级数复习

2.判别正项级数敛散性的方法与步骤必要条件0limnnu不满足发散满足比值审敛法limn1nunu根值审敛法nnnulim1收敛发散1不定比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限1有极限部分和数列收敛}{.nnSu1第12章数项级数nu0nunu发散NYnnuu1lim1Ynnvu0nnulimN1NYnu收敛nv收敛nu发散nu收敛nv发散nu0nuN发散nuY敛||nuY绝对收敛nu收敛nuN用检比法用比较法用L—准则或考察部分和N收敛nuNY条件收敛3.比较原则的极限形式设1nnu与1nnv都是正项级数,如果则(1)当时,二级数有相同的敛散性;(2)当时，若收敛,则收敛;(3)当时,若1nnv发散,则1nnu发散;,limlvunnnl00ll1nnv1nnu极限审敛法0,0nnvu设nnvu与若是同阶无穷小同敛散与则nnvu特别nnvu~若（等价无穷小）同敛散与则nnvu级数收敛的必要条件:.0limnnu4.任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz判别法:01nnuu0limnnu则交错级数nnnu1)1(收敛概念:绝对收敛条件收敛绝对收敛：1.1nnu收敛；1nnu条件收敛：1.2nnu收敛；发散，11nnnnuu..31发散nnu任意项级数的敛散性重要参考级数:nnq0pnn11nn111.几何级数:2.P-级数:3.调和级数:发散.当|q|1时收敛，当|q|≥1时发散；当p1时收敛，当p≤1时发散；绝对收敛与条件收敛的判别步骤：nu已知的判别法）的敛散性（用正项级数先考察nu)(1收敛若nu绝对收敛nu)(2发散若nu的敛散性再考察nu)(2为交错级数若nu用莱布尼兹判别法不是交错级数若nu或狄利克雷判别法用阿贝尔判别法收敛若nu条件收敛nu发散若nu发散nu例1求极限nnnn2!3lim解考察正项级数nnnnu2!3nnnnnnnnnnuu32!2)!1(3limlim11110)1(23limnn由检比法nnn2!3收敛由级数收敛的必要条件得02!3limnnnn二、典型例题0!lim3nnnanb例2.证明：证明：设级数为13nnnanb!因为0131anbuunnnn)(limlim由比值判别法知级数再由收敛级数的必要条件得到：0!lim3nnnanb1收敛，13nnnanb!例3设0limanann试证na发散.证不妨设a0由极限保号性知N时当Nn0na由于01limlimananannnn故由比较法的极限形式得na发散.;1ln)1()3(1nnnn例13讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:;sin)1()2(1111nnnn提示:(1)P1时,绝对收敛;0p≤1时,条件收敛;p≤0时,发散.(2)因各项取绝对值后所得强级数故原级数绝对收敛.,收敛111nn11ln)1()3(nnnn因单调递减,且但nnn1ln1nknkk1ln)1ln(lim)1ln(limnn所以原级数仅条件收敛.由Leibniz判别法知级数收敛;11!)1()1()4(nnnnn因nnuu11)111(12nnnnn所以原级数绝对收敛.15npnna)(),0(常数ap解对级数1npnna||||)1(limlim1aannuupnnnn1||a1npnna收敛1npnna绝对收敛1||a1npnna发散1npnna发散1||a分情况说明1a级数成为11npn1p收敛1p发散1a级数成为1)1(npnn1p绝对收敛1p条件收敛收敛与一致收敛的关系收敛一致收敛一致收敛收敛不一致收敛不收敛第十三章函数列与数项级数定理13.9(连续性)若函数列{}nf在区间I上一致收敛,且每一项都连续,则其极限函数f在I上也连续.1.若连续函数列在区间I上内闭一致收敛于函数f(x),则其极限函数f在I上连续.()nux[,]ab2.若区间上一致收敛,且每一项都连续,则其和函数在[,]ab上也连续.定理13.9可以逆过来用:若各项为连续函数的函数列在区间I上其极限函数不连续,则此函数列在区间I上一定不一致收敛.{}nx(1,1]例如:函数列的各项在上都是连续的,但其极限函数0,11,()1,1xfxx1x在时不连{}nx(1,1]续,所以在上不一致收敛.幂级数收敛半径R收敛域Taylor级数0)(xRnTaylor展开式一、主要内容第十四章幂级数幂级数nnnnnxxaxxaaxxa)()()(001000幂级数系数00100注：当时，nnnnnxaxaaxax定理14.2给了幂级数0nnnxa，又||lim1nnnaa)(为有限数或，则(i)时，01R记幂级数0nnnxa的收敛半径为R，(ii)时，0R(iii)时，0R收敛半径规定注意:由于当时,可推知nnnaa1limnnnclim所以也有nnnnnnaaalimlim1从而幂级数的收敛半径:1R其中当ρ=0时,R=+;当ρ=+时,R=0•标准形式幂级数:先求收敛半径R,再讨论Rx•非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法处的敛散性.1、求幂级数收敛域的方法2210000(),,nnnnnnnnnaxxaxax如例1.