19届全国1卷普通高考理科数学试题

2019年全国1卷普通高考理科数学⋆本卷使用科技排版系统LATEX排版⋆学校：班级：姓名：时量：120分钟总分：150分排版：胡八一一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M=fxj4x2g;N={xjx2x60}，则M\N（）A.fxj4x3gB.fxj4x2gC.fxj2x2gD.fxj2x3g2.设复数z满足jzij=1;z在复平面内对应的点为¹x;yº，则（）A.¹x+1º2+y2=1B.¹x1º2+y2=1C.x2+¹y1º2=1D.x2+¹y+1º2=13.已知a=log20:2;b=20:2;c=0:20:3（）A.abcB.acbC.cabD.bca4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是p512(p5120:618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是p512.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm5.函数f¹xº=sinx+xcosx+x2在»;¼的图像大致为（）A.6B.4C.3D.26.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“--”，右图就是一重卦。在所有重卦中随机取一重卦，则该重封恰有3个阳爻的概率是（）A.516B.112C.2132D.11167.已知非零向量a;b满足jaj=2jbj，且¹abº?b，则a与b的夹角为（）A.6B.3C.23D.668.右图是求12+12+12的程序框图，图中空白框中应填入（）A.A=12+AB.A=2+1AC.A=11+2AD.A=1+12A9.记Sn为等差数列fang的前n项和.已知S4=0;a5=5则（）A.an=2n5B.an=3n10C.Sn=2n28nD.Sn=12n22n10.已知椭圆C的焦点为F1¹1;0º;F2¹1;0º，过F2的直线与C交于A;B两点.若jAF2j=2jF2Bj;jABj=jBF1j，则C的方程为（）A.x22+y2=1B.x23+y22=1C.x24+y23=1D.x25+y24=111.关于函数有下述四个结论：1if¹xº为偶函数2if¹xº在区间(2;)单调递增3if¹xº在区间»;¼有4个零点4if¹xº的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A.1i2i4iB.2i4iC.1i4iD.1i3i12.已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为的正三角形，E;F分别是PA;AB的中点，\CEF=90◦，则球O的体积为（）A.8p6B.4p6C.2p6D.8p6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.曲线y=3(x2+x)ex在点¹0;0º处的切线方程为.14.记Sn为等比数列fang的前n项和.若a1=13;a24=a6，则S5=.15.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”。设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是.16.已知双曲线C:x2a2y2b2=1¹a0;b0º的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A;B两点，若!F1A=!AB;!F1B
!F2B=0，则C的离心率为.数学试卷第1页（共4页）数学试卷第2页（共4页）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。17.(12分)△ABC的内角A;B;C的对边分别为a;b;c.设¹sinBsinCº2=sin2AsinBsinC(1)求A;(2)若p2a+b=2c，求sinC.18.(12分)如图，直四棱柱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4;AB=2;\BAD=60◦;E;M;N分别是BC;BB1;A1D的中点.(1)证明：MN平面C1DE;(2)求二面角AMA1N的正弦值.19.(本小题满分12分)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A;B，与x轴的交点为P.(1)若jAFj+jBFj=4，求l的方程;(2)若!AP=3!PB，求jABj.20.(本小题满分12分)已知函数f¹xº=sinxln¹1+xº;，f′¹xº为f¹xº的导数，证明：(1)f′¹xº在区间¹1;2º存在唯一极大值点；(2)f¹xº有且仅有2个零点.数学试卷第3页（共4页）数学试卷第4页（共4页）21.(12分)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验。试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效。为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分：若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分：若都治愈或都未治愈则两种药均得0分。甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列;(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi¹i=0;1;


;8º表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0=0;ps=1;pi=api1+bpi+cpi+1¹i=1;2;


;7º，其中a=P¹X=1º;b=P¹X=0º;c=P¹X=1º.假设=0:5;=0:8.(i)证明：fpi+1pig¹i=0;1;2;


;7º为等比数列;(ii)求P4，并根据P4的值解释这种试验方案的合理性.(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为8:x=1t21+t2y=4t1+t2(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos+p3sin+11=0.(1)求C和l的直角坐标方程;(2)求C上的点到l距离的最小值.23.【选修4-5：不等式选】（10分）已知a;b;c为正数，且满足abc=1.证明：(1)1a+1b+1c⩽a2+b2+c2;(2)¹a+bº3+¹b+cº3+¹c+aº3⩾24.数学试卷第5页（共4页）数学试卷第6页（共4页）