二分法求函数-零点

1二分法的概念对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解．给定精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：(1)确定区间，，验证·＜0，给定精确度；(2)求区间，的中点；(3)计算：1若=，则就是函数的零点；2若·＜0，则令=（此时零点）；3若·＜0，则令=（此时零点）；(4)判断是否达到精确度；即若＜，则得到零点近似值（或）；否则重复步骤2-4．结论:由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解.思考：为什么由＜，便可判断零点的近似值为(或)？一、能用二分法求零点的条件例1下列函数中能用二分法求零点的是()判定一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．2变式迁移1下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是()二、求函数的零点例2判断函数y＝x3－x－1在区间[1,1.5]内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度0.1)．分析由题目可获取以下主要信息：①判断函数在区间[1,1.5]内有无零点，可用根的存在性定理判断；②精确度0.1.解答本题在判断出在[1,1.5]内有零点后可用二分法求解．解因为f(1)＝－10，f(1.5)＝0.8750，且函数y＝x3－x－1的图象是连续的曲线，所以它在区间[1,1.5]内有零点，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点值中点函数近似值(1,1.5)1.25－0.3(1.25,1.5)1.3750.22(1.25,1.375)1.3125－0.05(1.3125,1.375)1.343750.08由于|1.375－1.3125|＝0.06250.1，所以函数的一个近似零点为1.3125.点评由于用二分法求函数零点的近似值步骤比较繁琐，因此用列表法往往能比较清晰地表达．事实上，还可用二分法继续算下去，进而得到这个零点精确度更高的近似值．变式迁移2求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个正数零点(精确度0.1)．解由于f(1)＝－60，f(2)＝40，可取区间(1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点中点函数值(1,2)1.5－2.625(1.5,2)1.750.2344(1.5,1.75)1.625－1.3027(1.625,1.75)1.6875－0.5618(1.6875,1.75)1.71875－0.1707由于|1.75－1.6875|＝0.06250.1，所以可将1.6875作为函数零点的近似值．3三、二分法的综合运用例3证明方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解(精确度0.1)．分析由题目可获取以下主要信息：①证明方程在[1,2]内有唯一实数解；②求出方程的解．解答本题可借助函数f(x)＝2x＋3x－6的单调性及根的存在性定理证明，进而用二分法求出这个解．证明设函数f(x)＝2x＋3x－6，∵f(1)＝－10，f(2)＝40，又∵f(x)是增函数，所以函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一的零点，则方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解．设该解为x0，则x0∈[1,2]，取x1＝1.5，f(1.5)＝1.330，f(1)·f(1.5)0，∴x0∈(1,1.5)，取x2＝1.25，f(1.25)＝0.1280，f(1)·f(1.25)0，∴x0∈(1,1.25)，取x3＝1.125，f(1.125)＝－0.4450，f(1.125)·f(1.25)0，∴x0∈(1.125,1.25)，取x4＝1.1875，f(1.1875)＝－0.160，f(1.1875)·f(1.25)0，∴x0∈(1.1875,1.25)．∵|1.25－1.1875|＝0.06250.1，∴1.1875可以作为这个方程的实数解．点评用二分法解决实际问题时，应考虑两个方面，一是转化成函数的零点问题，二是逐步缩小考察范围，逼近问题的解．变式迁移3求32的近似解(精确度为0.01并将结果精确到0.01)．解设x＝32，则x3－2＝0.令f(x)＝x3－2，则函数f(x)的零点的近似值就是32的近似值，以下用二分法求其零点的近似值．由于f(1)＝－10，f(2)＝60，故可以取区间[1,2]为计算的初始区间．用二分法逐步计算，列表如下：区间中点中点函数值[1,2]1.51.375[1,1.5]1.25－0.0469[1.25,1.5]1.3750.5996[1.25,1.375]1.31250.2610[1.25,1.3125]1.281250.1033[1.25,1.28125]1.2656250.02734[1.25,1.265625]1.2578125－0.01[1.2578125,1.265625]1.261718750.0086由于|1.265625－1.2578125|＝0.007810.01，所以函数f(x)零点的近似值是1.26，即32的近似值是1.26.四、总结1．能使用二分法求方程近似解的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．2．二分法实质是一种逼近思想的应用．区间长度为1时，使用“二分法”n次后，精确度为12n.3．求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同．精确度为ε，是指在计算过程中得到某个区间(a，b)后，若其长度小于ε，即认为已达到所要求的精确度，可停止计算，否则应继续计算，直到|a－b|ε为止．练习1．下列函数中不能用二分法求零点的是()A．f(x)＝2x＋3B．f(x)＝lnx＋2x－6C．f(x)＝x2－2x＋1D．f(x)＝2x－12．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1，2)内近似解的过程中得f(1)0，f(1.5)0，f(1.25)0，则方程的根落在区间()A．(1,1.25)B．(1.25,1.5)C．(1.5,2)D．不能确定3．函数f(x)＝x2－5的正零点的近似值(精确到0.1)是()A．2.0B．2.1C．2.2D．2.34．方程2x－1＋x＝5的解所在的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)5．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)0，f(0.5)0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容为()A．(0,0.5)，f(0.25)B．(0,1)，f(0.25)C．(0.5,1)，f(0.25)D．(0,0.5)，f(0.125)6．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)0，f(0.75)0，f(0.6875)0，即可得出方程的一个近似解为____________(精确度为0.1)．7．用二分法求方程x2－5＝0在区间(2,3)的近似解经过________次二分后精确度能达到0.01.8．用二分法求函数的零点，函数的零点总位于区间[an，bn](n∈N)上，当|an－bn|m时，函数的零点近似值x0＝an＋bn2与真实零点a的误差最大不超过______．答案m2