大学物理课件：第一章

第一章质点运动学一、基本要求1．掌握位矢、位移、速度、加速度、角速度和角加速度等描述质点运动和运动变化的物理量。2．能借助于直角坐标系计算质点在平面内运动时的速度和加速度。3．能计算质点作圆周运动时的角速度和角加速度，切向和法向加速度。4．理解伽利略坐标变换和速度变换。二、基本内容1．位置矢量（简称位矢）位置矢量，表示质点任意时刻在空间的位置，用从坐标原点向质点所在点所引的一条有向线段r表示。r的端点表示任意时刻质点的空间位置。r同时表示任意时刻质点离坐标原点的距离及质点位置相对坐标系的方位。位矢是描述质点运动状态的物理量之一。注意：（1）瞬时性：质点运动时，其位矢是随时间变化的，即trr；（2）相对性：用r描述质点位置时，对同一质点在同一时刻的位置，在不同坐标系中r表达形式可以是不相同的。它表示了r的相对性，也反映了运动描述的相对性；（3）矢量性：r为矢量，它有大小，有方向，服从几何加法。在直角坐标系Oxyz中xyzrijk222xyzrrrzryrxcos,cos,cos质点的运动方程为txtytztrrijk（矢量式）或tzztyytxx（标量式）。2．位移,tttxyzrrrijkr的模222xyzr。注意：（1）r与r的区别：前者表示质点位置变化，是矢量，同时反映位置变化的大小和方位；后者是标量，反映质点位置离开坐标原点的距离的变化。（2）r与s的区别：s表示t~tt时间内质点通过的路程，是标量，只有质点在直线直进时两者的大小相等或当0t时，sr。3.速度ddtrv，是质点位置矢量对时间的变化率。在直角坐标系中xyzddxdydzdtdtdtdtvvvvrijkijkv的大小：222222xyzdxdydzdtdtdtvvvvvv的方向：在直线运动中，0v表示质点沿坐标轴正向运动，0v表示质点沿坐标轴负向运动；在曲线运动中，v沿曲线上各点切线，指向质点前进的一方。注意：（1）瞬时性：质点在运动中的任一时刻的速度是不同的；（2）矢量性：速度为矢量，具有大小、方向，求解速度应同时求得其大小和方向；（3）相对性：运动是绝对的，但运动描述是相对的，所以必须明确参照系、坐标系，在确定的坐标系中求质点的速度；（4）叠加性：因为运动是可叠加的，所以描述运动状态的物理量速度也是可叠加的；（5）要注意区别速度和速率，注意dtdr与ddtr，dtdr与ddtr的区别。4．加速度ddtav，描述质点速度对时间的变化率，其中包括速度的大小和方向随时间的变化。不论速度的大小变化，还是速度方向的变化，都会产生加速度。加速度也为矢量。在直角坐标中xyzaaaaijk其中，22xxddxadtdtv，22yyddyadtdtv，22zzddzadtdtv，222xyzaaaa。在自然坐标系中ntaaant其中，2nav，tdadtv，22ntaaa，a与切向的夹角arctanntaa加速度的方向与速度方向无直接关系。在直线运动中，若a与v同向，则质点作加速运动，a与v反向，则质点作减速运动。在曲线运动中，a方向总是指向曲线凹的一侧。5．圆周运动的角速度、角加速度角速度dtd角加速度22dtddtd角量与线量的关系：Rv，taR，2naR6．伽利略速度变换uvv其中v为运动物体相对固定参照系的速度，称为绝对速度；v为运动物体相对运动参照系的速度，称为相对速度；u为运动参照系相对固定参照系的速度，称为牵连速度。三、习题选解1-1从原点到P点的位置矢量26rij。而P点到Q的位移42rij。求从原点到Q点的位置矢量，并作图表示。解：由位移定义QPrrr设Q点坐标为(,)xy则2626xyxyrijijij而xyrij显然2642yyxx42yx故24Qxyrijij如图所示。题1-1图1-2设质点沿x轴运动，其运动方程为323ttx（式中x以m计，t以s计）。求：（1）质点在3s末的速度和加速度；（2）质点在1.5s是作加速运动还是作减速运动；（3）第1s末到第3s末时间内的位移和路程。解：（1）263dxttdtv，66datdtv将3ts代入上两式分别得19msv，212ams（2）将1.5ts代入,av表达式分别得21263632.25663ttttmsatmsva与v反向，质点作减速运动。（3）位移mxxx21331由2630ttv得：01t，st22，即2ts时质点瞬时静止，其后反向运动。故路程mxxxxx63212311-3一质点在Oxy平面内运动，运动方程为2xt，2192SIyt（式中x，y以m计，t以s计）。求：（1）求质点的轨道方程；（2）求t时刻质点的位置矢量，速度矢量；（3）什么时刻质点的位置矢量与其速度矢量恰好垂直？（4）什么时刻质点离原点最近？求这一距离。