大学课件电磁学-环路定理及电偶极子

2021221eπ4rqqrqkqf221grmGmf万有引力库仑力§1.4静电场的环路定理、电势力所做的功只与物体的始末位置有关，而与所经历的路径无关，这类力叫做保守力。如：万有引力、弹性力、静电力。§1.4.1静电场的环路定理一、静电场的保守性1.点电荷场qrerqEˆπ420EqF0lFAdddrq0P1P2lEqdcos0rrqqdπ4200210011π4rrqqA=f(q0,r1,r2)Er1r2lrqqdcosπ4200rrldlEqd021d12PPAA静电场力的功与路径无关2.任何静电场q0qiP1P221d012PPlEqA21d0PPiilEq212121ddd02010PPnPPPPlEqlEqlEqniiiirrqq1210011π4结论ri1ri2试验电荷在任何静电场中移动时，电场力所做的功只与路径的起点和终点的位置有关，而与路径无关。静电力是保守力，静电力场是保守力场。LlFd0dLlE2.证明:讨论静电场的基本方程保守场Eq0LlEqd0=0二、静电场的环路定理(circuitaltheoremofelectrostaticfield)1.表述:0d)(任意LlE静电场中场强沿任意闭合环路的线积分恒为零静电场力是保守力（无旋场）场强的环流恒为零§1.4.2静电势能(Electricpotentialenergy)EP1P2q0211221dWWlFAPPP1点电势能静电场力做功等于相应电势能的减量P2点电势能电场力所做的功等于电势能增量的负值(或电势能的减少)。定义取WP0=000d0)(PPPPlEqAW——电势能的零点。即：电荷q0在电场中某点的电势能等于把电荷从该点沿任意路径移动到电势能零点静电场力所做的功。1.电势能零点电势能零点的选择原则上是任意的：讨论baabbalEqAWWd0电势能差C)工程上取大地或金属外壳为电势能的零点。A)有限大小带电体，选无限远处为电势能的零点。B)无限大带电体，选有限远处为电势能的零点。2.电场力所做的功有正(例如在斥力场中)有负(例如在引力场中)，所以电势能有正有负。3.电势能是属于电荷q0和产生电场的电荷系所共有的。4.电势能和试验电荷有关，不能用来描述电场。讨论电势能零点aalEqWd0电势能§1.4.3电势和电势差一、电势(Electricpotential)210122121ddWWlEqlFAPPPP020121dqWqWlEPP1P2P0qE0201qWqW根据静电场的环路定理与试验电荷无关，反映了电场在P1、P2两点的性质定义电势0qW势能零点任意路径PPlEd0d0PPlEqW电场中任一点的电势等于把单位正电荷自该点沿任意路径移动到电势零点静电场力所做的功，等于场强从该点沿任意路径到电势零点的线积分。讨论（1）电场中某点的电势与零点的选取有关。（2）电势零点确定后，电势值唯一确定，相应的电势是空间位置的函数。),,(zyx（3）电势零点的选取视方便而定，一般有三种情况：a）生场电荷为有限大小，通常选“无限远”处电势为零。记为：0d，PPlEb）带电体为“无限大”，通常指定某位置P0电势值为零。场点P处电势为：0d00PPPPlE，电势0qW势能零点任意路径PPlEdc）实际工作中，常选大地为电势零点。电器外壳接地时的电势为零。，地PPlEd0地（4）电势的量纲SI制：V(伏特)(5)电势和电势能的关系点电荷q0在电场中的电势能为0qW电势零点即电势能零点任意带电体在电场中的电势能为qWd注意电势是描述电场能量性质的物理量，与试验电荷无关；(6)把电荷q0从a沿任意路径移动到b静电场力所做的功为)(0baabqA二、电势差(Electricpotentialdifference)定义电场中单位正电荷在P1、P2两点的电势能之差称为P1、P2两点的电势差(电压)。21d2112PPlEU任意路径电场中任意两点P1、P2的电势差，等于把单位正电荷从P1点沿任意路径移动到P2点静电场力所做的功，等于场强沿任意路径从P1点到P2点的线积分。A12=W1W2=q0(12)=q0U12A12=q0U12Achargeq=-30Cispushedfromcloudtoground.U=2108V.Energygained=Workdonebyelectricfield=-qU=-(-30C)(2108V)=60108JLightningEnergyUU脑电图仪(EEG)视网膜电图仪(ERG)心电图仪(ECG)电势能电场力的功电势电势差d21211221)(qWWlEqAPP0qW电势零点)(任意路径PPlEd)()任意路径(21d2112PPlEU电势能零点)(任意路径PlEqWd0[例]点电荷场的电势公式rrQrdπ420rQ0π4EldPPlEdlerQrrdˆπ420球对称标量QPr：正负Q0，0Q0，0积分路径沿径向电势的计算——场强积分法(由定义)步骤：(1)计算场强；(2)选择合适的路径L；(3)分段积分(计算)。