5.3麦克斯韦方程5.4边界条件

第五章时变电磁场5.3麦克斯韦方程组5.4时变电磁场的边界条件主要内容麦克斯韦方程组（非限定形式、限定形式）真空中时变电磁场的边界条件理想介质时变电磁场的边界条件理想导体时变电磁场的边界条件学习目的深刻理解麦克斯韦方程组的物理意义掌握利用麦克斯韦方程组求解时变电磁场灵活利用边界条件求解时变场5.3麦克斯韦方程组对于时变电磁场，麦克斯韦归纳为四个方程，其积分形式和微分形式分别如下：cd()dStDHlJScddStBElSd0SBSdSqDS积分形式微分形式tDHJ全电流定律tBE电磁感应定律0B磁通连续性原理D高斯定律静态场中的高斯定理及磁通连续性原理对于时变电磁场仍然成立。cd()dStDHlJScddStBElSd0SBSdSqDS积分形式tDHJtBE0BD微分形式麦克斯韦方程组的物理意义：①由麦克斯韦第一方程可知：不仅传导电流可产生磁场，位移电流（变化的电场）也可产生磁场。故时变电流（真实电流）和时变电场（位移电流）都为时变磁场的旋涡源。②由麦克斯韦第二方程可知：变化的磁场可以产生电场，即变化的磁场为时变电场的旋涡源。③由麦克斯韦第三方程可知：磁场是无源场,磁力线总是闭合曲线。但此时的磁场由传导电流和时变电场产生。第一方程第二方程第三方程第四方程④由麦克斯韦第四方程可知：时变电场为有源场。⑤由麦克斯韦第一、三方程可知：时变磁场是有旋无散场。⑥由麦克斯韦第二、四方程可知：时变电场是有旋有散场。⑦时变电磁场是有旋有散场。⑧电荷及电流均不存在无源区中，此时的时变电磁场是有旋无散的。⑨电场线与磁场线相互交链，自行闭合，从而在空间形成电磁波。⑩时变电场的方向与时变磁场的方向处处相互垂直。几点说明：电流连续性方程tDHJ由两边取散度0ttDHJDJ0tJ即（电流连续性方程）静电场和恒定磁场cddSHlJScd0Eld0SBSdSqDS积分形式HJ0E0BD微分形式为了完整地描述时变电磁场的特性，特引入表征电磁媒质与场矢量之间关系的本构关系（特性方程或辅助方程），即：0rDEE0rBHHJE麦克斯韦方程组的限定形式0PDE0()MBHJE各向同性线性媒质由此得出麦克斯韦方程组的限定形式：对于不随时间变化的静态场，则0ttttEDHB那么，上述麦克斯韦方程变为前述的静电场方程和恒定磁场方程，电场与磁场不再相关，彼此独立。麦克斯韦方程组是描述宏观电磁现象的基本规律。EHEttHE()0H()E微分形式tDHJtBE0BD本构关系非限定形式限定形式对于媒质的分类描述如下：①真空中，00,,0②理想介质σ=0，理想导体σ→∞。③若媒质参数与场强大小无关，称线性媒质，否则称非线性媒质。④若媒质参数与场强方向无关，称各向同性媒质，否则称各向异性媒质。⑤若媒质参数与位置无关，称均匀媒质，否则称非均匀媒质。⑥若媒质参数与场强频率无关，称非色散媒质，否则称色散媒质。媒质的分类洛仑兹力当空间同时存在电场和磁场时，以速度v运动的点电荷所受力为静电力和洛仑兹力之和。即FqEqvBqEvB[例1]已知在无源的自由空间中，其中为常数，求磁场强度H。（例5-6）0cos()xEeEtz0,E0BHEtt解：由麦克斯韦第二方程即得0sin()00xyzxyyxyxzxyzeeeEeeEtzxyzzEHHHHeeetttt00sin()yxzyxyzHHHeEtzeeettt即比较可得000,0,cos()xzyEHHHtz故00cos()yEHetz将积分形式麦氏第一方程用于边界面上的闭合回路，并考虑高阶小量。h12s=nHHJ一、H的边界条件dddcSStDHlJSS与恒定磁场相比较ddcSHlJS因此，时变场中H的边界条件与恒定磁场时的形式相同，即当该积分为零0h5.4时变电磁场的边界条件22tH2Hln1H1tH121abcdlbnd()SSblhtttDDDS12tts=HHJ12(0)ttsHHJ二、E的边界条件同样的分析可得时变场中E的边界条件与静电场时的形式相同，即120nEE分界面上电场强度E的切向分量连续,但电位移矢量D的切向不连续。