第六章案例

第六章案例一、基点价格值（一）原理所谓基点，就是利率该变量的计量单位，一个基点等于1个百分点的1%，即0.01%。基点价格值是指到期收益率变化一个基点，债券价格的变动值。基点价格值是价格变化的绝对值，价格变化的相对值称作价格变动百分比，它是价格变化的绝对值相对于初始价格的百分比，用式子表示就是：价格变动百分比=基点价格值/初始价格。（二）事件描述有A、B、C三种债券，半年付息一次，下一次付息在半年后，相关资料如下：债券种类ABC票面利率8%8%8%面值（元）100100100信用评级AAAAAA到期时间5年10年15年到期收益率8%8%8%价格（元）100100100分别计算它们的基点价格值，以及计算收益率变动10个基点和100个基点时三种债券的价格波动值（三）分析与思考令收益率上升一个基点，从8％提高到8.01％，可以计算出，新的债券价格分别是：99.9595元、99.9321元和99.9136元，价格分别变动-0.0405元、-0.0679元和-0.0864元，基点价格值分别是0.0405元、0.0679元和0.0864元。令收益率下降一个基点，从8％减少到7.99％，新的债券价格分别是：100.0406元、100.0680元和100.0865元，价格分别变动0.0406元、0.0680元和0.0865元，基点价格值分别是0.0406元、0.0680元和0.0865元。可以看到，收益率上升或下降一个基点时的基点价格值是近似相等的。由于收益率下降引起价格变动幅度比同等的收益率上升引起的价格变动幅度应该大一些，但是，这里由于收益率的变动很小（仅为一个基点），收益率上升或下降引起的价格波动是大致相等的。令收益率上升10个基点，从8％提高到8.1％，可以计算出，新的债券价格分别是：99.5955元、99.3235元和99.1406元，价格波动值分别变动0.4045元、0.6765元和0.8594元。令收益率下降10个基点，从8％减少到7.9％，新的债券价格分别是：100.4066元、100.6825元和100.8699元，价格波动值分别变动0.4066元、0.6825元和0.8699元。结合上面计算得出的基点价值对应的结果，我们可以总结出一条规律：当收益率变动的幅度较小时（例如10个基点），收益率变动ｎ个基点，价格就近似变动基点价格值的ｎ倍。由于收益率的变动较小，收益率下降或上升导致的价格波动仍然是大致相等的，价格波动的不对称性可以被忽略。当收益率上升100个基点，从8％提高到9％，可以计算出，新的债券价格分别是：96.0436元、93.4960元和91.8556元，价格波动值分别变动3.9564元、6.5040元和8.1444元。再令收益率下降100个基点，从8％减少到7％，新的债券价格分别是：104.1583元、107.1062元和109.1960元，价格波动值分别变动4.1583元、7.1062元和9.1960元。可以看出，当收益率变动的幅度较大时（例如100个基点），就不能采用前面的近似方法，用基点价格值的ｎ倍来估计价格的波动。另外，由于收益率的变动较大，价格波动的不对称性也就表现出来，收益率下降或上升带来的价格波动是不等的。进一步思考：衡量债券利率风险还有哪些指标？二、利率变化与净价格效应（一）原理市场利率变动对债券投资收益的影响来自两个方面：一是利率波动的价格效应，即价格风险；二是利率波动的再投资效应，即再投资风险。两种效应结合在一起就是利率变化的净价格效应。价格效应和市场利率的变动是反方向的，当市场利率上升时，债券价格会下跌；而当市场利率下降时，债券价格会上涨。再投资效应和市场利率的变动则是同方向的。当市场利率上升时，利息再投资收益增加；而当市场利率下降时，利息再投资收益减少。可见，市场利率变化时，价格风险和再投资风险对债券价格的影响正好相反，存在抵消现象。但价格风险和再投资风险究竟哪个更大？或者说在什么情况下两者可以正好抵消，以规避利率变动的影响呢？这是我们以下案例需要探讨的。（二）事件描述投资者拥有期限为5年，面值1000元，票面利率为8%的债券，每年支付一次利息，当前市场的必要收益率为10%，债券当前市场价格为924.18元。同时，该投资者的还有一笔期限为4年，现值也等于924.18元的负债。投资者打算4年后将债券出售来偿还该笔负债。投资者4年后的债券收入包括销售价格、利息及利息再投资收入。如果在支付第一期利息前，利率下降到8%或者上升到12%，并且新的利率在将来保持不变。求利率变化带来的净价格效应。（三）分析与思考当市场必要收益率为10%时，上述债券久期为4.28年，大于负债久期，因此存在净价格效应。计算得到下表信息：时间（年）现金流4年后各笔现金流现值10%8%12%18054.6458.850.8428060.1163.5156.9438066.1268.5864.7848072.7374.0771.43销售价格1080737.65793.83686.36利息的利息40.8431.1551.39变化价格56.18-51.29利息-9.6910.55净价格效应46.49-40.74通过上表计算数据，我们可以得出结论：如果预测利率将会下跌，投资者可以投资于久期超过负债久期的债券，因为此时债券价格的涨幅超过利息收入跌幅，可以通过净价格效应获得更高的回报。如果预测利率将会上升，投资者可以投资于久期小于负债久期的债券，因为此时债券价格的跌幅小于利息收入涨幅，可以通过净价格效应获得更高的回报。三、久期的含义和公式（一）原理麦考莱久期：“久期”是对以债券价格波动为主要内容的利率风险的一个严密的表达方式和适当的衡量指标，它能帮助市场参与者有效地实施资产组合策略与套期保值策略。“久期”这个概念最早是由弗里德里克•麦考莱在1938年发表的一篇研究文章中提出的，他在现值的基础上，衡量了与金融工具（如附息债券）有关的现金流的平均期限。