3.6-生灭过程

§3.6生灭过程生灭过程是一种特殊的连续时间Markov链,在研究生物群体中个体数量时具有重要应用.模型假定:X(t)的状态空间为{0,1,2,…}的Markov链,具有平稳转移概率Pij(t).并且假定,0,)()()1(1,ihohhPiii,1,)()()2(1,ihohhPiii),()(1)()3(,hohhPiiiijiPPijii,0)0(,1)0()4(,,0,0;1,0,0)5(0iiiii为新生率i为死亡率生灭过程的机制是:当它处于状态i时,只能转移到i+1或i-1这两个状态,前者代表新生,后者代表死亡.注意生灭过程的转移概率是标准的,并且由定理3.7知:过程在状态i的逗留时间服从i=i+i的指数分布,并且,因此,,即:过程首次转移是新生的概率为;首次转移是消亡的概率为.iiiiiiiiiqqq1,1,,,iijijqqiXjXPP})0()({)(iiiiiP)(1,iiiiii在建立生灭过程模型时要注意:不是任一组{i},{i}都可以充当过程的新生率和死亡率.事实上,只有这些参数满足下面条件才可以其中.,100nkknnn,2,1,,1110nnkkkn定理3.8生灭过程X(t)的转移概率有Kolmogrov向后微分方程:和Kolmogrov向前微分方程:,1,)()()()()()()()(,1,1'1000'0itPtPtPtPtPtPtPjiiijiijiiijjjj.1,)()()()()()()()(1,11,1'1100'0jtPtPtPtPtPtPtPjijijjjjijijiii)(tPijkkjikijtPhPhtP)()()(证:由Chapman-Kolmogrov方程知:)()]()()([1)()()(01.1,1,,11,,1hohPhPhPhPtPhPiiiiiiiiikikiiikkjik1,,1,11.,11,)()()()()()()()(iiikkjikjiiiijiijiiitPhPtPhPtPhPtPhP所以由假定(1),(2)和(3)可以估计出:)()()(])(1[)()(,1,1hothPtPhthPhtPjiiijiijiiijhhotPtPtPhtPhtPjiiijiijiiijij)()()()()()()(,1,1令,即有0h).()()()()(,1,1'tPtPtPtPjiiijiijiiij如果在Chapman-Kolmogrov方程中将h和t的位置互换,类似上面证明即可得到Kolmogrov向前微分方程.注:向后方程是把区间(0,t+h)分为(0,h)和(h,t+h)来考查状态的转移.由于h很小,所以在(0,h)中的事件远在过去.而向前方程是把区间(0,t+h)分为(0,t)和(t,t+h)来考查状态的转移.例3.12(带移民a的线性增长和线性死亡模型)取n=n+a,n=n,其中,,a0,这在人口问题中是常见的.我们最感兴趣的是在时刻t的期望人口数E[X(t)].…01234…aaaaaaaaQ3)33(30002)22(2000)(000利用Kolmogrov向前微分方程:.1,)(])1([)(])[()()1()()()()(1,1,'10'0jtPajtPajtPjtPtPtaPtPjiijjiijiii记,于是m(t)应满足方程:jijtjPtXEtm)()]([)(1')()('jijtjPtm11,)()1(jjitPjj11,)(])1([jjitPajj1)(])[(jijtPajj1,)()1(jjitjPj11)()()()1()(jijjijtjPatjPj11,11,)()()1(jjijjitjPatPjj1,)()1(jjitjPj11)()()()1()(jijjijtjPatjPj0,1,1,)()()2()()1(jjijjijjitPatjPatjPj所以).()()('tmatm假设初始条件为X(0)=i,则m(0)=i.可以求出:).()()('tmatm当=时,;)(iattm当时,.]1[)()()(ttieeatm因此,当时;)(limtmt当时.)(limatmt课外作业:Page61Ex31