求下列各幂级数的收敛域解1221nnnnx)(nnnaa1lim21R∴收敛半径为所以原级数在（-2，2）收敛，2x121212nnnnnnx收敛，2x121212nnnnnnnx)(收敛故：原级数的收敛域为[-2，2]。122212nnnnn)(lim2122nxn)(nxn)(3(2)解因为||lim1nnnaa22)1(limnnn1所以收敛半径R=1，即收敛区间(－1,1)．当x=±1时，22)1(nnxnn因为,1|)1(|22nnn且级数21n收敛，所以级数2nxn在x=±1时也收敛，于是这个级数的收敛域为[－1,1]．(3)解因为||lim1nnnaa)1(limnnn1所以收敛半径R=1，即收敛区间(－1,1)．当x=1时，nnxn1发散，当x=－1时，nnxnn)1(收敛，所以级数nxn的收敛域为[－1,1)．例2.)()(的收敛域求幂级数0311nnnnxn解,,3R收敛半径知,时当3xnnnaa1lim由nnnnnnn3)1()1(3)2()1(lim1131.),(33收敛区间为001)1(3)1()1(nnnnnnnxn;是收敛的交错级数,时当3x00113)1()1(nnnnnnxn,发散.],()()(333110的收敛域为因此nnnnxn例3求幂级数02)1(nnnnx的收敛域。解||lim1nnnaa212)1(1lim1nnnnn)1(2limnnn令1xt则02)1(nnnnx02nnnnt21R1202nnnnt在)2,2(收敛。,2t02)2(nnnn0)1(nnn收敛,2t022nnnn01nn发散02nnnnt的收敛域：)2,2[02)1(nnnnx的收敛域：)3,1[1xt收敛区间及收敛域．解级数奇次项系数为零，因此不能直接用公式求收敛半径R，可直接用达朗贝尔判别法，有9)1()1()1(9lim9)1(9)1()1(lim)()(lim22222212221xxnnnxnxxuxunnnnnnnnn122)1(91nnnxn例4.求幂级数的收敛半径、所以，当，即时，原级数收敛，19)1(2x31x2x)4,2(3R收敛半径，收敛区间为，当或12111)4()2(nnnnnnuu4x时，原级数为收]4,2[敛，故收敛域为．•求部分和式极限2、幂级数和函数的求法求和逐项求导或求积分nnnxa0)(*xS对和式积分或求导)(xS难•初等变换法:分解、套用公式•数项级数求和转化成幂级数求和,再代值nnnxa03、函数的幂级数展开法如果)(xf在点0x处任意阶可导,则幂级数nnnxxnxf)(!)(000)(称为)(xf在点0x的泰勒级数.nnnxnf0)(!)0(称为)(xf在点0x的麦克劳林级数.(1)定义(2)充要条件定理)(xf在点0x的泰勒级数,在)(0xU内收敛于)(xf在)(0xU内0)(limxRnn.(3)唯一性定理如果函数)(xf在)(0xU内能展开成)(0xx的幂级数,即nnnxxaxf)()(00,则其系数),2,1,0()(!10)(nxfnann且展开式是唯一的.麦克劳林）。展成原点的泰勒级数（的幂级数展成函数点的泰勒级数。展成的幂级数展成函数xxfxxxxf)()()(00f(x)展开成幂级数的区域就是幂级数的收敛域。),(!1!2112xxnxxenx)!12()1(!51!31sin1253nxxxxxnn),(x)!2()1(!41!211cos242nxxxxnn),(x(4)常见函数展开式)1,1(xnxnnxxx!)1()1(!2)1(1)1(2)1ln(xnxxxxnn132)1(3121]1,1(x21(11)nxxxxx１1-2311(1)(11)1nnxxxxxx2462211(1)(11)1nnxxxxxx2462211(11)1nxxxxxx21111()2111xxx而例5求级数和1211nnn!)()(解考虑幂级数12!)1(nnxnnR由xnnexn1!1乘以x,xnnxexn11!1求导xnnexxnn)1(!)1(1再乘以xxnnexxxnn)1(!)1(11再求导xnnexxxnn)13(!)1(212ennn5!)1(12解的和。）求收敛级数（041212nnnn)()(xnxnnnarctan12)1(012得：令,21x0121221)1(nnnn041221)1(nnnn）（012121nnnnx)(左端04121)1(21nnnn）（21arctan右端。）（所以：21arctan24121)1(0nnnn（3）求12)1(nnnn的和.解,)1(1nnxnn考虑级数收敛区间(-1,1),1)1()(nnxnnxs