“久期”是债券的各期支付（包括息票的支付与本金的偿还）所需时间长度的加权平均数。久期以附息债券价格的函数式01()nttPPVCF为基础，在对收益率（r）求一阶导数之后，再在等式两边同时除以债券价格（P），得到：11(1)dPDdrPr上始终的D便是久期的概念，它的展开式为：11()()nttnttPVCFtPVCFD公式中的分母是利息和本金支付流的现值，即债券的市场价格；而分子则是指全部利息和本金的现金流用相同的到期收益率(而不是使用预期将来每一次支付发生时的即期利率)来进行折现，然后，将所有经过折现后的现金流的现值用作权重对各次支付所需要的时间进行加权，最后再作加总。在这里，权重的意义在于它代表着未来的每一次支付占全部债券价值中的特定比重，即每期收到的现金流的现值只代表了债券市场价格的一个部分。11(1)dPDdrPr由此式可以看出，久期这个概念开创性地将债券收益率的变动和债券的价格变动联系了起来，是对债券价格波动性或对收益率变动的敏感性的衡量：久期越是大，债券价格对收益率变动的反应就越是强烈，这意味着利率风险就越是大；反之则反是。（二）事件描述××某种债券的到期收益率为10%，面值为$1000，票面利率为8%，每年付息一次，债券的现行市价为$950.25，存续期还剩3年。请计算出该债券的久期，并说明含义。（三）分析与思考(1)(2)(3)(4)=(2)×(3)(5)=(4)×(1)收到现金流入所需要的时间现金流动额现值系数(折现率为10%)现金流的现值现金流的现值与所需时间的乘积1年$800.9091$72.7372.732年$800.8264$66.12132.233年$10800.7513$811.402434.21合计$1240-------$950.252639.17久期n1ttn1tt)CF(PVt)CF(PVD=25.950$17.6392=2.7771639根据公式变形得到(1)dPDdrpr，代入D=2.78，r=10%，得到2.53dPdrp。说明当市场收益率上升1%，债券价格下降2.53%；当市场收益率下降1%，该债券价格上升2.53%。(1)Dr也称作修正久期，直接衡量了收益率变动和债券价格变动的关系。进一步思考：久期最本质的定义是什么？四、凸度的含义和公式（一）原理债券的价格与其收益率呈反比关系；然而，债券收益率下降抬高债券价格的数额要大于债券收益率发生同等幅度的上升所导致的债券价格下跌的数额。这种非线性联系在“久期”运用过程中也体现出来：第一，“久期”的预测是对称的，而债券实际价格的变动是不对称的；第二，在收益率发生上升和下跌这两种情况下，“久期”的预测都出现了误差，即都低估了债券价格的实际变动；第三，同样是“久期”的预测出现了偏差，但收益率上升导致债券价格下跌的误差要小于收益率下降导致的债券价格上涨的误差。为了纠正久期的这种不足，就需要引入凸度的概念。所谓凸度是指债券收益率的单位变化所引起的债券久期的变化大小，即衡量到期收益率变动所引起的债券价格变动幅度的变动程度。从图形上看，更直观地说，凸度用来衡量债券价格与收益率关系曲线的曲度。如果收益率增加相同大小，则凸度大的债券其价格减少幅度较小，凸度小的债券其价格减少幅度较大；如果收益率减少相同大小，则凸性大的债券其价格增加较大，凸度小的债券其价格增加幅度较小。凸度是债券价格对收益率的二阶导数除以债券价格，公式如下：221dPCPdy上式中，C为凸度，P为债券价格。凸度对债券价格百分率变动的影响等于凸度的数值乘以收益率的平方，它呈增函数性质，即：2dPCdrP（二）事件描述某种债券的息票率为8.4%，每半年付息一次，期限为6年。债券的面值为$100，由于到期收益率为9%，所以在市场上按$97.26折价出售。现假定年收益率从9%下降到7%，请分析其对债券价值的影响。（三）分析与思考(1)期限(2)支付额(3)支付额的现值t)045.01()2((4)t)045.01()1()2((5)t)045.01()2()1t()t(1$4.20$4.024.028.042$4.20$3.857.6923.083$4.20$3.6811.0444.174$4.20$3.5214.0970.445$4.20$3.3716.85101.116$4.20$3.2319.35135.467$4.20$3.0921.60172.838$4.20$2.9523.63212.649$4.20$2.8325.44254.3610$4.20$2.7027.04297.4911$4.20$2.5928.47341.6212$104.20$61.44737.329,585.10总计$150.40$97.26936.5411,246.34936.54==4.8145297.26久期，4.8145==4.611+0.045修正后久期（），211246.34==52.94221.04597.26凸性根据“修正后久期”和“凸度”的公式，假如收益率从9%下降2个百分点至7%，那么预期中的债券价格百分率变动为：久期(半年)=629.926.9754.936，久期(一年)=8145.42629.9，修正后久期=61.4045.018145.4）（。凸性(半年)=94.5226.97$045.1234.246112）（，凸性(一年)=47.26294.52。根据“修正后的久期”及“凸性”来预测债券价格百分率的变动：2dyCVdyMDPdP=(－4.61)(－0.02)+2)02.0)(47.26(=0.102788=10.28%；假如收益率从9%上升2个百分点至11%，那么，预期中的债券价格百分率变动为：2dyCVdyMDPdP=(－4.61)(0.02)+2)02.0)(47.26(=－0.81612=－8.16%。反过来，假如收益率从9%上升2个百分点至11%，那么预期中的债券价格百分率变动为：久期(半年)=629.926.9754.