5.5时变电磁场的能量与能流5.7-波动方程

第五章时变电磁场5.5时变电磁场的能量与能流5.7波动方程主要内容坡印廷定理坡印廷矢量电场强度E的波动方程磁场强度H的波动方程学习目的深刻理解坡印廷定理的物理意义掌握坡印廷矢量S的求解掌握E、H的矢量齐次波动方程e1(,)(,)(,)2wtDtEtrrr电场能量密度m1(,)(,)(,)2wtBtHtrrr磁场能量密度因此，时变电磁场的能量密度为11(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)22emwtwtwtDtEtBtHtrrrrrrr对于各向同性的线性媒质可见，时变场的能量密度是空间及时间的函数，空间各点能量密度的改变引起电磁场能量的流动，即电磁能量在空间传输形成电磁能流。5.5时变电磁场的能量与能流1.电磁场的能量电场能量ee(,)(,)VWtwtdVrr磁场能量(,)(,)mmVWtwtdVrr设如下图所示的区域V中，媒质是线性且各向同性的，则此区域中麦克斯韦方程为,,E,HVDHJt（1）BEt（2）（2）×H－（1）×E可得BDHEEHHEJEtt（3）对于各向同性的线性媒质，其媒质参数ε、σ、μ均不随时间而改变，有,,DEBHJE代入（3）式可得12HHtHHt212Ht12EEtEEt212Et2EHEEH2.坡印廷定理将上式两边对区域V求积，得2221122HEEHHEEt（4）()()()EHHEEH利用矢量恒等式2221122EHEHEt2221()d()dd2VVVEHVEHVEVt(5)由散度定理可得22211()dS()dd22sVVEHEHVEVt(6)VSVd)(d)(SHEHE（6）式为坡印廷定理的数学表达式。坡印廷定理的物理意义：22211()dS()dd22sVVEHEHVEVt(6)()emvWWPt由（6）式可知，等号右端第一项为每秒电磁能量的增加量，第二项为单位时间内的热损耗功率。当无外源供给情况下，由能量守恒定律可知，等式左端应为单位时间内通过区域边界曲面流入体积V的电磁能量，以补偿能量。因此，坡印廷定理从场的观点，描述了时变电磁场中能量的守恒和转换关系。单位时间穿过闭合面S进入体积V的电磁场能量体积V内单位时间电场能量和磁场能量的增加量单位时间体积V内变为焦耳热的电磁能量3.坡印廷矢量（能流密度矢量）为了衡量这种能量流动的方向及强度，引入坡印廷矢量，定义为：SEHS的方向：由式可知，S与E及H垂直，又知，因此，S，E及H三者在空间是相互垂直的，且由E和H与S构成右旋关系，如图示。SEH（W/m2）SEHS的方向表示电磁能量流动方向，故坡印廷矢量又称为能量流动密度矢量，简称为能流密度矢量。,,E,HS能流密度矢量的瞬时值为),(),(),(tHtEtSrrr可见，能流密度矢量的瞬时值等于电场强度和磁场强度的瞬时值的乘积。只有当两者同时达到最大值时，能流密度才达到最大。若某一时刻电场强度或磁场强度为零，则在该时刻能流密度矢量为零。S的大小：表示单位时间内垂直穿过单位面积的电磁能量（即功率）。并不是说有电场和磁场的地方，S就一定代表该处有电磁能量的流动，因为在坡印廷定理中，真正表示空间任一点能量密度变化的是S的散度，而不是S本身。！222(11()ddS2)d2sVVEHVEHVtE(6)222()1()d2ddVVVEHVEVtEHV(5)√×【例1】试求一段半径为b,电导率为σ，载有电流I的长直导线表面的坡印廷矢量，并验证坡印廷定理。（例5-10）解：选择圆柱坐标系，令导线的轴线与z轴重合。sIJdS2zIJebJE2zJIEeb由安培环定理可得cHdlIr=a2IHeb则有222322zrIIISEHeeebbb将坡印廷矢量沿导线表面进行面积分，得222223232()222rrssIIIlSdSeedSblIRbbb由上式可知，从导线表面流入的电磁能量转化为导体内部的热损耗。坡印廷定理得以验证。两边取旋度5.7波动方程考虑均匀无耗媒质的无源区域0,0,0J麦氏方程组限定形式为00ttEHHEHEtEH2tEEH得2220tEE电场E的波动方程同理2220tHH磁场H的波动方程得2EEE将矢量恒等式以上称为齐次矢量波动方程式中2为矢量拉普拉斯算符，在直角坐标系中2222222xyz而波动方程在直角坐标系中可分解为三个标量方程222222220xxxxEEEExyzt222222220yyyyEEEExyzt222222220zzzzEEEExyzt◇波动方程的解是空间一个沿特定方向传播的电磁波。◇电磁波的传播问题归结为在给定边界条件和初始条件下求解波动方程。两边取旋度当外加场源不为零时，由限定形式的麦克斯韦方程组推导出的波动方程将发生改变。0ttEHJHEHEtEH2tEEH2()ttEEJ电场E的波动方程同理222tHHJ磁场H的波动方程得2EEE将矢量恒等式得2ttEJE以上称为非齐次矢量波动方程