第九章薄板弯曲

12第九章薄板弯曲问题概述第一节有关概念及计算假设第二节弹性曲面的微分方程第三节薄板横截面上的内力第四节边界条件扭矩的等效剪力第五节薄板弯曲的直角坐标求解第六节圆形薄板的轴对称弯曲第七节变分法求薄板的位移3概述薄板区别于厚板。通常情况下，板的厚度t与板面的最小尺寸b的比值满足如下条件:81~511001~801＜＜bt则称为薄板。将坐标原点取于中面内的一点,x和y轴在中面内，z垂直轴向下，如图所示。xyzo我们把平分板厚度的平面称为中面。4薄板受到横向荷载（⊥板面）的作用──薄板的弯曲问题。薄板受到纵向荷载（∥板面）的作用──平面应力问题；杆件受到横向荷载（⊥杆轴）的作用──梁的弯曲问题。杆件受到纵向荷载（∥杆轴）的作用──杆件的拉压问题；当薄板受有一般载荷时，总可以把每一个载荷分解为两个分量，一个是垂直于中面的横向载荷，另一个是作用于中面之内的纵向载荷。对于纵向载荷，可认为它沿薄板厚度均匀分布，按平面应力问题进行计算。本章只讨论由于横向载荷使薄板发生小挠度弯曲所引起的应力、应变和位移。5•薄板弯曲问题属于空间问题。其中，根据其内力及变形的特征，又提出了三个计算假定，用以简化空间问题的基本方程，并从而建立了薄板的弯曲理论。•当薄板弯曲时，中面所弯成的曲面，称为薄板弹性曲面。小挠度薄板─这种板虽然薄，但仍有相当的抗弯刚度。它的特征是：(3)在内力中，仅由横向剪力FS与横向荷载q成平衡，纵向轴力的作用可以不计。(2)在中面位移中,w是主要的，而纵向位移u,v很小，可以不计；(1)具有一定的刚度，横向挠度δ；6§9－1有关概念及计算假设1.垂直于中面的线应变可以不计。故中面法线上各点，都具有相同的横向位移，即挠度w。).,(yxww根据其内力和变形特征，提出了3个计算假定：0zε0zwz取，由，得2.次要应力分量τzx,τzy和σz远小于其他应力分量，它们引起的形变可以不计。薄板中的应力，与梁相似，也分为三个数量级：7弯应力（合成弯矩）及扭应力（合成扭矩）横向切应力（合成横向剪力）挤压应力yxσσ,yxMM,xyxyM,)(~2bqzyzx,sxsyFF,),(~bq.~qz∴为次要应力，为更次要应力。略去它们引起的形变，即得并在空间问题的物理方程中，略去引起的形变项。因此，略去。)(.0,0azyzxzy,和xzzzyzx,zσzσ8薄板弯曲问题的物理方程为)()1(2),(1),(1bEσσEσσExyxyxyyyxx(1)在薄板弯曲问题中，略去了次要应力引起的形变;但在平衡条件中，仍考虑它们的作用。说明：⑵薄板弯曲问题的物理方程(b)与平面应力问题的物理方程相同。但沿板厚方向，对于平面应力问题的应力为均匀分布，合成轴力。而薄板弯曲问题的应力为线性分布，在中面为0，合成弯矩和扭矩。,NxFyxMM,xyM,,,xyyxxyyFFNN,⑶从计算假定1、2，得出εz=γzx=γzx=0。故中面法线在薄板弯曲时保持不伸缩，并且成为弹性曲面的法线。9中面在变形后，其线段和面积在xy面上的投影形状保持不变。)(0)(0)(00cvuzz,,,yuxvyvxuxyyx0)(0)(0)(000zxyzyzx由于3.薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移，即中面内的形变分量均为零，即类似于梁的弯曲理论，在薄板弯曲问题中提出了上述三个计算假定，并应用这三个计算假定,简化空间问题的基本方程，建立了小挠度薄板弯曲理论。实践证明，只要是小挠度的薄板，薄板的弯曲理论就可以应用，并具有足够的精度。10•1.试考虑在材料力学梁的弯曲问题中，是否也应用了这三个计算假定？•2.在材料力学的梁弯曲问题中，采用了平面截面假设。在薄板中有否采用此假设？思考题11§9－2弹性曲面的微分方程按位移求解薄板弯曲问题。取薄板挠度w为基本未知量，把所有其它物理量都用w来表示。xdxwywydyzDCBAABxCD本节从空间问题的基本方程出发，应用三个计算假定进行简化，导出按位移求解薄板弯曲问题的基本方程。12薄板弯曲问题是按位移求解的，主要内容是：4.导出板边的边界条件。3.导出求解w的方程。1.取挠度w(x,y)为基本未知函数。2.将其他未知函数─纵向位移u,v；主要应变分量;主要应力分量；次要应力分量及最次要应力均用w来表示。xyxxσσ,,xyxx,,zyzx,zσ131.取挠度为基本未知函数。应用几何方程及计算假定1，).,(,0yxwwzwεz),(yxww具体推导如下：横向位移w只是x、y的函数，不随z变化。因此在中面的任一根法线上各点具有相同的横向位移，也等于挠度。142.将，用表示。应用几何方程及计算假定2，∴对积分，又由计算假定3，故得：0,0zyzx.0,0ywzvxwzu).,(),,(21yxfzywvyxfzxwu,0),(0zvu,021ff.,zywvzxwuuvwz15.2,,22222zyxwzywzxwxyyx(b)3.主要应变用表示。应用其余三个几何方程，并代入式(a)得：wxyxx,,.1),(1),(122222222222yxwEzxwywEzσywxwEzσxyyx4.主要应力用表示。应用薄板的三个物理方程及式(b)，得：w(c)xyxxσσ,,165.