大学课件电磁学-电场及其叠加原理

1.2电场、电场强度12库仑定律描述了空间中两个点电荷之间的相互作用力与两个电荷的带电量和距离有关，但是在两个电荷没有直接接触的情况下,它们之间的相互作用力是如何传递的呢？3“声音是物体振动而产生的一种声波，然后经由一定的介质（这里的介质是指空气、液体、固体）传播，最终被人所听到”Ref:真空中不能传递声音！4早期：超距作用理论电荷电荷无法解释电力以3×108m/s进行传输两电荷之间的作用是直接和即时的发生作用，既不需要时间也不需要中间介质两个电荷可以在真空中发生作用！5这种观点认为：任何电荷都在周围的空间激发出称为电场的物质,电荷和电荷的相互作用就是通过电场来传递的,传递以有限的速度进行,跨越空间的传递需要一定的时间。1.2.1电场法拉第提出近距作用观点电荷电场电荷迈克尔.法拉第(1791-1867)电场的对外表现性质•对放在其内的任何电荷都有作用力。•当带电体在电场中移动时，电场作用的力将对带电体做功，这表明电场具有能量。•电场能使引入电场中的导体或电介质分别产生静电感应现象或极化现象。47电场的本质•实验证实电场及其后面讲到的磁场是一种客观存在的特殊形态的物质,与物质的另一种形态—原子、分子组成的实物一样，具有能量、动量和质量等物质属性•电场又不同于一般的实物,各个电荷激发的电场可以同时占据同一个空间,电场的空间兼容性将会导致电场的叠加性电场强度是描述电场中各点电场的强弱和方向的物理量线度足够地小试验电荷电量充分地小结论：对确定场点，比值F/q0与试验电荷的大小无关q0受力:F2q0受力:2F在电场中A点处002....C2FFqq002.....C'2FFqqq0受力大小:Fʹ2q0受力大小:2Fʹ在电场中B点处1.2.2电场强度QAB试验电荷试验电荷6电场强度定义:电场中任一点的电场强度，在数值和方向上等于静止于该点的单位正电荷所受的力。90FEq国际单位制单位:N/C或者V/m电场强度概念注意：•引入试验电荷是为了感知电场(树叶感知风),有无试验电荷，电场都是客观存在的,•静电场：相对观察者静止的电荷产生的电场•点电荷q在外电场中受的电场力(,,,);EExyzt=vv(,,);EExyz=vv.FqE=vv点电荷的场强公式10qPq0Eˆrr由库仑定律:由场强定义:020ˆ4πqqFrr0FEq20ˆ4πqErr1).点电荷电场中各点的场强方向为正的试验电荷的受力方向;1.2.3电场强度的计算2).静止的点电荷电场具有球对称性,即以点电荷为中心的每个球面上各点的场强大小相等,方向沿径向向外或向内.点电荷系的场强11由电力叠加原理:1niiFF由场强定义:0FEq1100niniiiFFqq整理后得:1niiEE0qiq带电体由n个点电荷组成即：在n个点电荷产生的电场中某点的电场强度,等于各点电荷单独存在时在该点产生的电场强度的矢量和。它是电力叠加原理的直接结果，是求解电场的一个重要基础。q11ˆr332110ˆ4πiiiiiiqEErrq2q32ˆr3ˆr2E3EP12E1E点电荷系的场强13连续电荷分布的场强P电荷分布在一个体积中,求此带电体在空间中某一点P产生的场强不把电荷看成像电子或质子那样的组成单元,而是把它们想象成连续分布,这样我们就可通过电荷密度ρ来描述电荷分布14P连续电荷分布的场强iiqViEriˆir在小体积元内的电量等于:iViiqV根据库仑定律,这个小体积元产生的场强为:220011ˆˆ44iiiiiiiqVErrrr15P连续电荷分布的场强iiqViEriˆir201ˆ4iiiiiiVEErr带电体产生的电场:2200011ˆˆlim44iiiViiVVErrdVrr利用电场的叠加原理求和变积分:16连续电荷分布的场强+++++++201ˆ4sErdsr201ˆ4lErdlrσ:面电荷密度λ:线电荷密度例1：电偶极子的场强17求：(1)中垂线上任一点场强；(2)连线上任一点场强。