贝叶斯准则例题

1一、贝叶斯准则：例题1：设二元假设检验的观测信号模型为：H0:x=-1+nH1:x=1+n其中n是均值为0，方差为212n的高斯观测噪声。若两种假设是等先验概率的，而代价因子为000110111,8,4,2,cccc试求贝叶斯（最佳）表达式和平均代价C:解：因为两种假设是等先验概率的所以011()()2PHPH，这样，贝叶斯准备的似然比函数()x为：①122110221(1)exp1122(|)22()exp(4)(|)(1)1exp112222xpxHxxpxHx而似然比检测门限为：01000101111(41)()()21()()(82)2PHccPHcc=1/2于是贝叶斯判决表达式为101exp(4)2HxH，两边取自然对数，并整理的最简判决表达式为100.1733HxH②现在计算判决概率01(|)PHH和00(|)PHH，由于本例中检验统计量()lxx，所以在两个假设下检验统计量的概率密度函数分别为：2122012211(1)(|)exp1122221(1)(|)exp112222lplHlplH这样，0.17330111220.1733(|)(|)1(1)exp0.0486112222PHHplHdlldl0.17330001220.1733(|)(|)1(1)exp0.8790112222PHHplHdlldl最后，利用贝叶斯平均代价表达式，01011110111010100000()()()()(|)()()(|)CPHcPHcPHccPHHPHccPHH代入0000110(),(|),(|),PHPHHPHHc等各数据，计算得：1.8269C总结：如果我们把判决表达式中的检测门限-0.1733稍作调整，例如调整为-0.1700极品-0.1800，则计算出的平均代价均大于检测门限为-0.1733的平均代价，这一结果从侧面验证了贝叶斯准则的确能使平均代价最小。3例题2：在二元数字通信系统中，假设为H1时，信源输出为常值电压A，假设为H0时，信源输出为0电平；信号在通信信道中传输过程中叠加了高斯噪声n(t)；每种信号的持续时间为（0，T）；在接收端对接收到信号x(t)在（0，T）时间内进行了N次独立采样，样本为(1,2,...)kxkN,已知噪声样本kn是均值为0，方差为2n的高斯噪声。试求（1）建立信号检测系统的信号模型；（2）若似然函数比检测门限已知，确定似然比检验的判决表达式；（3）计算判决概率1011(|)(|)PHHPHH和解：①在两个假设下，接收信号分别为10HtTHtT：x(t)=n(t)0：x(t)=A+n(t)0A≥0经（0,T）时间内N次独立采样后，获得101,2,...1,2,...kkkkHnkNHnkN：x=：x=A+A≥0，2~(0,)knnN②求判决表达式：因为噪声样本2~(0,)knnN，所以其概率密度函数pdf为：122221()exp22kknnnpn在两个假设下，观测信号样本kx的概率密度函数，即通常所说的似然函数分别为：1220221221221(|)exp221()(|)exp22kknnkknnxpxHxApxH考虑到N次采样时候，两个假设的观测信号样本(1,2,...)kxkN之间是各自独立同分布，所以两个假设下N维观测矢量的pdf分别为22002211221122111(|)(|)exp221()(|)(|)exp22NNNkkkknnNNNkkkknnxpxHpxHxApxHpxH4似然比函数()x为：221222110(|)()exp()(|)22NNkkkknnnpxHAxNAxxpxH于是似然比检验为：122210exp()2NkkknnHAxxH两边取自然对数并整理得：12101()ln2NnkkHAlxxNNAH③因为检验统计量11()NkklxxN在假设H0下，样本(1,2,...)kkxnkN，且2~(0,)knnN，各样本之间相互统计独立，所以样本2~(0,)knxN且样板之间也相互统计独立，所以，211()~(0,)NnkklxxNNN于是，对于假设H0和H1情况下，其pdf分别为：12202211221221(|)exp22()(|)exp22NknnNknnNxpxHNxApxH则概率分别为1221022112211221(|)exp22ln2()(|)exp22ln2NknnNknnNxPHHdxdQdNxAPHHdxdQd其中，22nNAd，如何求0001(|)(|)PHHPHH和？？，取值（—∞，）