大学课件电磁学-毕奥-萨伐尔定律

13.3毕奥-萨伐尔定律引言2奥斯特实验表明,长直载流导线使与之平行放置的磁针受力偏转引言1820年,法国物理学家毕奥和萨伐尔对奥斯特实验做了认真的分析,寻找任意电流元对磁极作用力的定量规律。3rIdlθ磁极—方向:长直流导线对磁极的作用力是横向力,推断各电流元对磁极的作用力也是横向力,方向应垂直于由该电流元和磁极构成的平面—大小:除了与Idl有关外,还应与距离r和角度θ有关,其中r为电流元与磁极的距离,θ为Idl和r之间的夹角引言1820年,毕奥和萨伐尔的第一个实验“从磁极到导线(长直流导线)做垂线,作用在磁极上的力(方向)与这条垂线和导线都垂直,它的大小与磁极到导线的距离成反比”IHkr4引言5tan2IHkrrPIθθ毕奥和萨伐尔的第二个实验是弯折载流导线对磁极作用力的实验。得到如下公式:引言法国数学家拉普拉斯从数学上证明,任何闭合载流回路产生的磁场可以看成是由电流元的作用叠加起来的,他从毕奥和萨伐尔的实验结果倒推出电流元产生磁场的数学表达式,从而建立了著名的毕奥-萨伐尔定律2ˆIdlrdHkr皮埃尔-西蒙·拉普拉斯(法语：Pierre-SimonmarquisdeLaplace,1749－1827),法国著名天文学家和数学家。6引言•拉普拉斯的推导过程7tan2IHkrHHdHdrdr(,)HHrr+drPIθrdθdlcossindrdlrddl2sinIdldHkr写成矢量形式:2ˆIdlrdHkr3.3.1毕奥-萨伐尔定律若磁场中,电流元到某点P的矢径为,则电流元在P点产生的磁感应强度的大小与成正比,与经过小于180o的角转到矢径的方向角的正弦成正比,与r的平方成反比,其方向为的方向。IdlrdBIdlIdlIdlrIlIdBdprθ20ˆ4rrlIdBd真空的磁导率(Thepermeabilityoffreespace)270/104AN垂直于纸面向外垂直于纸面向里r820ˆ4rrlIdBd1.孤立的稳恒电流元不存在。但此定律是基于实验的。2.电流元的磁场pldIrBd磁感应线为在垂直于电流元的平面内、圆心在电流元轴线上的一系列同心圆。方向：右手定则。3.电流元不在自身方向上激发磁场.lIdOpBd毕奥萨伐尔定律讨论9毕奥萨伐尔定律例题.判断下列各点磁感强度的方向和大小.1、5点：0dB3、7点：20π4ddRlIB02045sinπ4ddRlIB2、4、6、8点：02ˆdd4πIlrBr毕奥－萨伐尔定律12345678R×××lId10磁场叠加原理整个载流导体在P点的磁感应强度则是电流元在P点产生的dB之矢量和02ˆ4LLIdlrBdBr实际上并不存在孤立的电流元,毕奥-萨伐尔定律不能够由实验直接验证,但由这个定律出发得到的任何恒定电流的磁场都与实验结果相符合,从而间接的验证了毕奥-萨伐尔定律的正确性113.3.2毕奥-萨伐尔定律的应用给定电流分布，由毕奥萨伐尔定律和磁场的叠加原理可以求空间各点的磁场•若电流分布具有一定的对称性，且待求各点的位置相对于电流也具有一定的对称性,使用毕奥萨伐尔定律的积分形式可以给出严格精确的解析解•若电流分布及待求各点具有的对称性不够,就很难得出解析解,但可以利用数值方法计算12载流直导线长L,电流强度为I，求距导线垂直距离为a处的磁感应强度.palIdr,ˆ420rrlIdBd20sin4rIdldBBLrIdldBB20sin4olactgactgl)(dadl2sinsin)sin(aar2220sinsinsin4adaIdaI201sin4121.载流直导线的磁场13)cos(cos4210aIBdaIB201sin41.载流直导线的磁场palIdrBol12讨论1).无限长直导线1=0,2=πaIB2014)cos(cos4210aIBaIB40磁感应线右手螺旋法则3)场点在直电流或它的延长线上0ˆrlIdB=02)半无限长直导线端点外,1=π/2，2=πIBpalIdrBol121.载流直导线的磁场1590sind4d20rlIB解：yxzRoplIdrBdz90sind4d20rlIBB222rRz因为圆线圈上各个电流元在P点产生的磁感应强度的方向是不同的，所以只能用它的矢量表示：()XyZBdBdBidBjdBk2.载流圆线圈轴线上的磁场1690sind4d20rlIBzBBd20sind4rlIRlrI2020dsin4232220)(2zRIR解：垂直分量抵消！Bd'dByxzRoplIdrBdz222rRz2.载流圆线圈轴线上的磁场172.