高中数学知识点总结：二次函数

高中数学知识点总结第1页共4页高中数学知识点总结：二次函数二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：2()(0)fxaxbxca②顶点式：2()()(0)fxaxhka③两根式：12()()()(0)fxaxxxxa（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()fx更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数2()(0)fxaxbxca的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bxa顶点坐标是24(,)24bacbaa．②当0a时，抛物线开口向上，函数在(,]2ba上递减，在[,)2ba上递增，当2bxa时，2min4()4acbfxa；当0a时，抛物线开口向下，函数在(,]2ba上递增，在[,)2ba上递减，当2bxa时，2max4()4acbfxa．③二次函数2()(0)fxaxbxca当240bac时，图象与x轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||MxMxMMxxa．（4）一元二次方程20(0)axbxca根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)axbxca的两实根为12,xx，且12xx．令2()fxaxbxc，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a②对称轴位置：2bxa③判别式：④端点函数值符号．高中数学知识点总结第2页共4页①k＜x1≤x2xy1x2x0aOabx20)(kfkxy1x2xOabx2k0a0)(kf②x1≤x2＜kxy1x2x0aOabx2k0)(kfxy1x2xOabx2k0a0)(kf③x1＜k＜x2af(k)＜00)(kfxy1x2x0aOkxy1x2xOk0a0)(kf④k1＜x1≤x2＜k2xy1x2x0aO1k2k0)(1kf0)(2kfabx2xy1x2xO0a1k2k0)(1kf0)(2kfabx2⑤有且仅有一个根x1（或x2）满足k1＜x1（或x2）＜k2f(k1)f(k2)0，并同时考虑f(k1)=0或f(k2)=0这两种情况是否也符合高中数学知识点总结第3页共4页xy1x2x0aO1k2k0)(1kf0)(2kfxy1x2xO0a1k2k0)(1kf0)(2kf⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)fxaxbxca在闭区间[,]pq上的最值设()fx在区间[,]pq上的最大值为M，最小值为m，令01()2xpq．（Ⅰ）当0a时（开口向上）①若2bpa，则()mfp②若2bpqa，则()2bmfa③若2bqa，则()mfq①若02bxa，则()Mfq②02bxa，则()Mfpxy0aOabx2pqf(p)f(q)()2bfaxy0aOabx2pqf(p)f(q)()2bfaxy0aOabx2pqf(p)f(q)()2bfaxy0aOabx2pqf(p)f(q)()2bfa0xxy0aOabx2pqf(p)f(q)()2bfa0x高中数学知识点总结第4页共4页(Ⅱ)当0a时(开口向下)①若2bpa，则()Mfp②若2bpqa，则()2bMfa③若2bqa，则()Mfq①若02bxa，则()mfq②02bxa，则()mfp．xy0aOabx2pqf(p)f(q)()2bfaxy0aOabx2pqf(p)f(q)()2bfaxy0aOabx2pqf(p)f(q)()2bfa0xxy0aOabx2pqf(p)f(q)()2bfaxy0aOabx2pqf(p)f(q)()2bfa0x