数列极限及性质

§1.1集合§1.2函数§1.4无穷小量与无穷大量§1.3函数的极限§1.5函数的连续性1.3函数的极限(1)一、数列极限的定义及性质二、函数极限的定义三、函数极限的性质四、两个重要极限“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”引例1、割圆术：播放播放——刘徽1、概念的引入一、数列极限的定义及性质R正六边形的面积1A正十二边形的面积2A正形的面积126−×nnA,,,,,321nAAAAS1211262(sin),.262nnnAR−−=×=×πααα引例2、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211=X第一天截下的杖长为;2122=X第二天截下的杖长为;21nnXn=天截下的杖长为第nnX21=0定义:一个定义在正整数集上的函数称为整标函数：()yfnnN+=∈.特别地，令()nafn=，得到的一列有序数12,,,,naaa(1)称为数列.其中的每个数称为数列的项,na称为通项(一般项)，数列(1)记为{}na.2、数列的定义数列对应着数轴上一个点列,可看作一动点在数轴上依次取12,,,,.naaa注意:1a2a3a4anax例如;,2,,8,4,2n;,21,,81,41,21n}2{n}21{n11,1,1,,(1),;n−−−})1{(1−−n;,)1(,,34,21,21nnn−−+})1({1nnn−−+3412,,,,,;23nn+1{}nn+3、数列的极限nan{}→∞观察数列当时的变化趋势.问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.nnnan−−=+1(1),11.当无限增大时无限接近于通过观察:我们可用两个数之间的“距离”来刻化两个数的接近程度.na1−=nnn11)1(1=−−=−−+−1)1(11nn随着n的增加，1/n会越来越小.1na−=∵nnn11)1(1=−−随着n的增加，1/n会越来越小.例如=−−+−1)1(11nn,1100ε=给定,10011n由,100时只要n11,100na−有ε=1,给定11,n由1,n只要时11,na−有ε=1,10给定11,10n由10,n只要时11,10na−有0,ε任意给定1([]),ε=nN只要时1.ε−na有成立,1000时只要n11,1000na−有1,1000ε=给定11,10000na−有,10000时只要n1,10000ε=给定,0ε给定,])1[(时只要ε=Nn1.naε−有成立只要n无限增大，an就会与1无限靠近,Nn⎯⎯→⎯确保1naε−(1)naε刻画与的接近程度1na无限接近∞→n引入符号ε和N来刻化无限靠近和无限增大.1na−=∵nnn11)1(1=−−=−−+−1)1(11nn1−na即可任意小,定义1(Nε−定义)设{}na是一个数列，a是一个确定的数，若对任给的正数ε，相应地存在正整数N，使得当nN时，总有naaε−，则称数列{}na收敛于a，a称为它的极限，记作limnnaa→∞=或()naan→→∞．如果数列{}na没有极限，则称它是发散的或发散数列．lim0,0,,.nnnaaNnNaaεε→∞=⇔∀∃−当时恒有注意:Nε−定义的要点.ε−N定义：x1a2a2Na+1Na+3a几何解释:2εε−aε+aannNaaaNεε−+,(,),().当时所有的点都落在内只有有限个至多只有个落在其外lim0,0,,.nnnaaNnNaaεε→∞=⇔∀∃−当时恒有ε−N定义：例1.1)1(lim1=−+−∞→nnnn证明证1na−1)1(1−−+=−nnnn1=,0ε∀1,naε−要使11,nnεε即即[],1ε=取N,时则当Nn1(1)1nnnε−+−−即.1)1(lim1=−+−∞→nnnn即1,naε−就有数列极限的定义未给出求极限的方法，我们可以用定义来证明极限的存在.例2(),lim.nnnaCCaC→∞≡=设为常数证明证naC−CC−=,成立ε,0ε∀所以,0=,n对于一切自然数lim.nnaC→∞=说明:常数列的极限等于同一常数.例3.1,0lim=∞→qqnn其中证明证,0ε∀0,nnaqε−=要使lnln,nqε即ln[],lnε=取Nq,时则当Nn0,ε−就有nq.0lim=∴∞→nnq,0=q若;00limlim==∞→∞→nnnq则,10q若ln,lnnqε即()1ε例42sinlim0.(1)nnn→∞=+证明用定义证明数列极限存在时,ε−⇒naaN由主要不等式解出N不必是最小的！lim1,lim1(0).nnnnnaa→∞→∞==可以证明4、收敛数列的性质−23baab22abnabax−−−−证:用反证法.limnnaa→∞=及lim,nnab→∞=且.ab取,baε−=2因lim,nnaa→∞=故存在N1,nbaaa−−,2从而naba+,2lim,nnab→∞同理,因=故存在N2,使当nN2时,有2banx+使当nN1时,2ba+2ab−2ab−假设22abnabbx−−−−nbax+223ab−nbaab−−,2从而naba+,2矛盾.因此收敛数列的极限必惟一.则当nN时,{}NNN=12max,,取故假设不真!na满足的不等式（1）惟一性定理1收敛的数列极限惟一.x（2）有界性定义:对数列{na},若0M∃,nN+∀∈,恒有,naM≤则称数列{na}有界,否则,称为无界.例如,1+=nnxn数列nny2=数列数轴上对应于有界数列的点na都落在闭区间],[MM−上.有界；无界.定理2收敛的数列必定有界.推论无界数列必定发散.数列有界是数列收敛的必要条件.有界数列未必收敛,如{(-1)n-1}.注意:例51(1).nna−=−证明数列是发散的例51(1).nna−=−证明数列是发散的证lim,nnaa→∞=设由定义,0,0,,nNnNaaεε∀∃−当时有,{},.na事实上是有界的但却发散2212212,21,22NNNNnNnNaaaaaaεε++==+=−≤−+−=取则这是不对的（如1）！oax若nnaa→∞=lim,且0aNN+∃∈,则nN当时,有0na(0).(0),定理3（3）保号性2a2a若lim,nnaa→∞=0aNN+∃∈,则nN当时,有0na(0),(0).定理3且若lim,nnaa→∞=且arNN+∃∈,则nN当时,有nar(),r().r推论1推论2若limnnaa→∞=，且000,nanN≥≤（）,则．00a≥≤（）．0lim0nnnaa→∞⇒若？(用反证法证明)（4）四则运算性质定理4:若lim,limnnnnaabb→∞→∞==,则(1)lim()limlimnnnnnnnababab→∞→∞→∞±=±=±；(2)lim()limlimnnnnnnnababab→∞→∞→∞⋅=⋅=⋅；(3)如果lim0nnbb→∞=≠，则nnab⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是收敛数列，而且limlimlimnnnnnnnaaabbb→∞→∞→∞==．推论:若limnnaa→∞=,则(1)lim()limnnnnkakaka→∞→∞==，其中k是一个常数；(2)lim()(lim),mmmnnnnaaa→∞→∞==，其中m是一个正整数．例6).21(lim222nnnnn+++∞→求解222221lim)21(limnnnnnnnn+++=+++∞→∞→2)1(21limnnnn+=∞→)11(21limnn+=∞→.21=先变形再求极限.（5）保不等式性定理5:若lim,limnnnnaabb→∞→∞==，且0,nnabnN≤,则．(limlim)nnnnabab→∞→∞≤≤即．推论2若limnnaa→∞=，且000,nanN≥≤（）,则．00a≥≤（）．证：构造辅助整标函数00,nnncbanN=−≥由定理4和定理3的推论2得证！（1)夹逼准则定理6如果数列{},{}nnab及{}nc满足下列条件:0(1)()(2)lim,lim,nnnnnnnbacnNbaca→∞→∞≤≤==那么数列{}na的极限存在,且limnnaa→∞=.5、极限存在准则1,nnNbaε−当时恒有120max{,,},NNNN=取恒有时当,Nn,nabaεε−+即2,nnNcaε−当时恒有,nacaεε−+上两式同时成立,,nnnabacaεε−≤≤+,naaε−即成立lim.nnaa→∞∴=使得,0,0,021证,,()nnbacan→→→∞∵∃∀NNε,nnnbac≤≤也成立例7lim138nnnnn→∞++求解813883,nnnnn++∵lim31nn→∞=又由夹逼准则得lim1388.nnnnn→∞++={}{},{}{}.nnnnbcbc利用夹逼准则求极限关键是构造出与并且与的极限是容易求的x1a2a3a1na+na(2)单调有界准则{}na如果数列满足条件121,nnaaaa+≤≤≤≤单调增加121,nnaaaa+≥≥≥≥单调减少单调数列定理7单调有界数列必有极限.几何解释:aM更细致地，单调增加且有上界的数列必有极限.单调递减且有下界的数列必有极限.例8333().nan=+++证明数列重根式的极限存在,并求其极限证21,aa然(显1){};na故是单调增加的133,a=∵（2又）3,ka假定13kkaa+=+33+,3{};na∴是上有界的lim.nna→∞∴存在13,nnaa+=+∵213,nnaa+=+21limlim(3),nnnnaa+→∞→∞=+23,aa=+113113,22aa+−==解得(舍去)113lim.2nna→∞+∴=lim.nnaa→∞=（3）设1,kkaa+所以1,kkaa−设kkaa−++133,则kkaa−++133,.11lim存在nnn⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∞→1(1)nnan=+∵+⋅−+⋅+=21!2)1(1!11nnnnn).11()21)(11(!1)11(!2111nnnnnn−−−−++−++=nnnnnnn1!)1()1(⋅+−−+证明用单调有界准则证明.例9证00(1)[()]111!nniiiininnnniinCn==−−−==+∑∑1(1)nnan=+∵).11()21)(11(!1)11(!2111nnnnnn−−−−++−++=11111(1)11(1)12!11121(1)(1)(1)!111112(1)(1)(1).(1)!111nnannnnnnnnnnnn++=+=++−+++−+−−−++++−−−++++1,nnaa+显然{};na∴是单调递增的正的11112!!nan++++1212111−++++n1213−−=n,3{};na∴是有界的lim.nna→∞∴存在ennn=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∞→11lim记为(2.718281828459045)e={}na∴是单调递增的有界数列1(1)nnan=+∵).11()21)(11(!1)11(!2111nnnnnn−−−−++−++=132.nnn−≥用数学归纳法可证：当时,!注备用题).12111(lim222nnnnn++++++∞→求解,11112222++++++nnnnnnnn∵nnnnnn111limlim2+=+∞→∞→又,1=22111lim1limnnnnn+=+∞→∞→,1=由夹逼准则得.1)12111(lim222=++++++∞→nnnnn