大学课件电磁学-第一章集锦

21221021ˆπ4121rerqqFq1q21.库仑定律21ˆre2.电力叠加原理iiFF0qFE3.电场强度定义单位：N/CorV/m5.场强叠加原理iiEE4.点电荷的场强公式rerQEˆπ420[例]均匀带电圆环轴线上一点的场强。设半径为R的细圆环均匀带电，总电量为q，P是轴线上一点，离圆心O的距离为x，求P点的场强。dqrOxRxPEd//dEEd解：(3)(4)积分求解:由于对称性(1)20π4ddrqE(2)将分解为Edcosdd//EEsinddEE0dEEcosπ4dd20////rqEEE在圆环上任意取一线元dl，其带电量为dqdqrOPxRxEd//dEEdcosπ4dd20////rqEEE在积分过程中，r和保持不变，可以提到积分号外，即cos2020π4cosdπ4cosrqqrE22,cosxRrrx2/3220)(π4xRqxEdqrOPxRxEd//dEEd讨论(1)环心处，x=0，E=0；(3)当xR时，20π4xQE思考如果把圆环去掉一半，P点的场强是否等于原来的一半？(2)当Q0时，沿轴线指向远离轴线的方向；E23220π4RxxQE0ddxER22R22EOx(4)，Rx22相当于一个点电荷产生的电场。求均匀带电圆盘轴线上一点的场强，如何取微元？正方形带电线框中垂线上一点的场强？长方形带电板中垂线上一点的场强？思考xORPx方向如图所示[例]均匀带电圆盘轴线上一点的场强。半径为R的圆盘均匀带电，面电荷密度为(0)。P为轴线上一点，离圆心O的距离为x，求P点的场强。rdrEd解：带电圆盘可分割成许多同心圆环，取半径为r,宽度dr的圆环，其电量为2rdr，它产生的场强为:2/3220)(π4dπ2dxrrxrE由于不同圆环在P点产生的场强方向相同,因此P点的合场强为：EEdRxrrrx02/3220)(d2xORrdrEdPxRxrrxrE02/3220)(π4dπ22/1220)(12xRx(1)当xR时，可将带电圆盘看作是无限大带电平面，此时是一个均匀电场，E=/20讨论(2)当xR时，2221)(xR212211xRx222111xRx式中q=R2是圆盘所带的总电量，说明在远离圆盘处的电场也相当于点电荷的电场。ER2/(40x2)=q/(40x2)0002E无限大带电平面000?匀强电场00E00+RP理想模型点电荷电偶极子无限长带电线无限大带电面讨论drdrLr叠加原理rdlrLrdrlr条件带电体P场点匀强电场——一族形象描述场强分布空间曲线1.规定方向：每一点的切线方向和该点场强方向一致；数密度：使通过电场中任一点与电场垂直的单位面积的电场线数目，等于(或正比于)该点场强的量值。EdSSNEdd§1.3高斯定理(Gauss’Theorem)§1.3高斯定理(Gauss’Theorem)§1.3.1电场线(electriclineofforceorelectricfieldline)NdSNdd一些静电场的电场线图形点电荷rerQEˆπ420电偶极子ˆˆ3π4130rrepeprE一对等量正点电荷一对异号不等量点电荷平板电容器0E有限长均匀带电直线的电场线q210coscosπ4xEx120sinsinπ4xEy2.性质1)电场线起自正电荷(或无穷远处)，止于负电荷，不会在没有电荷处中断；2)若体系正、负电荷一样多，则由正电荷发出的全部电场线都终止于负电荷；3)电场线不会形成闭合曲线；4)没有电荷处，两条电场线不会相交。§1.3.1电场线(Electricfieldline)§1.3.2电通量(ElectricFlux)1.定义：通过任一面的电场线条数cosdddeSESEcosddˆdnSESeESEnˆddeSSSEddeSdSdEneθθ2.通过任意曲面的电通量怎么计算？S把曲面分成许多个面积元SdESSEddee每一面元处视为匀强电场取决于面元的法线方向的选取讨论θ是锐角，0dSEθ是钝角，0dSESEdde可正可负(1)(2)通过闭合曲面的电通量SSEde规定：面元方向由闭合面内指向面外θθSdSdEE通过整个闭合曲面的电通量就等于净穿出封闭面的电场线的总条数。电场线穿出0dSE电场线穿入0dSE§1.3.3高斯定理(Gausstheorem)在真空中的静电场内，通过任意封闭曲面的电通量等于该封闭曲面所包围的电荷的电量的代数和的倍。0/1高斯用电通量的概念给出电场和场源电荷之间的关系0diiqSSE内Gauss面通过任意闭合曲面的电通量Gauss面上的场强，是所有电荷产生的场面内电量的代数和，与面外电荷无关§1.3.3高斯定理(Gausstheorem)0deiiqSSEΦ内高斯（CarlFriedrichGauss1777~1855）德国数学家、天文学家和物理学家。高斯在数学上的建树颇丰，有“数学王子”美称。高斯长期从事于数学并将数学应用于物理学、天文学和大地测量学等领域的研究，主要成就：(1)物理学和地磁学：关于静电学、温差电和摩擦电的研究、利用绝对单位（长度、质量和时间）法则量度非力学量以及地磁分布的理论研究。(2)光学：利用几何学知识研究光学系统近轴光线行为和成像，建立高斯光学。