次要应力用表示。应用平衡微分方程的前两式（其中纵向体力），有代入式(c)，并对z积分，得：,,xyσzyxσzxyyzyyxxzx0yxffwzyzx,),,()1(2),,()1(222221222yxFwyEzyxFwxEzzyzx,22222yx其中17)(.)4()1(2,)4()1(222222222dwyzEwxzEzyzx∵上下板面是大边界，必须精确满足应力边界条件0)(,0)(22zzyzzx由此求出及，代入得到1F2F18代入式(d)，并对z积分，得.yτxτzyzzzx).,()34()1(234322yxFwzzEσz由下板面的边界条件求出，故更次要应力为,0)(2zzσ3F).()1()21()1(64223ewzzEσzzσw6.更次要应力用表示。应用第三个平衡微分方程，将体力及板面上的面力等效地移置到上板面，有19由上板面边界条件（属于静力平衡条件）得出在A域中求w的方程,)(2qσzz,4qwD)1(1223ED为薄板的抗弯刚度7.导出求解w的基本方程。薄板挠曲微分方程也称为薄板的弹性曲面微分方程，它是薄板弯曲问题的基本微分方程。20⑴在三个计算假定下，纵向位移u,v；主要应变；主要应力；沿z向均为线性分布，在中面为0；次要应力（横向切应力）沿z向为抛物线分布；均与材料力学相似。更次要应力（挤压应力）沿z为三次曲线分布。zσ)0(zxyxx,,xyxxσσ,,zyzx,说明：⑵按位移求解薄板弯曲问题，只取w为基本未知函数。在导出求w的基本方程中应用了三个计算假定，与材料力学解梁的弯曲问题相似。21⑶从上述推导过程可见,空间问题的6个几何方程，6个物理方程和3个平衡微分方程都已考虑并满足（其中应用了3个计算假定）；并且在的大边界（板面）上，三个应力边界条件也已精确满足。2z⑷只有板边的边界条件尚未考虑，它们将作为求解微分方程（f）的边界条件。22思考题试比较梁的弯曲问题和薄板弯曲问题的异同。23§9－3薄板横截面上的内力在薄板横截面上取一微分六面体，其三边的长度分别为,如图所示。在垂直于x轴的横截面上，作用着正应力和剪应力。由于和在板厚上的总和为零，只能分别合成为弯矩和扭矩；而只能合成横向剪力。tyx,d,dxxxyxMxyMxzxy,xzSxF2t2tydxd显然，在垂直于x轴的横截面上，每单位宽度之值如下：24zzMttxyxyd22同理zFzzMzzMttxzSyttyxyxttyyddd2222222t2tydxdxxMxzzzMttxxd22zFttxzxSd22SxFxyMxyyzyyxyMyxMSyF25将上节给出的应力分量与挠度之间关系代入，并积分得：w上式称为薄板弯曲问题中内力与变形之间的弹性方程。wyDFwxDFyxwDMMxwywDMywxwDMSySxyxxyyx22222222222126内力的正负方向的规定：正的应力合成的主矢量为正，正的应力乘以正的矩臂合成的主矩为正。yxMyyMMyxyxdxyMxxMMxyxydyyFFSySydxxFFSxSxdSyFSxFxyxMxxMMxxdyMyyMMyydxdydz27利用应力分量与挠度之间的关系、薄板挠曲微分方程以及内力与形变之间的弹性方程，消去，可以给出各应力分量与弯矩、扭矩、剪力、载荷之间的关系。wwtztzqzttFzttFztMztMztMySyyzSxxzxyxyyyxx121246461212,12222322333328显然，沿着薄板的厚度，应力分量的最大值发生在板面，和的最大值发生在中面，而之最大值发生在载荷作用面。并且，一定载荷引起的应力分量中，在数值上较大，因而是主要应力；及数值较小，是次要的应力；挤压应力在数值上最小，是更次要的应力。因此，在计算薄板的内力时，主要是计算弯矩和扭矩。xyyx,,xzyzzxyyx,,xzyzz29§9－4薄板的边界条件以图示矩形板为例：OxyABabC1固定边假定OA边是固支边界，则边界处的挠度和曲面的法向斜率等于零。即：00xw00xxw2简支边假设OC边是简支边界，则边界处的挠度和弯矩My30等于零。即：0,000yyyMw由于2222xwywDMy且在OC上00yw即022xw则简支边OC边界条件可写成：00yw0022yyw31xMFFyxSySytxdxdABEFGxMyxdxxxMMyxyxddABEFGyxMxxMMyxyxdyxMxxMMyxyxdAyxMByxM扭矩可以变换为等效的剪力（扭矩的等效剪力）。边界AB上的分布扭矩可变换为等效的分布剪力xMyx总的分布剪力为：在A点和B点还有未被抵消的集中剪力：AyxABMFRByxBAMFR323自由边板边CB为自由边界，则沿该边的弯矩、扭矩和横向剪应力都为零，即：000axSxaxxyaxxFMM由于扭矩可以变换为等效的剪力，故第二及第三个条件可合并为：0axxySxyMF33将Mx、FSx、Mxy与的关系代入，得自由边界CB的边界条件为：w02023332222axaxyxwxwywxw34§9－5薄板弯曲的直角坐标求解用位移法求解薄板弯曲问题，通常采用半逆解法。首先设定具有待定系数的薄板挠度的表达式；其次利用薄板曲面微分方程和边界条件，确定待定常数；最后由挠