固体物理答案第3章

3．1已知一维单原子链，其中第j个格波，在第n个格点引起的位移nj为：sin()njjjjjatnaqj为任意相位因子。并已知在较高温度下每个格波的平均能量为BkT。具体计算每个原子的平方平均位移。解：（１）根据2011sin()2TjjjtnaqdtT其中2jT为振动周期，所以22221sin()2njjjjjjatnaqa（２）第j个格波的平均动能（３）经典的简谐运动有：每个格波的平均动能＝平均势能＝12格波平均能量＝12BkT振幅222BjjkTaNm，所以22212BnjjjkTaNm。而每个原子的平方平均位移为：222221()2BnnjnjjjjjjjkTaNm。３．２讨论N个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为a），其２N个格波的解。当mM时与一维单原子链一一对应。解：（１）一维双原子链：22qaa声学波：12222411sin()mMmMaqmMmM当mM时，有2224(1cos)sin2aqaqmm。光学波：12222411sin()mMmMaqmMmM当mM时，有2224(1cos)cos2aqaqmm。（２）一维双原子链在mM时的解22224sin2422cos2aqmqaqaam与一维单原子链的解224sin2aqqmaa是一一对应的。3．5已知NaCl晶体平均每对离子的相互作用能为：其中马德隆常数1.75,9an,平衡离子间距02.82r?。（１）试求离子在平衡位置附近的振动频率。（２）计算与该频率相当的电磁波的波长，并与NaCl红外吸收频率的测量只值61进行比较。解：（1）处理小振动问题，一般可采用简谐近似，在平衡位置附近，可将互作用能展开至偏差0rr的二次方项。2240000200()()1()()()2UrUrUrUrO（1）其中00()0Ur为平衡条件。由0r已知可确定：210nqrn。（2）根据（1）式，离子偏离平衡位置所受的恢复力为：2'0020()()UrUrF（3）故恢复力常数为02'2230()1rUrnqrr。（4）对于离子晶体的长光学波，'23022()(1)(0)mMmMmMnqmMr（5）将Na的原子质量24231.6610mg,Cl的原子质量2435.51.6610Mg，基本电荷电量104.80310qesu代入上式，得（２）相对应的电磁波波长为8614223.142.998101710171.1110cmm（6）对应与远红外波，与NaCl红外吸收频率测量值在同一数量级。[注：如采用国际单位制进行计算，因在（2）式前乘一因子9018.99104k牛顿米2/库仑]3．6求出一维单原子链的频率分布函数()。解：一维单原子链的色散关系为：22224sinsin22maqaqm，其中4mmsin2maq,振动模式的数目：2222222cos22mmNaNadNdndqdaaq所以222()0mmmNg3．7设三维晶格的光学振动在0q附近的长波极限有：求证：频率分布函数为120023/201()()40VgA证明：由20()qAq，得()2qqAq。故频率分布函数为120023/201()()40VgA3．8有N个相同原子组成面积为S的二维晶格，在德拜近似下，计算比热，并讨论在低温极限比热正比于2T。解：（1）q空间的状态密度为2(2)S。每个q对应一个纵波，cq，每个q对应一个横波，cq。所以d范围的状态数应包括纵波和横波的状态数：其中2221111()2ccc由于晶格振动模数有限，则晶格振动最高频率由决定。由此得124()DNcS。比热2220022()()()2(1)(1)BBDDBBkTkTBBVBBkTkTeekTkTSckgdkdcee令BxkT，DBDk,D—德拜温度。32204()(1)DxTvBxDTxecNkdxe。（2）在低温极限0T，DT，3222204()24()(1)xvBBxDDTxeTcNkdxNkTe，与三维情况下的德拜3T律相对应。3．10设晶体中每个振子的零点震动能12，试用德拜模型求晶体的零点振动能。解：根据德拜理论，cq，可得晶格频率分布函数为2233()2Vgc。存在m，在m范围的振动都可用弹性波近似，m则根据自由度确定如下：223003()32mmVgddNc。或1326()mNcV。因此固体总的零点振动能为0019()28mmEgdN。3．11一维复式格子2451.6710mg，4Mm，1.510/Nm（即41.510/)dyncm，求：（１）光学波maxO，minO，声学波maxA。（２）相应声子能量是多少电子伏特。（３）在300K时的平均声子数。（４）与maxO相对应的电磁波在什么波段。解：（1）（2）（3）在300TK相应的能量：因此在室温只能激发声学声子，平均声子数为（4）8513max223.142.988102.810286.7010Ocmm。此波长处在红外波段。