6.Bezier曲线曲面

Bezier曲线曲面主要内容1.Bezier曲线的起源2.Bezier曲线3.Bezier曲面1.Bezier曲线的起源1.1参数插值曲线的缺点1.2提出Bezier曲线的理由1.3Bezier曲线的产生和发展jx1.1参数插值曲线的缺点•只限于作一条点点通过给定数据点的曲线PiPi-1Pi+1P0Pn•只适用于插值场合，如外形的数学放样•不适合于外形设计1.2提出Bezier曲线的理由•参数样条曲线不适合于外形设计•三次样条曲线采用Hermit基函数，如果用其他基函数，就可以得到另外的曲线。1.3Bezier曲线的产生和发展•Peire.Bezier(1910~2000)23岁进入法国雷诺汽车厂工作，从事刀具设计，零件生产线和数控钻床、铣床的组装调试。50岁开始研究集合化的曲面构造方法。1962年、1968年研制成功UNISURF和SURFAPT原型系统。•DeCasteljau工作于Citroen公司，1959年提出了Bezier方法。但未象Bezier一样公开发表。所以曲线称为Bezier曲线。1.3Bezier曲线的产生和发展•1971年，英国剑桥MULTIOBJECT实验系统，后来发展为DUCT系统•1972年，美国瑞安飞机公司建立数模系统，采用Bernstein-BezierPatches和Ferguson-CoonsPatches•1974年，CATIA、EUCLID以Bezier方法为基础。•福雷斯特、戈登和里森费尔德在上世纪70年代从理论上对Bezier方法作出了深入的探讨，揭示了Bezier方法、Bernstein多项式及现代B样条理论之间的深刻联系，把函数逼近论同几何表示紧密结合起来2.Bezier曲线2.1Bezier曲线的定义2.2Bezier曲线的几何性质2.3Bezier曲线的几何作图法2.4Bezier曲线的不足2.5Bezier曲线的组合2.1Bezier曲线的定义在空间给定n+1个控制顶Vi(i=0,1,…,n)，称下列参数曲线为n次Bezier曲线:,0()()01nniiiruJuVu　　iniininuuCuJ)1()(,　称为伯恩斯坦基函数（BernsteinBasis）。)!(!!ininCin其中：Bezier曲线一次Bezier曲线01()(1)[0,1]ruuVuVu退化为直线P0PmP2P'(1/2)P(1/2)P1二次Bezier曲线二次Bezier曲线的表达形式为：22102)1(2)1()(VuuVuVuur其中（０≤u≤1)2102)21(2)1(2)(uVVuVuur二次Bezier曲线是一条抛物线三次Bezier曲线321032303313310363003300011))1(()(VVVVuuuVuuCuriiiii　2.2Bezier曲线的几何性质-基函数•非负性•权性•对称性•导函数•递推性0≤Jn,i(u)≤1,0≤u≤12.2Bezier曲线的几何性质-基函数•非负性•权性•对称性•导函数•递推性1)(40,4iiuJ1)(0,niinuJ2.2Bezier曲线的几何性质-基函数•非负性•权性•对称性•导函数•递推性Jn,n-i(u)=Jn,i(1-u)2.2Bezier曲线的几何性质-基函数•非负性•权性•对称性•导函数J’n,i(u)=n{Jn-1,i-1(u)-Jn-1,i(u)}•递推性Jn,i(u)=(1-u)Jn-1,i(u)-uJn-1,i-1(u)2.2Bezier曲线的几何性质(1)端点性质r(0)=V0;r(1)=Vn曲线的起点是特征多边形的第一个顶点；终点是最后一个顶点r’(0)=n(V1-V0)=na1r’(1)=n(Vn-Vn-1)=nan起点、终点分别与特征多边形第一、第n条边相切，模为边长n倍r”(0)=n(n-1)(a2-a1)r”(1)=n(n-1)(an-an-1)r(k)(0)r(k)(1)起点、终点的k阶导数与最靠近的k+1个顶点，k个边相关B(0)=r’(0)xr”(0)=n2(n-1)a1xa2起点的密切面由前两条边张成终点的密切面由后两条边张成2.2Bezier曲线的几何性质Bezier曲线的数学表达式是：2.2Bezier曲线的几何性质　　10,)()(0,uVuJurniiin伯恩斯坦基函数的表达式为：iniinuuninuJ)1()!1(!!)(,　规定：０＝１，０！＝１，则Jn,0(0)=1,Jn,i(1)=0（i0）Jn,n(1)=1,Jn,i(1)=0（in）nVrVr)1()0(02.2Bezier曲线的几何性质下面我们通过对基函数求导，来分析两端切矢的情况。)]()([)(,11,1',uJuJnuJinininniininiuJuJVnur0,11,1')]()([)(2.2Bezier曲线的几何性质iniininiinuuininuJuuininuJ1,1111,1)1()!1(!)!1()()1()!()!1()!1()(i=0:Jn-1,i-1(u)=0i=n:Jn-1,i(u)=02.2Bezier曲线的几何性质)()0(01'VVnr有　　由10,)()(0,uVuJurniiin同理可得，当u=1时)()1(1'nnVVnr这两个式子说明：Bezier曲线在两端点处的切矢方向与特征多边形的第一条边和最后一条边相一致'0y2.2Bezier曲线的几何性质(2)对称性特征多边形的顶点顺序颠倒，所构成的曲线不变。