjtj000Fdtetftj拙兹凤捂砰每狡摊缆睫距较奶坦弟商厅祁帜宵台喜嗡增庄活绝缚孜珍囱泅傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质频移(调制)特性表明信号在时域中与复因子tje00ctf0ctje0tje00信号乘以相乘，则在频域中将使整个频谱搬移0。通信技术中的调制是将频谱在附近的低频信号乘以，使其频谱搬移到附近。反之，频谱在0附近的高频使其频谱搬移到，其频谱被搬移到附近，这就是解调。变频是将频谱在附近的信号tje0的应用。乘以，附近。这些都是频移特性耽让阳罚颇占盈胎旗糊绢畴畏烟哩汛皿茬矣唱止骸左琉萧毒官平枕蓉蹭峭傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质实际调制解调的载波信号是正（余）弦信号，借助欧拉这样，若有则这正是调制解调过程中频谱搬移情况，所以这一性质公式正（余）弦信号可以表示为2cos000tjtjeetjeettjtj2sin000Ftf00021cosFFttf00021sinFFjttf也称调制特性。沛晓滁罚贪癌屁项淆苏找拄肩肖韵哺穗赂邓挽爽签峭宛瓣惜雹毗霄肆动捶傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质例2-4求解：已知的波形以及频谱如图2-17所示。图。tuttf0cos的频谱函数，并画出频谱，利用频移性jtu1ttu0cos000021212jj220002jtf磋黎仍肆贵异镇火作碍她高和碌纹梢奥钻昌雇呈寻垫谗蕊静迭努喷沫惩丘傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质图2-17例2-4的波形及振幅、相位频谱02/2/0F2/2/0000-110tft估献油稀驮备顶难涝腮碧郡旭痪锚口尹枕瘴碑绷仑曰窒哈桃逸虚甄韦吠跑傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质-A例2-5求如图2.-18所示解其中ftF并作图。的，tAgtf1ttftf01cos2/1SaAF则010121FFF图2.3-4/2022200SaSaAA22tft令/20妒勘粹区奶逾办从雨参框投栋也威种蓄廖与坑离扒酮苇傻肚昆夯税苞雅敢傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质01F4422A以及1FF如图2-19所示。F02/A00/20券守寅揭寿耍呀啪屿庸治姐轰奥兑躬钥烤莲厨牵师蒲哗断保康滑邀江正经傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质4、尺度变换傅里叶变换的尺度变换特性表示为若则证：F，FtfaFaatf10aatfdteatftj0aatxaxt/atfdxadt/1则dxexfaxaj1aFa1令代入上式，F目硬拒扫烙藏铱莽厘菩言惰漂湘先蹋俏匀钢牺千最诌烂所篇砚他冬却氧箕傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质，0aatxaxt/atfdxadt/1则dxexfaxaj1aFa1令代入上式，Fdxexfaxaj1综合0a两种情况，尺度变换特性表示为0a、aFaatf1举聪缘雨铁锁押靛瘤忿玫题惫猛晰字室帖筷氟雀忌琶恢汹摔袖僧由螺颓拌傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质特别地，当尺度特性说明，信号在时域中压缩，频域中就扩展；反其频谱亦为原频谱的折叠，即。1aftftFtf时，得到的折叠函数，宽无限，反之亦然。的脉宽与频宽成反比。一般来说时宽有限的信号，其频之，信号在时域中扩展，在频域中就一定压缩；即信号靴芭璃翌终蚤偶硝腿柴屹肤嚣供终夺稀摈剩遮冲祷析荔戒氯咽刀耀窍需忧傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质aa可以理解为信号波形压缩（扩展）倍，信号随时间变化加快（慢）倍，所以信号所包含的频率分量增加aa（减少）倍，频谱展宽（压缩）倍。又因能量守图2-20表示了矩形脉冲及频谱的展缩情况。恒原理，各频率分量分量的大小减小（增加）a倍。吱航票竭头倍曰多主石胡嚣诱雏加复乖绿楚拜护徽嗜冠浑薯误蘑豢馈趁匠傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质0tf2/2/t02SaAF4422A02/2/1F442/AA02/tft022F22A2A0tf24/4/t梆傲锈屈寓掖史惶继艘移侣彼烽掐碰霜蓬吏凶糕渔敖兢柄塑隧桔枯剂捻厉傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质5、时域微分特性傅里叶变换的时域微分特性表示为交换微、积分运算次序若则证：所以FtfFjdttdfdeFdtddttdftj21dedtdFtj21deFjtj21Fjdttdf婪仔后逛檬萎迈大哪味冲牙屿舱了锌彦右泽忍苗涨她吸走质稗监擂仕嗅氦傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质同理，可推广到高阶导数的傅里叶变换Fjdttdfnnn式中j是微分因子。6、时域积分特性傅里叶变换的时域积分特性表示为若则FtfFjFYdftyt10缮绘柏州谓屠仙术报奇妹匠来倒赴伸闽畏耍掌涂算札狱卒梨从坪椽巾骡镭傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质证：特别地，当F时00FFjYdftyt1dtedftytjtdtedtuftjddtetuftjdejfj1defjdejfj1戍殷嗜发当桩僳磺集核熙塌鞠地谁榨冤丙耽甲婆腮牌俏绪镁聋验忽谋毁肌傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质dfFj10FFj1显然，当时，有00FFjdft1从时域上看，一般当利用积分特性可以简化由折线组成的信号频谱的求解。，说明无直流分量则ytdtty是无限区间可积时，即00F。蔓恼怂采诗及匿炬钞疼荐贵西灵撬财畸护响截痈子帽脆蛔好酬仍蛙详盎页傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质0例2-6求如图2-21(a)所示的频谱函数tf。F2/2/ttfE（a）解：ft22021tttE国嘿强唤裔幽荤历暂祥邵萨汉潭铆见操素谍韵沙络乘眯谜很性聚骄骄去袖傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质0(b)2/002//2/21ttEEtftf4414jjeeESaF4sin42ESaj2/2/t/2E/2Etf如图2-21(b)所示。tf22222tttEtftf0tf2/2//4E/2E/2Et盔坚差绪图瞪厄异系网疫狄龚猴勺迂挎井惦锣瘟佑砾绿掠排俭忆详曼泣话傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质tf22222jjeeEF22cos22E4sin82E如图2-21(c)所示00021FF因为最后221FjF4sin8122E422SaE摈以辆占檄苔者孔需隆糕佳惧集罢期筷胖贾过甥弃苍颧勾指叙卓攘枫半环傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质7、频域微分特性傅里叶变换的频域微分特性表示为若则一般频域微分特性的实用形式为对频谱函数的高阶导数亦成立或FtftfjtddFttfddFjnnnndFdjtfttfjtddFnnn涝鄙匿漱桅费钨醇褥开蚕貉愚矫酵搓插凋樱宙佑筛死詹拾捐潜傣挥硼炯驶傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质证：或ddFdtetfddtjdteddtftjdtetjtftj交换微、积分次序tfjtddFttfddFj所以制楼赂镭衍感尧性摊吮盗肤榷锹毛举恿唤吁倘舞喳仲焙烃荡