解：（1）由2219,2tytx消去t得轨道方程为219221922xxy(0)x（2）22192txtytttrijij而2xdxdtv4ydytdtv故24xytijijvvv（3）rv时则0rv即22219240xyxyxyxytttijijvvvv224119242180tttt得舍去ststt3,3,0321（4）22222219)2(ttyxr取极小值，由0dtdr018282tt得,01t,32stst33（舍去）但1220tdrdt，3220tdrdt，且36.08rm故3ts时质点离原点距离最近，其距离为6.08m。1-4一质点具有恒定加速度64SIaij。0t时，质点速度为零，位置矢量010ri。求：（1）质点在任意时刻的速度和位置矢量；（2）质点的轨迹方程。解：由题意知：224,6smasmayx（1）xxdadtvxxdadtv006xtxxdadtdtvv6xtv而xdxdtv6xdxdttdtvxttdtdx10062310tx2310tx同理4yydadtv4yddtv004ytyddtvv即4ytv而ydydtv4ydydttdtvyttdtdy00422ty由此可得64xyttijijvvv221032xyttrijij（2）轨道方程由222,310tytx消t得yx2310即32200yx1-5消防水枪喷出的水的流量是1min280lq。水的流速126msv。若水枪竖直向上喷射，水流上升的高度是多少？在任一瞬间空中有多少升水？解：竖直上抛的最大高度2033.82Hmgv水上升到最大高度的时间，由0ygtvv（令0yv，yv为上升到最高点的速度）得0262.610tsgv则水在空中运动5.2s又因为1167.460280min280slsllq在时间小于s2.5喷向空中水ttqQ67.4（升）在时间大于s2.5喷向空中水224.3Qqt（升）1-6一升降机以加速度222.1sm上升，当上升速度为144.2sm时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面相距m74.2。计算：（1）螺帽从天花板落到底面所需的时间；（2）螺帽相对升降机外固定柱子下降的距离。解：以地面为参照系，坐标原点选在升降机以速度1.44.2sm上升时刻机外固定柱上对应升降机地板所在处，向上为正。（1）螺帽在0t时，从myy74.20处以初速为102.44msv作上抛运动。其运动方程为210012yytgtv地板在0t时，以初速102.44msv，从原点作加速上抛运动，其方程为22012ytatv螺帽落地时21yy220001122ytgttatvv2220212121tgagtaty0222.740.7051.229.8ytsag（2）螺帽下降的距离22010112.440.719.80.710.7222yytgtmv1-7如图所示，有人在离水面高h处通过滑轮用绳子拉船靠岸。设人用匀速0v收绳子拉船，求当船与滑轮的水平距离为x时，船的速度和加速度的大小。解：设绳长为s，由图可知题1-7图222xhs22hsx122222122dxdsshsdtdtsdsdtshv人以匀速0v收绳拉船0dsdtv222200hxhxxxvvvv的方向沿x轴负方向船的加速度10220202222dssdddasshdtdtdtshshdtvvvv32202022122dsdssshsdtdtshvv22222220000323222222222shshshshshshvvv2203hxva的方向沿x轴负方向1-8如图所示，一人站在山坡上，山坡与水平面成角。他扔出一个初速为0v的小石子，0v与水平面成角（向上）。（1）如空气阻力不计，试证小石子落在斜坡上距离为s处：题1-8图2022sincoscossgv（2）由此证明，对于给定的0v与值，s在24时有最大值：20max21sincossgv解：以斜面方向为x轴，垂直于斜面为y轴，扔出点为原点建立Oxy坐标系。（1）0000cossinxyvvvv20201212xxyyxtgtytgtvvcossinggggyx小石子落地时0y201sincos02tgtv落地时间02sincostgv小石子落在斜坡上的距离202220022222002222202202201cossin22sincos4sinsincos2cos2cossincos2sinsincoscos2sincoscossinsincos2sincoscos2sinsxtgatgggggggggvvvvvvvv2coscosg（2）对于给定的0v和值2022022022sincoscossinsincossin2sincossgggvvv由上式可知，小石子落在斜坡上距离s最大值的条件是12sin2224故20max21sincossgv1-9一个人扔石头的最大出手速度为125msv，他能击中一个与他的手水平距离为50lm，高h为13m处的一个目标吗？在这个距离上他能击中的目标的最大高度是多少？解：以出手点为原点，建立Oxy坐标，设出手速度0v与x轴夹角为，忽略空气阻力有201sin2ytgtv0cosxtv消去t，得石头运动轨道方程2220tan2cosgxyxv代入