22tE2ElnE11tE121abcdcddStBElS与静电场相比较cd0Eld()SSblhtttBBBS当该积分为零0h因此，时变场中E的边界条件与恒定电场时的形式相同，即12ttE=E2t21t1DD三、B的边界条件与恒定磁场相同12nnBB表示为矢量形式120nBB四、D的边界条件与静电场相同12nnsDD12snDD表示为矢量形式分界面上磁感应强度B的法向分量连续，但磁场强度H的法向分量不连续。d0SBSdSqDS分界面上存在面电荷时，电位移矢量D的法向分量不连续，当不存在面电荷时，D的法向分量连续，但电场强度E的法向分量不连续。12nnD=D0sn22n11HH2n2n11EE时变电磁场1212,(0)nnsnnsDDDD12nnBB12ttEE1212,(0)ttsttsHHJHHJ电位移矢量磁感应强度电场强度磁场强度11112222tgtg五、两种特殊情况◇两种无耗媒质的分界面（）00,ssJ120nEE120nBB120nDD120=nHH120ttEE120nnBB120nnDD120ttHH或◇介质1和理想导体2的分界面（）22220,0,0,0EDBH10nE10nB1snD1s=nHJ120ttEE120nnBB1nsD1tsHJ或已知在任何边界上，电场强度的切向分量及磁感应强度的法向分量是连续的，因此理想导体表面上不可能存在电场切向分量及磁场法向分量，即时变电场必须垂直于理想导电体的表面，而时变磁场必须与其表面相切。EH,enet①②JS理想导体实际上并不存在，通常遇到金属导体边界时可看做理想导体。一种材料是否能被看做理想导体还与频率有关，在频率较低的情况下，可将大地看做理想导体。解：（1）取如图所示的坐标。由0BHEtt得0yyxzEEHzxtee00000001()1coscosdsinsindcossinsincosyyxzxxzxxxxxzxEEdtzxEztkxtkztkxtdddkEztkxEztkxdddHeeeeee【例2】在两导体平板（z=0和z=d）之间的空气中传播的电磁波，已知其电场强度为0sincosyxEztkxdEe式中kx为常数。试求：（1）磁场强度H；（2）两导体表面上的面电流密度Js。故zxod⊙E（2）导体可看做理想导体，表面的电流存在于两导体相向的面0000sinszzzyxEtkxdJnHeHe00sinszdzzdyxEtkxdJnHeHe0znze时，znzde时，解：（1）在无耗媒质分界面即z=0处，有：881882[60cos(1510)20cos(1510)]80cos(1510)cos(1510)xxxEettetEeAt由边界条件可知：12ttEE得80A（2）由麦克斯韦方程得：1111ttBHE【例2】设区域I（z0）的媒质参数；区域II（z0）的媒质参数。区域I中的电场强度为（v/m），区域II中的电场强度为（v/m）。试求：(1)常数A；(2)磁场强度H1和H2；(3)证明在z=0处H1和H2满足边界条件。（例5-9）1111,1,0rr22210,2,0rr881[60cos(15105)20cos(15105)]xEetztz82cos(15105)xEeAtz得11110880111[300sin(15105)100sin(15105)]yyHEEetzetztz同理可得：2222080111[400sin(15105)]yryrHEEetzetz故111881[0.1592cos(15105)0.0531cos(15105)](/)yHEdtetztzAm故22281[0.1061cos(15105)](/)yHEdtetzAm（3）将z=0代入和1H2H881211[cos(1510)],[cos(1510)]33yyHetHet故在z=0处和满足边界条件12ttHH