(3)天文学和大地测量学中：如小行星轨道的计算，地球大小和形状的理论研究等。(4)试验数据处理：结合试验数据的测算，发展了概率统计理论和误差理论，发明了最小二乘法，引入高斯误差曲线。(5)高斯还创立了电磁量的绝对单位制。SrqSESEdπ4ddd20e022020π4π4dπ4qrrqSrqS这一结果与球面半径r无关，只与它所包围的电荷电量q有关。SdEqrSSSSrqSEdπ4d20ererqE20π4二、推导半径为r的球面上的场强：通过面元dS的电通量：1.只有一个点电荷且闭合曲面为以点电荷为球心的球面电场线通过球面S的电通量：2.曲面为任意闭合面且点电荷在曲面内qSS’电场线穿过球面S的每一条电场线必然通过曲面S，反之亦然，故通过曲面S的电通量：0'edqSES3.点电荷在闭合曲面外电场线qS’’进出S的电场线的条数相等，净通量为零，故通过曲面S的电通量：0d''eSSEniinEEEEE121SESEiSniSdd1eSESEiSnjiiSjidd11..............q1q2qjqj+1qnS内qqSEijiiSji00111d0d1SEiSnji4.生场电荷为多个点电荷内qSES0e1d高斯定理成立推论：对任意连续电荷分布亦正确。注意1.以上对高斯定理的证明并不严格，实际上，高斯定理可从库仑定律严格导出，它是平方反比规律的必然结果。它源于库仑定律，高于库仑定律(适用运动电荷的电场)。内qSES01d2.高斯定理中的是封闭曲面上各点的场强，是由面内面外所有电荷共同产生的，并非只由封闭曲面内的电荷所产生。E注意3.只有封闭曲面内部的电荷才对通过封闭曲面的总电通量有贡献，封闭曲面外部的电荷对这一总电通量无贡献，即通过封闭曲面的总电通量取决于它所包围的电荷。内qSES01d4.高斯定理中的叫做封闭曲面内的净电荷，当它等于零时，通过封闭曲面上的电通量就为零，这并不意味着封闭曲面上的电场处处为零，也不意味着封闭曲面内一定无电荷。内q5.静电场性质的基本方程，有源场。+q，发出q/0条电场线，是电场线的“头”-q，吸收q/0条电场线，是电场线的“尾”[思考题]：（1）若高斯面上场强处处为零，能否认为高斯面内一定无电荷？（2）若高斯面上场强处处不为零，能否说明高斯面内一定有电荷？（场强的通量与场强是两个不同的概念）（3）若穿过高斯面的电通量不为零，高斯面上的场强是否一定处处不为零？（4）一点电荷q位于一立方体的中心，立方体边长为L，试问通过立方体一面的电通量是多少？若此电荷移动到立方体的一个顶角上，这时通过立方体每一面上的电通量是多少？否否否q/(60)[思考题]一点电荷q位于一立方体的一个顶角上，立方体边长为L，试问通过立方体每一面上的电通量是多少？答：点电荷的电场线是径向的。因此包含点电荷所在的顶点的三个面上各点的均平行于各自的平面，故通过这三个面的电通量为零。E123为了能应用高斯定理方便地求出电通量，必须使q位于一高斯面内，今在q周围再联接7个大小相同的立方体，使q位于中心，这时通过边长为L的立方体的另外三个面的电通量各为q/(240)。§1.3.4利用高斯定理求静电场的分布内qSES01d常见的电量分布的对称性：球对称柱对称面对称均匀带电的球体无限长无限大点电荷球面直线柱面柱体平板平面高斯定律的成立条件是普遍的，但为了用高斯定理求场强，问题本身必须具有良好的对称性，以便将高斯定理中面积分下的提到积分号外。E[例]求均匀带电球面(Q，R)的电场强度。电场分布的对称性分析EOdqEdPdqEd[例]求均匀带电球面的电场分布。设球面半径为R，球面上所带总电量为q(q0)。解:PrS当rR时，高斯面为S，应用高斯定理：内qSES01dESdqSES01dqSES01dqrE021π4)(π420RrrqE方向沿径矢向外与整个球面的电量都集中在球心时的场强相同本例中电荷分布具有球对称性，可以判断，空间任意点的场强一定沿着径矢方向，而且在与球心O等距离处，场强的大小应相等。设P是空间任意一点，与球心O的距离为r。以点O为球心，通过P点作半径为r的球面，以此作为高斯面。EROPrRS当rR时，高斯面为S，应用高斯定理:S’内qSES0'1d)(0RrE0π42rE所以均匀带电球面场强分布：E)(0Rr)(ˆπ420Rrerqr对于q0的情况，场强的大小与q0的情况一样，但球外场强的方向指向带电球面。Er1.如何理解面内场强为0?过P点作圆锥则在球面上截出两电荷元2211ddddSqSq21011π4ddrSE22022π4ddrSEP1dq2dqdq1在P点场强方向如图方向如图dπ40dπ4021ddEEdq2在P点场强平面角ORABRBA(弧度)立体角SOR2RS(球面度)2.如何理解带电球面rR处E值突变？因为上面采用了面模型。[例]求带电球层(R1，R2，)的电场分布1RO2R解：SrPSSEd2π4rE0内q(1)当rR1时，SrP0内q0E(2)当R1rR2时，313π34π34Rrq内rerRrEˆ32310(3)当rR2时，3132π34π34RRq内rerRREˆ3203132)(rerqˆπ420厚度较大厚度较小厚度为零球面带电球层的电场分布1RO2R1R2RO1R2RO21RRrEEE1RO2R解：上题中R10，R2R