电势零点)(任意路径PPlEd1dˆdˆlelerr1drrO例如果取B点的电势为零，求A点和C点的电势。q=10-8C10cm10cm10cm解：由待求点积分至零电势点BArBAAlerqlEdˆ1π4d20BCrBCClerqlEdˆ1π4d20BC20dπ4rrqABCV45011π4dπ4020BABArrqrrqV15011π4dπ4020BCBCrrqrrqaOM2aPq在点电荷q的电场中，若取图中P点处为电势零点，求M点的电势。PPMrPMMlerqlEdˆ1π4d20aarrq220dπ4aq0π8[例]求均匀带电球面的电势分布。设球面半径为R，带电量为Q。PlEdrrQrRRrdπ4d020解：均匀带电球面电场的分布为rerQERrERrˆπ4020若场点在球面内，即rRPrRQORQ0π4由于球面内外场强的表达式不同，所以电势的定义式中的积分要分成两段。均匀带电球面内各点电势相等并等于球面上电势。rrQrdπ420rQ0π4场点在球面外，即rRPPrRQRr0π4电势分布rQRr0π4以无限远为电势零点。由于在球面外直到无穷远处场强的分布都和电荷集中在球心处的点电荷的场强分布一样，因此球面外任一点的电势与电量集中在球心的点电荷的电势分布相同。②r图r0R等势体讨论PlEdRQOPr[例]求无限长直导线(l)外一点P的电势。l解：rerEˆπ20l设∞=0，则P点电势rPPrrlE0π2ddl)(rlnlnπ20l不合理选Q0r0QQPPlEdEPQPPPlElEddQPlEd00π2drrrrlrr00lnπ2l1.rr0，PP02.rr0，P0静电除尘以R1和R2分别表示电晕极与集电极的半径，L表示集电极圆筒高度，通常LR2，已知空气的击穿场强为Em。请计算出管式静电除尘器的除尘电压。[例]无限长均匀带电圆筒(R1，R2)，已知空气的击穿场强为Em。求两筒面之间的电压。解：R1R2l1l2rPrerEˆπ201l——P的场强为：内外两极间电压为2121dRRRRlEUrrRRdπ22101l1201lnπ2RRl[例]无限长均匀带电圆筒(R1，R2)，已知空气的击穿场强为Em。求两筒面之间的电压。解：R1R2l1l2rPrerEˆπ201l————21dRRlEU)(1201lnπ2RRUl故)(12lnRRrUE1201lnπ2RRl由于电晕线附近的电场强度最大，使它达到空气电离的最大电场强度Em时，就可获得高压电源必备的除尘电压121mlnRRREU)(12lnRRrUE[例]巧克力碎屑的秘密II巧克力粉末及其电荷被均匀地以体电荷密度r=-1.110-3C/m3散布在半径为R=5.0cm聚氯乙烯管管道中。(1)求管道中的电势(设在接地的管壁上电势为零)；(2)管道中心与其内壁之间的电势差是多少？解：(1)rE0int2rRrlEdint22004d2rRrrRrrr(2)在r=0处，20center4Rr=-7.76104V故U=center–R=-7.76104V[例]平行板电容器两板间的电势差0E解：平行板电容器内部的场强为两板间的电势差：)()(lEd)()(lEdEldd12)()(lEUd12EdU12二、任意带电体电势1)由定义式出发(电势零点))(PlEd一、电势叠加原理(电势零点))(PlEdiidiPilE(电势零点))(d§1.4.4电势的计算2)电势叠加原理Pqirirqdπ410lEPiid(电势零点))(iidiiirq0π4[例]点电荷q1，q2，q3，q4均为4.010-9C，放置在一正方形的四个顶角上，各顶角与正方形中心O的距离均为5.0cm，(1)计算O点的电势；(2)将试验电荷q0=1.010-9C从无限远处移到O点，电场力做的功为多少？(3)电势能改变多少？是增加还是减少？O1q2q3q4q解：(1)选无限远处为电势零点，根据电势叠加原理，O点电势为：V2880π4440114321rqO(2)J1088.2)(60OqA(3)J1088.26AWWO电势能改变J1088.26WWO增加[例]求距电偶极子相当远处的电势。+q-qPr-r+rq0π41rq0π41rqrq00π41π41cos2lrrcos2lrrcos2π41cos2π4100lrqlrq20cosπ41rql20ˆπ41repr30π41rrpOrrOP解：qqP20cosπ41rql20ˆπ41reprOr[例]求距电偶极子相当远处的电势。解：讨论1.延长线上，0：20π41rpp：20π41rp2.中垂面上，p/2：0[例]均匀带电直线，长l，带电为Q，求其延长线上离杆B端距离为a的P点的电势。解：取dqdq=ldxxlQdrqPdπ41d0xalxdπ410lP点电势lPxalx00dπ4laallQlnπ410ABPadqxrOxdxO'3.电量可非均匀分布。[例]求均匀带电圆环轴线上的电势(R，q)。ROPdqrxrqdπ41d0rqdπ41d0rq0π41讨论1.xRxq0π41