-+-q+ql电偶极矩：𝑝=𝑞𝑙lrrrrPqqlOrEEE+-解:(1)304πqrEr304πqrEr当时，lrrrr且rrl30()4πqEEErrr304πpr方向与电偶极矩的方向相反304πqlr(2):方向向右即方向与电偶极矩的方向相同当𝑙𝑟时，略去l2/4∴𝐸=𝐸+−𝐸−=𝑞4π𝜀02𝑟𝑙𝑟2−𝑙242,方向向右𝐸−=𝑞4π𝜀01𝑟+𝑙22𝐸+=𝑞4π𝜀01𝑟−𝑙22∴𝐸=2𝑞𝑙4π𝜀0𝑟3𝐸=2𝑝4π𝜀0𝑟3例1：电偶极子的场强OP+𝑞−𝑞𝑙+-E13例2:均匀带电直线的电场19设直导线AB均匀带电，单位长度上所带的电量为(称为线电荷密度，单位为C/m)，求空间一点P处的场强。设P点与A、B的连线与AB的夹角分别为q1和q2，P点与直导线的垂直距离为a。OxABdlyPaq1q2qlrd𝐸d𝐸𝑦d𝐸𝑥解：先建立坐标如图，设0。在带电直线段上取一个线元dl，它的坐标为l，带电量为dl。当dl取得足够小时，可以把它看成是点电荷，它在P点产生的场强d𝐸可以分解成x分量d𝐸𝑥和y分量d𝐸𝑦，而：d𝐸𝑥=d𝐸cos𝜃=𝜆d𝑙4π𝜀0𝑟2cos𝜃d𝐸𝑦=d𝐸sin𝜃=𝜆d𝑙4π𝜀0𝑟2sin𝜃20d𝐸𝑥=d𝐸cos𝜃=𝜆d𝑙4π𝜀0𝑟2cos𝜃d𝐸𝑦=d𝐸sin𝜃=𝜆d𝑙4π𝜀0𝑟2sin𝜃式中r,l,q都是变量。为了完成积分，必须统一变量：𝑟=𝑎sin𝜃𝑙=−𝑎ctg𝜃d𝑙=𝑎d𝜃sin2𝜃∴d𝐸𝑥=𝜆4π𝜀0𝑎cos𝜃d𝜃d𝐸𝑦=𝜆4π𝜀0𝑎sin𝜃d𝜃例2:均匀带电直线的电场𝐸𝑥=𝜆4π𝜀0𝑎cos𝜃d𝜃=𝜆4π𝜀0𝑎(sin𝜃2−sin𝜃1𝜃2𝜃1𝐸𝑦=𝜆4π𝜀0𝑎(cos𝜃1−cos𝜃2)OxABdlyPaq1q2qlrd𝐸d𝐸𝑦d𝐸𝑥21𝐸𝑥=𝜆4π𝜀0𝑎(sin𝜃2−sin𝜃1)𝐸𝑦=𝜆4π𝜀0𝑎(cos𝜃1−cos𝜃2)讨论：(1)若带电直线无限长，则𝜃1=0，𝜃2=π，𝐸𝑥=0𝐸=𝐸𝑦=𝜆2π𝜀0𝑎即无限长均匀带电直线外一点的场强大小为𝜆2π𝜀0𝑎,方向垂直带电直线。若直线带正电,𝐸垂直直线向外；若直线带负电,𝐸垂直直线且指向直线。OxABdlyPaq1q2qlrd𝐸d𝐸𝑦d𝐸𝑥例2:均匀带电直线的电场(2)若P点在带电直线的中垂线上，则𝜃2=π-𝜃1𝐸𝑥=0𝐸𝑦=𝜆4π𝜀0𝑎2cos𝜃1=𝜆2π𝜀0𝑎cos𝜃1又cos𝜃1=𝑙2𝑎2+𝑙22𝐸=𝐸𝑦=𝜆𝑙4π𝜀0𝑎21+𝑙24𝑎2121.选取典型的电荷元，画出；dEr2.引入电荷密度，写出；dE3.建立坐标系，写出分量式；4.写出积分式，统一积分变量；5.定出上下限，注意对称性；6.积分求结果，代数求其值；7.进行讨论，加深理解。OxABdlyPaq1q2qlrd𝐸d𝐸𝑦d𝐸𝑥小结18例3:无限长带电平板的电场23真空中有一无限长，宽为b的薄平板，均匀带电，面电荷密度为𝜎(𝜎0)。求：(1)与平板共面且到平板中分线的距离为d1(d1b/2)的P1点的场强；(2)过中分线的垂线上到平板距离为d2的P2点的场强。