随机变量方差定义与性质

一、随机变量方差的定义及性质三、例题讲解二、常见概率分布的方差四、矩的概念第3.2节随机变量的方差和矩五、小结).(,)(}.)]({[)()(),()(,}])({[,})]({[,XσXDXEXEXXDXXDXXEXEXEXEX记为为标准差或均方差称即或记为的方差为则称存在若是一个随机变量设222221.方差的定义(定义3.3)一、随机变量方差的定义及性质方差描述了随机变量X取值对于数学期望的分散程度.如果D(X)值大,表示X取值分散程度大,E(X)的代表性差;而如果D(X)值小,则表示X的取值比较集中,以E(X)作为随机变量的代表性好.2.方差的意义离散型随机变量的方差,)]([)(12kkkpXExXD连续型随机变量的方差,d)()]([)(2xxpXExXD3.随机变量方差的计算(1)利用定义计算.)(的概率密度为其中Xxp.,2,1,}{的分布律是其中XkpxXPkk.)]([)()(22XEXEXD证明})]({[)(2XEXEXD})]([)(2{22XEXXEXE22)]([)()(2)(XEXEXEXE22)]([)(XEXE(2)利用公式计算).()(22XEXE证明22)]([)()(CECECD4.方差的性质(1)设C是常数,则有.0)(CD22CC.0(2)设X是一个随机变量,C是常数,则有).()(2XDCCXD证明)(CXD})]({[22XEXEC).(2XDC})]({[2CXECXE).()()(YDXDYXD(3)设X,Y相互独立,D(X),D(Y)存在,则证明})](){[()(2YXEYXEYXD2)]}([)]({[YEYXEXE)]}()][({[2)]([)]([22YEYXEXEYEYEXEXE).()(YDXD推广).()()()(22221212211nnnnXDaXDaXDaXaXaXaD则有相互独立若,,,,21nXXX即取常数以概率的充要条件是,CX)X(D)(104.1}{CXP25)()(),()(CXEXDXEC则若(6)契比雪夫不等式证明.}{,,)(,)(222成立不等式则对于任意正数方差具有数学期望设随机变量定理εσεμXPεσXDμXEX对连续型随机变量的情况来证明.则有的概率密度为设),(xpX契比雪夫.}{22εσεμXPxxpμxεd)()(221.122σεxxpεμxεμxd)(2222}{εσεμXP.1}{22εσεμXP得}{εμXPεμxxxpd)(1.两点分布qpXE01)(Xp01pp1已知随机变量X的分布律为则有,p22)]([)()(XEXEXD222101p)p(pppq二、常见概率分布的方差2.二项分布),,,2,1,0(,)1(}{nkppknkXPknk.10p则有设随机变量X服从参数为n,p二项分布,其分布律为npppknkEXknknk)1(0])1([)(2XXXEXE)()]1([XEXXEnpppCkkknknkkn)1()1(0npppknknkkknknk)1()!(!!)1(0nppppnnn22)]1([)1(.)(22nppnn22)]([)()(XEXEXD222)()(npnppnn).1(pnpnpppkknnpnnknknk)2()2(222)1()!2()!()!2()1()1(pnp3.泊松分布.0,,2,1,0,!}{kekkXPk则有0!)(kkekkXE11)!1(kkkeee.且分布律为设),(~PX])1([)(2XXXEXE)()]1([XEXXE0!)1(kkekkk222)!2(kkkeee2.2所以22)]([)()(XEXEXD22..都等于参数泊松分布的期望和方差4.均匀分布则有xxxpXEd)()(baxxabd1).(21ba.,0,,1)(其它bxaabxp其概率密度为设),,(~baUX).(21ba结论均匀分布的数学期望位于区间的中点.22)]([)()(XEXEXD222d1baxabxba.12)(2ab12)(2ab5.指数分布.0.0,0,0,)(,其中其概率密度为服从指数分布设随机变量xxexpXx则有xxxpXEd)()(xexxd0./122)]([)()(XEXEXD202/1dxexx22/1/2./1/12和分别为指数分布的期望和方差216.正态分布其概率密度为设),,(~2σμNX则有xxxfXEd)()(xeσxσμxd21222)(tσμx令,tσμx.,0,21)(222)(xσeσxfσμx.μtteσteμttd2d212222xeσxXEσμxd21)(222)(所以teσtμtd)(2122μxeσμxσμxd21)(222)(2xxfμxXDd)()()(2得令,tσμxtetσXDtd2)(2222teteσttd2222222202σ.2σ.2σμ和分别为两个参数正态分布的期望和方差2σ分布名称参数数学期望方差两点分布二项分布泊松分布均匀分布指数分布正态分布几何分布10pp)1(pp10,1pnnp)1(pnp0ba2ba12)(2ab0/12/10,σμμ2σ10pp/12/)1(pp分布参数数学期望方差Gamma分布0,/2/).(.,,,,,)(XDxxxxxpX求其它具有概率密度设随机变量0101011解1001d)1(d)1()(xxxxxxXE,0三、例题讲解例11020122d)1(d)1()(xxxxxxXE,61于是22)]([)()(XEXEXD2061.61例3.15在每次试验中,事件A发生的概率为0.5.(1)利用切比谢夫不等式估计在1000次独立试验中,事件A发生的次数在400～500之间的概率;(2)要使A出现的频率在0.35～0.65之间的概率不小于0.95,至少需要多少次重复试验?解:设X表示1000次独立试验中事件A发生的次数,则X～B(1000,0.5),E(X)=10000.5=500,975.01002501100)(1100|)(|50060050050040060040022XDXEXPXPXPD(X)=10000.50.5=250,于是由切比谢夫不等式得(2)设需要做n次独立试验,则X～B(n,0.5),求n使得成立,由切比谢夫不等式得故至少需要做223次独立试验.95.015.05.05.065.05.05.035.065.035.0nnXPnnnXnnPnXP2.222,95.09.011)15.0(25.01)15.0(115.05.022nnnnnDXnnXP只要)(.,,,2,1),(,kkkXEkkXkXEX记为简称的称它为存在若是随机变量　　设阶矩阶原点矩kkkXEXEkXkXEXE))((.,,3,2,1},)]({[记为的称它为存在若　　阶中心矩四、矩的概念定义3.4定义3.5.)(1,1的数学期望就是时当显然XXEk).(2XD显然2.说明;,)()(方差为二阶中心矩点矩的一阶原是的数学期望随机变量XXEX2.;)(表示阶中心矩可以互相唯一阶原点矩和变量函数的数学期望以上数字特征都是随机kk1.4,)3(阶的矩很少使用高于在实际应用中.})]({[3机变量的分布是否有偏主要用来衡量随　　三阶中心矩XEXE.})]({[4近的陡峭程度如何机变量的分布在均值附主要用来衡量随　　四阶中心矩XEXE五、小结1.方差是一个常用来体现随机变量X取值分散程度的量.如果D(X)值大,表示X取值分散程度大,E(X)的代表性差;而如果D(X)值小,则表示X的取值比较集中,以E(X)作为随机变量的代表性好.,)]([)()(22XEXEXD2.方差的计算公式,)]([)(12kkkpXExXD.d)()]([)(xxpXExXD23.方差的性质).()()(YX,3);()(2;0)(10200YDXDYXDXDCCXDCD独立时，当22}{εσεμXP.1}{22εσεμXP4.契比雪夫不等式..变量的数字特征矩是随机5.;)(方差为二阶中心矩的一阶原点矩是的数学期望随机变量XXEX)44(2XXE44)(2EXEXDX434352.30.30)2(2XE所以解)44()2(22XXEXE4)(4)(2XEXE.)2(,5)(,3)(2XEXDXE求已知例1备份题.)(;,,)(:,}{,)(.,,,,,)(的数学期望与方差随机变量的值求且已知其它的概率密度为设随机量XeYcbaXPXExbcxxaxxpX213431304220解,d)()(11xxp因为例2xbcxxxaxxXEd)(d)(4220,2)(XE,2bca35638,43}31{XP,432523d)(d2132bcaxbcxxax,262bca2042dd1xbcxxax所以,1b,41a解之得.41c.432523,235638,1622cbabcacba因此有,)1(16124e22)()()(XXXEeeEeD得22224])1(41[)1(161ee.)1(41222eexxexxeeExxXd)141(d41)()2(4220,)1(4122exxexxeeExxXd)141(d41)(4222022证明,1n.)}({,.,,,!)(1120000nnnXPnxxnexxpXxn试证为正整数其中的分布密度为设随机变量xxpxXEd)()(22xexxnxnd!102例3xexxnxxxpXExnd!d)()(01因为2)1()1)(2(nnn}1)1()1({nnXnP}1)1({nnXPxexxnxnd!102),1)(2(nn.1n22)()()(EXXEXD所以)}1(20{nXP又因为2)1(11nn.1nn.1)}1(20{nnnXP)}1()({1nXEXP2)1()(1nXD}1)({nXEXP故得).(,.,π,cos)(YDXYxxxpX的方差求随机变量其它的概率密度为设连续型随机变量2020解xxp