seir模型

seir模型传染病的基本数学模型，研究传染病的传播速度、空间范围、传播途径、动力学机理等问题，以指导对传染病的有效地预防和控制。常见的传染病模型按照传染病类型分为SI、SIR、SIRS、SEIR模型等，按照传播机理又分为基于常微分方程、偏微分方程、网络动力学的不同类型。一般把传染病流行范围内的人群分成如下几类：1、S类，易感者(Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；2、E类，暴露者(Exposed)，指接触过感染者，但暂无能力传染给其他人的人，对潜伏期长的传染病适用；3、I类，感病者(Infectious)，指染上传染病的人，可以传播给S类成员，将其变为E类或I类成员；4、R类，康复者(Recovered)，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。如免疫期有限，R类成员可以重新变为S类。SI模型将人群分为S类和I类，建立如下微分方程：这里β为传染率。在疾病传播期内，所考察地区的总人数S(t)+I(t)=K保持不变。利用这一守恒关系得这是一个逻辑斯谛模型。其指数增长率r=βK正比于总人数K和传染率β。这个模型有两个主要结论：（1）指数增长率r正比于总人数。当传染率β一定时，一定染病地区内的总人数K越多，传染病爆发的速度越快，说明了隔离的重要性；（2）在I=K/2时，病人数目I增加得最快，是医院的门诊量最大的时候，医疗卫生部门要重点关注。SIR模型SI模型只考虑了传染病爆发和传播的过程。SIR模型进一步考虑了病人的康复过程。模型的微分方程为总人数S(t)+I(t)+R(t)=常数。这里假设病人康复后就获得了永久免疫，因而可以移出系统。对于致死性的传染病，死亡的病人也可以归入R类。因此SIR模型只有两个独立的动力学变量I和S，它们的相轨迹满足给定t=0时刻的初条件S=S0，随着S从S0开始单调递减，染病人数I在S=γ/β时达到峰值，随后一直回落，直到减为零。此时剩余一部分易感人群S∞，而疾病波及到的总人数为R∞，二者可由总人数守恒和相轨迹方程解出。SIRS模型如果所研究的传染病为非致死性的，但康复后获得的免疫不能终身保持，则康复者R可能再次变为易感者S。此时有总人数S(t)+I(t)+R(t)=N为常数。参数α决定康复者获得免疫的平均保持时间。系统有两个不动点S=N（I=R=0）或S=γ/β（I/R=α/γ）。前者表示疾病从研究地区消除，而后者则是流行状态。消除流行病的参数条件是γβN。若做不到，则要尽量减小α而增加γ，使更多人保持对该疾病的免疫力。SEIR模型如果所研究的传染病有一定的潜伏期，与病人接触过的健康人并不马上患病，而是成为病原体的携带者，归入E类。此时有仍有守恒关系S(t)+E(t)+I(t)+R(t)=常数，病死者可归入R类。潜伏期康复率γ1和患者康复率γ2一般不同。潜伏期发展为患者的速率为α。与SIR模型相比，SEIR模型进一步考虑了与患者接触过的人中仅一部分具有传染性的因素，使疾病的传播周期更长。疾病最终的未影响人数S∞和影响人数R∞可通过数值模拟得到。