P1P2bd2d1xdxxzO解：把平板分成许多平行于中分线的窄条，每个窄条都视为无限长均匀带电直线。建立如图所示坐标系，考虑其中一个窄条，其坐标为x，宽为dx，线电荷密度为𝜆=𝜎d𝑥回忆：对于无限长直线的电场：𝐸=𝜆2π𝜀0𝑎24P1P2bd2d1xdxxzOd𝐸1(1)：在P1点，该电荷元产生的场强为d𝐸1=𝜎d𝑥2π𝜀0𝑑1−𝑥方向沿x轴正向不同电荷元产生的场强方向相同，所以不用分解。𝐸1=d𝐸1=𝜎2π𝜀0𝑑1−𝑥𝑑𝑥𝑏/2−𝑏/2=𝜎2π𝜀0ln2𝑑1+𝑏2𝑑1−𝑏例3:无限长带电平板的电场25d𝐸2=𝜎d𝑥2π𝜀0𝑑22+𝑥212(2)方向如图所示。不同电荷元产生的场强方向不同，所以需要分解。22ddsinxEEq11222222022d2πxxdxdx2202d2πxxdx22ddcosyEEq22202d2πdxdx例3:无限长带电平板的电场xzOP1P2bd2d1xdx2dE1dE26/22222/202dd02πbxxbxxEEdx/222222/202dd2πbyybdxEEdx11022[tan()tan()]2π22bbdd上式也可由电荷元分布的对称性得到例3:无限长带电平板的电场xzOP1P2bd2d1xdx2dE1dE12(tan)11dxdxx提示：(1)对P1点，当d1b时111010121/(2)lnln2π22π1/(2)dbbdEdbbd011[ln(1)ln(1)]2π22bbdd220111111[()()]2π222222bbbbdddd01012π2πbdd此时，无限长均匀带电平板可视为无限长带电直线。ln(1)x212xx1x讨论例3:无限长带电平板的电场23(2)对P2点，当bd2时，即无限大均匀带电平面1122ππtan(),tan()2222bbdd11220220[tan()tan()]2π222ybbEEdd即：无限大均匀带电平面两侧是匀强电场。例3:无限长带电平板的电场24垂直带电平面，指向远离平面的方向；0,Esv垂直带电平面，指向平面。0,Esv29dqrOPxRxd𝐸//d𝐸⊥d𝐸𝜃均匀带电圆环轴线上一点的场强。设半径为R的细圆环均匀带电，总电量为q，P是轴线上一点，离圆心O的距离为x，求P点的场强。(4)积分求解:由于对称性:20dd4πqEr(3)将分解为dE//ddcosEEqddsinEEqd0EE////20ddcos4πqEEErq解：(1)在圆环上任意取一线元dl，其带电量为dq(2)例4：均匀带电圆环场强30dqrOPxRxd𝐸//d𝐸⊥d𝐸𝜃////20ddcos4πqEEErq2200coscosd4π4πqEqrrqq22cos,xrRxrq223/204π()qxERx在积分过程中，r和cosθ保持不变，可以提到积分号外，即：例4:均匀带电圆环场强31讨论dqrOPxRxd𝐸//d𝐸⊥d𝐸𝜃223/204π()qxERx(1)环心处，x=0，E=0；(2)当q0时,沿轴线指向远离轴线的方向,当q0时沿轴线指向环心；(3)当xR时，𝐸=𝑞4π𝜀0𝑥2即远离环心处的电场相当于一个点电荷产生的电场。例4:均匀带电圆环场强32均匀带电圆盘轴线上一点的场强。半径为R的圆盘均匀带电，面电荷密度为(0)。P为轴线上一点，离圆心O的距离为x，求P点的场强。ORPxdrrd𝐸解：带电圆盘可分割成许多同心圆环，取半径为r,宽度dr的圆环，其电量为2rdr，它产生的场强为:223/202πdd4π()rrxErx方向如图所示例5: