高等数学 期末卷

-1-一。偏导数的几何应用1、[07]曲线cos:sinxatyatzct在点,0,0a的切线方程为0xayzac.2.[07]（化工类做）在曲面22122zxy上求出切平面，使所得的切平面与平面42210xyz平行。解：曲面的法向量4,,1nxy应与平面平面42210xyz的法向量平行，从而有411,1,4222xyyx，由于切点在曲面上221121122z因此切平面为1421210,2102xyzxyz3.[2006]已知直线34:273xyzL和平面:4223xyz则（B）A、L在内B、L与平行，但L不在内C、L与垂直D、L不与垂直，L不与平行4.[2006]曲面23zzexy在点1,2,0处的法线方程是12420xyz5.[2006]（化工类做）已知直线1210:320xyLxz和2112:123xyzL，证明：12//LL，并求由12,LL所确定的平面方程。证明：直线1L上任取两点0,1,2,1,1,1，则11,2,3S是1L的方向向量；2L的一个方向向量为21,2,3S，因为12//SS，所以12//LL设12,LL所确定的平面方程为0AxByCzD，它经过点1,1,2和点0,1,2,1,1,1，所以-2-2022000ABCDADBCDBDABCDC所求方程为210xy二。多元函数221.201042,116,18.zxygradz+9点的梯度44222.2010(,)21,1,1,1.fxyxyxxyy的极值点是2010:(,)0,0,(0,0)(0,0),0,0.fxyxyffxy3.证明在点处连续与存在但在处不可微0002200:1lim0(0,0),(,)0,0(,0)(0,0)2(0,0)lim(0,0)0,(0,0)(0,0).(0,0)(0,0)3lim(,)0,0.xyxyxxyxyxyxyffxyxyfxfffxffffxfyxyfxy解因为所以在点处连续.=0,同理所以与存在因为不存在,所以在处不可微2010,cos,sin,uxyxryruuxyryx4.设函数有连续偏导数,试用极坐标与直角坐标的转化公式将变换为,下的表达式.22cos,sin,arctan,sincoscos,sin,,.yxryrrxyxrrxyxryruuuxyyx解:由得到从而于是5.[2009]000099391limlim639xxyyxyxyxyxyxy-3-6.[2009]2332222222200110,1xxyyxyxyududxdydxxyxyxy在点处7.[2009]设22,yzfxx，其中函数f具有二阶连续偏导数，求2zxy。解：2223212222122222232,222422zyfyxzyyyyyyffffffxyxxxxxx8.[2009]求函数22,fxyxy在圆域224xy的最大值和最小值。解：方法一：当224xy时，找驻点20,20xfxfy，得唯一驻点0,0当224xy时，是条件极值，考虑函数2222,,4Fxyxyxy，解方程组2222022040xyFxFyFxy可得02,20xxyy所求最大值为4，最小值为4。方法二：设22,axby，则,fxyab且4,0,0abab，这变成一个简单的线性规划问题。最大值为4，最小值为4。方法三：圆域224xy可写成2cos01,022sinxrryr2,4cos2fxyr最大值为4，最小值为4。9.[2009]（化工类做）求由方程组222222320zxyxyz所确定的yx及zx的导数dydx及dzdx。-4-:,6,6213xdyxzxdzxdxyzydxz解每个方程两边同时对求导得到10.[2009]（化工类做）求二元函数22zxxyy在点1,1处沿方向2,1l的方向导数及梯度，并指出z在该点沿哪个方向减少得最快？沿哪个方向值不变？1,11,13:coscos,3,35zzzgradzxyl解1,11,13,33,31,11,1,.zgradzgradz函数在该点沿-方向减少最快,沿与方向垂直的方向或函数值不变11、[2008]函数,fxy在点,xy处可微是它在该点偏导数zx与zy连续的必要条件（填必要、充分或充要），又是它在该点有方向导数的充分条件（填必要、充分或充要）12、[2008]设,,,zfxxyfuv有连续偏导数，则dz122fyfdxxfdy13、[2008]（化工类做，即不学级数一章的同学做）给定曲面,0,,,xaybFabczczc为常数，其中,Fuv有连续偏导数，证明曲面的切平面通过一个定点证：令,,,xaybGxyzFzczc，则1211,xyGFGFzczc222zaxbyGFFzczc从而曲面在点,,xyz处的切平面为122220XxYyaxbyFFFFZzzczczczc，其中,,XYZ为动点。显然,,,,XYZabc时成立，故切平面均过,,abc。证毕14、[2008]（化工类做，即不学级数一章的同学做）设l是曲线22260xyzxyz在点1,2,1处的切向量，求函数,,fxyzxyyzzx在该点沿l的方向导数-5-解：方程组22260xyzxyz两端对x求导，得222010xyyzzyz把1,2,1代入得12010yzyz，解得01yz，于是在点1,2,1处的切向量为1,,1,0,1tyz，单位切向量为11,0,22t所求方向导数为1,2,11111,0,,,,0,1,2,102222xyzfffft15、[2008]设zexyz，求22zx解：两边取微分，得zedzxydzxzdyyzdx,zzxzdyyzdxyzdxxzdyedzxydzxzdyyzdxdzexyxyzxy从而zzxxzx，222211zzxzxzzxzzzxxxxxxxzxxz22222322332222211221111zzzzxzzxzzzzxzzzzzxxxzxzxzxz16、[2008]设3322,339,0fxyxyxyxx，则它有极小值1,05f17、[2008]设长方形的长x、宽y、高z满足1111xyz，求体积最小的长方体。解：令1111Lxyzxyz则2221110,0,0xyzLyzLxzLxyxyz，从而xyz再由0L即约束条件，可得11113xyz，从而3xyz-6-由问题的实际意义可知，当体积最小长方体的长、宽、高均为3。18、[2007]设432zxyx，则1,2dz3412dxdy19、[2007]已知2222,,0,0(,)0,,0,0xyxyxyfxyxyxy，则0,xfy020、[2007]函数22zxy在点01,2P处沿从点01,2P到点12,23P方向的方向导数是12321、[2007]设,xzfxy，其中f具有二阶连续偏导数，求2,zzxxy.解：21212122222231111,zzxxfffffffxyxyyyyyy22、[2007]（化工类做）证明函数222222221sin,0,0,0xyxyxyfxyxy在原点0,0处可微，但,xfxy在点0,0处不连续解：由定义22220010sin0,00,000,0limlim000xxxxfxfxfxx同理0,00yf由于222222222222000011sin0,00,0sinlimlim0xyxxyyxyfxfyxyxyxyxyxy从而函数,fxy在原点0,0处可微。当220xy3222222222111,2sincos22xfxyxxyxyxxyxy-7-22222211,2sincosxxfxyxxyxyxy由于222011,02sincos,lim,0xxxxfxxfxxxx不存在，因此,xfxy在点0,0处由于00lim,xxyfxy不存在而不连续。23、[2007]（化工类做）设,zzxy是由方程22xyzxyz所确定的函数，其中x可导，求dz解：对方程两边取微分得22xdxydydzdxdydz即12222dzdzdzxdxydydxdyxdxydy221xdxydydz24、[2007]求22uxyz在约束条件2221xyz下的最大值和最小值解：令222221Lxyzxyz则2221111202332201322,,,233220122133xyzxxxLxLyyyoryLzxyzzzz122144122144,,3,,,3333333333333uu由于最值一定存在，所以最大值为3，最小值为325.[2006]若,zfxy在点00,xy处可微，则下列结论错误的是（B）A、,fxy在点00,xy处连续B、,,,xyfxyfxy在点00,xy处连续C、,,,xyfxyfxy在点00,xy处存在-8-D、曲面,zfxy在点0000,,,xyfxy处有切平面26.[2006]二重极限22400limxyxyxy值为（D）A、0B、1C、12D、不存在27.[2006]arctanxzy，则dz2222yxdxdyxyxy