专升本高等数学课件-第二章

第一节导数与微分一、问题的提出二、导数的定义三、导数的几何意义与物理意义四、可导与连续的关系五、小结思考题一元函数微积分学定积分积分学：不定积分、微分学：导数与微分一、问题的提出1.【自由落体运动的瞬时速度问题】0tt,0时刻的瞬时速度求tt如图,,0tt的时刻取一邻近于,t运动时间tvs平均速度00ttss00)()(tttftf,0时当tt取极限得2)(lim)()(lim00000ttgtttftfvtttt瞬时速度.0gt221)(gttfs).(20ttg切线的一般定义:如图设有曲线C及C上一点M，在M点外任取C上一点N，作割线MN，当点N沿曲线C趋向点M时，如果割线MN趋向于它的极限位置MT，则称直线MT为曲线C在点M处的切线.TMxy0NCN2.【切线问题】割线的极限位置——切线位置LMxyo0xTxN0yx1yy在点求曲线L：)(xfy),(00yxM处切线的斜率。割线MN的斜率为：tan00)()(xxxfxfxy时，当0x2.【切线问题】割线的极限位置——切线位置tantanlim0x切线MT的斜率为：xyx0lim000)()(limxxxfxfxtank)(0xf【两个问题的共性】so0t)(0tf)(tft瞬时速度切线斜率xyo)(xfyCNT0xMx所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.则称函数二、导数的定义——“点导数”定义1.【定义】设函数在点0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0xfxfy0xxx存在,并称此极限是函数记作:;0xxy;)(0xf;dd0xxxy0d)(dxxxxf即)(0xfxyx0lim若的某邻域内有定义,在点处可导,在点的导数..)()(lim)(0000hxfhxfxfh“点导数”定义式常见形式.)()(lim)(0000xxxfxfxfxx【注】函数在处可导，也说在具有导数或导数存在.若上述极限不存在，则说此点不可导或导数不存在.)(xf)(xf0x0x)(0xf.)()(lim000xxfxxfx①“点导数”是因变量在x0处的变化率,它反映了x0处因变量随自变量的变化而变化的快慢程度.【关于导数的说明】③如果函数y=f(x)在开区间I内的每点处都可导,就称函数在开区间I内可导.为方便见,往往说函数f(x)在点x0处的导数为,即具有无穷导数.②若在不可导是由于时所至;)(xf0x0xxy).(dd,d)(ddd),(,xfxxxfxyxfy或④f(x)的导函数记作⑤是不变的，时，在求极限xxxfxxfx)()(lim0.,是变量应看作常量xxxfxxfxfx)()(lim)(0.)()(lim)(0hxfhxfxfh【注意】0)()(0xxxfxf0d)(dxxxxf0])([)(00xfxf导函数定义式【步骤】);()()1(xfxxfy求增量;)()()2(xxfxxfxy算比值.lim)3(0xyyx求极限【例1】.)()(的导数为常数求函数CCxf【解】hxfhxfxfh)()(lim)(0hCCh0lim.0.0)(C即2.【求导举例】【例2】.)(的导数为正整数求函数nxyn【解】hxhxxnnhn)(lim)(0]!2)1([lim1210nnnhhhxnnnx1nnx.)(1nnnxx更一般地)(.)(1Rxx)(x［例如］12121x.21x)1(x11)1(x.12x常用公式即)(1x【例3】.)(sin)(sin,sin)(4πxxxxxf及求设函数【解】hxhxxhsin)sin(lim)(sin0222sin)cos(lim0hhhxh.cosx.cos)(sinxx44cos)(sinxxxx.22即类似可得xxsin)(cos正减余在先【例4】.)1,0()(的导数求函数aaaxfx【解】haaaxhxhx0lim)(haahhx1lim0.lnaax.ln)(aaaxx.e)e(xx即【例5】.)1,0(log的导数求函数aaxya【解】hxhxyaahlog)(loglim0.ln1)(logaxxa.1)(lnxx)1(log1lim0xhhahhxahxhx)1(loglim10elog1ax即.ln1ax)1(log1lim0xhhxxah【例6】证明函数在x=0不可导.【证】hfhfxy)0()0(hhhfhfh)0()0(lim0不存在,由本例引出以下概念,1lim||lim00hhhhhh1lim||lim00hhhhhh(2)右导数:3.【单侧导数】(1)左导数:00)()(lim0xxxfxfxx)()(lim)()(lim000000xxfxxfxxxfxfxxx)(0xf(3)可导的充要条件【定理】Axf)(0)(0xfAxf)(0【注】分段函数在分界点处的导数一般要用该定理判定.【例如】例6中xxf)(在x=0处有)0(不存在f(4)闭区间可导.,),(,)()(则称之内可导在、babfaf)()(lim000xxfxxfx)(0xf)(),(,),(),()(00为可导函数，设函数xvxuxxxvxxxuxf(5)分段函数可导性(重点难点)试求f(x).步骤：1.先在开区间内求导.2.再用导数定义求分界点的导数.【补例】).(,0,sin0,)(xfxxxxxf求设【解】;1)(xf,0时当x,0时当xxxfcos)(,0时当xhhfh0sin)0(lim)0(0,1hhfh0sin)0sin(lim)0(0,1.1)0(f0,cos00,1,1)(xxxxxf.0,cos0,1xxx三、导数的几何意义1.【几何意义】xyo)(xfyCT0xM曲线在点的切线斜率为)(tan0xfxyo0x),(00yx若切线与x轴平行,称为驻点;处的曲线在点切线方程:法线方程:)0)((0xfxyo0x【注】若)(0xf即2πtan此示:曲线在该点有垂直于x轴的切线【例7】.,)2,21(1方程和法线方程并写出在该点处的切线斜率处的切线的在点求等边双曲线xy【解】由导数的几何意义,得切线斜率为21xyk21)1(xx2121xx.4切线方程为法线方程为),21(42xy),21(412xy.044yx即.01582yx即四、可导与连续的关系【定理】凡可导函数都是连续函数.【证Ⅰ】则有可导在点设函数,)(0xxf)(lim00xfxyx)(0xfxyxxxfy)(0])([limlim000xxxfyxx0.)(0连续在点函数xxf)0lim(0x其中即：可导必连续.【证Ⅱ】00()limxyfxx由得00limlim()xxyyxx00limlimxxyxx0()00,fx【注意】逆命题不成立，即连续不一定可导.【反例】xyoxy在x=0处连续,但不可导..连续5.求导数最基本的方法:由定义求导数.2.axf)(0)(0xf;)(0axf五、小结1.导数的实质:增量比的极限;（三种定义形式）3.几何意义:导数—切线的斜率;4.可导一定连续，但连续不一定可导（两者关系）（可导充要条件）已学求导公式;ln)(aaaxx;e)e(xx;0)(C)(x;1x)(sinx;cosx)(cosx;sinx)(lnxx1ln1)(log；axxa第二节函数的求导法则一、和、差、积、商的求导法则二、例题分析三、反函数的求导法则四、复合函数的求导法则五、基本求导法则与导数公式六、小结本节内容【思路】xxfxxfxfx)()(lim)(0(构造性定义)求导法则其它基本初等函数求导公式0xcosx1)(C)sin(x)ln(x证明中利用了两个重要极限初等函数求导问题并且可导处也在点分母不为零们的和、差、积、商则它处可导在点如果函数,)(,)(),(xxxvxu一、和、差、积、商的求导法则【定理】).0)(()()()()()(])()([)3();()()()(])()([)2();()(])()([)1(2xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu【证】略【推论】;)(])([)1(11niiniixfxf);(])([)2(xfCxCf)()()()()()(])([)3(21211xfxfxfxfxfxfxfnnnii有限项有限项二、例题分析【例1】.2lnsin223的导数求xxxy【解】23xyx4【例2】.ln2sin的导数求xxy【解】xxxylncossin2xxxylncoscos2xxxln)sin(sin2xxx1cossin2.cosx.2sin1ln2cos2xxxx［注意］)2(ln21)3π(sin3πcos【例3】.tan的导数求xy【解】)cossin()(tanxxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sinxxx222cossincosxx22seccos1.sec)(tan2xx.csc)(cot2xx同理可得即【例4】.sec的导数求xy【解】)(secxyxx2cos)(cos.tansecxxxx2cossin.cotcsc)(cscxxx同理可得)cos1(x.tansec)(secxxx即【注意】);()(])()([xvxuxvxu.)()(])()([xvxuxvxu[练习]——四则运算求导法则的练习yxxyyfxfIxfyyfIyfxxydd1dd.)(1])([,)(,0)()(11或且有内也可导对应区间在那末它的反函数且内单调、可导在某区间如果函数三、反函数的求导法则【定理】【结论】(直接)反函数的导数等于直接函数导数的倒数.【证】(自阅)【例1】.arcsin的导数求函数xy【解】1)∵则,)2π,2π(单调、可导y)(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x类似可求得?)(arccosx,11)(arctan2xx211)arccot(xx211xxxarcsin2πarccos利用0cosy,则【例2】.log的导数求函数xya,0ln)(aaayy且,),0(内有在xI)(1)(logyaaxaayln1.ln1ax【解】,),(内单调、可导在yyIax特别地.1)(lnxx即)(logxa.ln1ax)arcsin(x)arccos(x)arctan(x)cotarc(xaaaxxln)(xxe)e(