载流圆线圈轴线上的磁场?.1BRz3202zIRBRIB20载流圆环载流圆弧IBBI?0.2BzRIRIB422002圆心角圆心角2022322()IRBRz18小结：利用毕奥—萨伐尔定律求解任意形状的载流导线所产生的磁场的注意事项：(1)如果方向都一致,可以简化为BdBBdB(2)如果方向不一致,可以写为BdB()XyZBdBdBidBjdBkXyZdBidBjdBk分析任意电流元产生磁场的方向是否一致可以先求出所有电流元在某个坐标轴上分量的代数和,进而求出总的磁感应强度。19求圆心O点的B如图,RIB40OIRRIB80IORRIRIB2400ORIOIR32)(RIRIB231600练习20磁偶极矩(magneticdipolemoment)neISmmne说明：只有当圆形电流的面积S很小，或场点距圆电流很远时，才能把圆电流叫做磁偶极子.203ˆ2IRBkz圆电流磁感强度公式在时可写成zR2000333ˆˆ222ISIRkmBkzzz21磁偶极子磁感应线与电偶极子的电场线22电偶极子的电场线磁偶极子磁感应线3.载流直螺线管内部的磁场23如图所示,有一长为l,半径为R的载流密绕直螺线管,螺线管的总匝数为N,通有电流I.设把螺线管放在真空中,求管内轴线上一点处的磁感强度.PR××××××××××××××*l3.载流直螺线管内部的磁场242/32220)(2RxIRB螺线管可看成许多薄片组成,一个薄片相当于一个圆电流2/32220d2dxRxInRBPR××××××××××××××*Oxx由圆形电流磁场公式Nnldx3.载流直螺线管内部的磁场25cotRx2222cscRxR212/32220d2dxxxRxRnIBBdcscd2RxR××××××××××××××*Ox1x2x123.载流直螺线管内部的磁场2621dcscdcsc233230RRnIB21dsin20nIR××××××××××××××*Ox1x2x123.载流直螺线管内部的磁场27120coscos2nIB讨论(1)P点位于管内轴线中点21π2222/2/cosRll21coscosR××××××××××××××x*P213.载流直螺线管内部的磁场282/1220204/2cosRllnInIBnIB0Rl若R××××××××××××××x*P213.载流直螺线管内部的磁场29对于无限长的螺线管0π21，120coscos2nIB或由nIB0故R××××××××××××××x*P213.载流直螺线管内部的磁场302/0nIB(2)半无限长螺线管的一端00.5π21，比较上述结果可以看出,半“无限长”螺线管轴线上端点的磁感强度只有管内轴线中点磁感强度的一半.R××××××××××××××x*P213.载流直螺线管内部的磁场31nI021xBnI0O下图给出长直螺线管内轴线上磁感强度的分布.从图可以看出,密绕载流长直螺线管内轴线中部附近的磁场完全可以视作均匀磁场.(非相对论条件下、运动电荷的电场与磁场)如图，若带电粒子(即电荷)的定向运动速度为v,设导线截面为s,带电粒子数密度为n,则在dt时间内过截面s的带电粒子数02ˆ4IdlrdBr已知由电流元激发的磁场为dNndVnsdlnsvdtS＋vＩＩ＋v＋v＋v＋v＋v＋v＋v＋vvdtdl3.3.3运动电荷的电磁场32运动电荷的电磁场若每个载流子的电荷为q,则dt时间内通过s截面的电量qnsvdtqdNdQ于是在电流元中的电流强度为qnsvdtdQI若把电流元Idl所激发的磁场,看成由dN个载流子(运动电荷)激发而成,则02ˆ4qnsvdlrdBr02ˆ4qdNvrr33电荷q相对观察者以速度v运动、若vc,则单个运动电荷在空间A点所激发的磁场为02ˆ4dBqdNvrBdNdNr02ˆ4qvrBrqPBvrqPBvr运动电荷的电磁场34例求氢原子中作轨道运动的电子在核处产生的磁场和电子的轨道磁矩。19101.610,0.5310qeCrmsmv6102.2B的方向垂直纸面向内。磁矩：)(.22310930mA2222/2mevPIrrerrvr2evr21061971053.04102.2106.1104BT53.12or·vr02ˆ4μqvrBπr解练习35半径为R的带电薄圆盘的电荷面密度为σ,并以角速度ω绕通过盘心垂直于盘面的轴转动,求圆盘中心的磁感强度.Ro练习36解法一圆电流的磁场2πddd2π/dqrrIrrdtrrIBd22dd00B,0向外,2d2000RrBR,0向内.BRorrd37解法二运动电荷的磁场02dd4πqBrvrrqdπ2drvrBd2d02d2000RrBRRorrd38这里也考虑了叠加本次课小结02ˆ4IdlrdBr一、毕奥-萨伐尔定律lIdrθp02sin4IdldBr大小方向：rlIdˆlId磁场叠加原理二、应用载流直导线的磁场圆电流轴线上的磁场螺线管轴线上的磁场无限长无限长aIB20nIB0方向:右手定则,iiBdBBB2022322()IRBRz