即r*(u)=r(1-u)*0V*1V*2V*nV*1nV*2nV*0,*)()(iniinVuJur(3)凸包性Bezier曲线必然在特征多边形的凸包内2.2Bezier曲线的几何性质(4)保凸性特征多边形是凸多边形，曲线就是凸曲线2.2Bezier曲线的几何性质(5)几何不变性曲线方程和形状不随坐标的选取而改变2.2Bezier曲线的几何性质p0p3p2p1(6)变差减小性质曲线与任一直线相交的次数不超过直线与特征多边形相交的次数。2.2Bezier曲线的几何性质2.3Bezier曲线的几何作图法－deCasteljau算法r(1/3)r(0)r(1)1.计算控制边上的1/3点；2.连接新点；3.重复1、2；4.得到所求点。r(1/3)抛物线的三切线定理设P0、P20、P2是一条抛物线上顺序三个不同的点。过P0和P2点的两切线交于P1点，在P20点的切线交P0P1和P2P1于P10和P11，则如下比例成立：当P0，P2固定，引入参数u，令上述比值为u:(1-u)，即有：kninkuPPukPPPuPuuPuPuPPuPuPPuPuPPuPkikiiki,,1,0,,,2,1,)1(0,)1(2)1()1()1()1()1(1)1()(2210)2(0)1(1)1(0)2(021)1(110)1(0deCasteljau算法)1(0b)1(1b)1(2b)2(0b)2(1b)3(0b)1(2)1(1)1(0bbb3210bbbb)2(1)2(0bb)3(0bBezier曲线的分割用作图法求出曲线上的一点p(t*)，该点把曲线分为两段Bezier曲线，它们的控制顶点分别如图所示。)1(0b)1(1b)1(2b)2(0b)2(1b)3(0b)1(2)1(1)1(0bbb3210bbbb)2(1)2(0bb)3(0b2.4Bezier曲线的不足控制顶点分布不均匀时，曲线上参数u的对应点分布也不均匀；多边形对曲线的控制能力较弱；顶点调整缺乏局部性。参数均匀化增加曲线的次数B样条方法2.5Bezier曲线的组合)2(0)1(3VV位置连续V0(2)=V3(1)2.5Bezier曲线的组合斜率连续（三顶点共线）V1(2)=(a2/a1)(V3(1)-V2(1))+V0(2)2.5Bezier曲线的组合曲率连续（五顶点共面）r(1)”(1)=6(V1(1)-2V2(1)+V3(1));r(2)”(0)=6(V0(2)-2V1(2)+V2(2))代入曲率连续条件r(2)”(0)=ζ2r(1)”(1)+ηr(1)’(1)可以得到V2(2)=ζ2V1(1)-(2ζ2+2ζ+η/2)V2(1)+(ζ2+2ζ+1+η/2)V3(1)活性。曲线设计者有更大的灵使合处曲率相等的前提下任意，其作用是保证结其中，)1(/)0()1()2(rr2.5Bezier曲线的组合位置连续三顶点共线V2(2)=ζ2V1(1)-(2ζ2+2ζ+η/2)V2(1)+(ζ2+2ζ+1+η/2)V3(1)曲率连续的充分条件R3.Bezier曲面3.1双三次Bezier曲面3.2Bezier曲面的一般形式3.3Bezier曲面的合成3.1双三次Bezier曲面•用控制多边形网格（特征网格）替代点矢、切矢与扭矢构造Bezier曲面。•类似双三次曲面，Bezier曲面也是笛卡尔积曲面。)()()()()()()()(),(3,32,31,30,33,32,31,30,33,22,21,20,23,12,11,10,13,02,01,00,03,32,31,30,3vJvJvJvJVVVVVVVVVVVVVVVVuJuJuJuJvur3030,3,3,)()(ijjijivJuJV3.1双三次Bezier曲面31V21V20V13V12V11V10V00V02V03V01V23V33V32V31V双三次Bezier曲面基本推导思路•分别在u向构造4条Bezier曲线。（准线）•固定u坐标（u=u0），与准线的4个交点作为特征多边形顶点，构造一条Bezier曲线。（母线）•使u0成为变量，可以形成一个曲面。双三次Bezier曲面公式推导准线方程母线方程Bezier曲面公式)3,2,1,0()()(30,,3juJuSijiijＶ300,3)()()v(jjjuSvJQTTBEBEvvvMVMuuuvJvJvJvJVVVVVVVVVVVVVVVVuJuJuJuJvur32323,32,31,30,33,32,31,30,33,22,21,20,23,12,11,10,13,02,01,00,03,32,31,30,311)()()()()()()()(),(双三次Bezier曲面公式推导1331036300330001　BEM3030,3,3,)()(),(ijjijivJuJVvur双三次Bezier曲面的性质a.曲面通过最边上4个角点。即r(0,0)=V0,0、r(0,1)=V0,3、r(1,0)=V3,0、r(1,1)=V3,3b.曲面片的边界由最外圈的顶点确定。31V21V20V13V12V11V10V00V02V03V01V23V33V32V31V双三次Bezier曲面的性质c.角点信息可由顶点位置矢量表达。（即双三次Coons曲面与双三次Bezier曲面等价）角点切矢：ru(0,0)=3(V1,0-V0,0)rv(0,0)=3(V0,1-V0,0)角点混合偏导矢：ruv(0,0)=9(V0,0-V0,1-V1,0+V1,1)3.2Bezier曲面的一般形式nimjjimjniVvJuJvur00,,,)()(),()()()()()()(,1