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2019年北京市人大附中高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知U＝R，函数y＝ln（1﹣x）的定义域为M，集合N＝{x|x2﹣x＜0}．则下列结论正确的是（ ）A．M∩N＝NB．M∩（∁UN）＝∅C．M∪N＝UD．M⊆（∁UN）2．（5分）已知复数z满足z（1﹣i）2＝1+i（i为虚数单位），则＝（ ）A．﹣+iB．﹣﹣iC．+iD．﹣i3．（5分）某种最新智能手机市场价为每台6000元，若一次采购数量x达到某数值，还可享受折扣．如图为某位采购商根据折扣情况设计的算法的程序框图，若输出的y＝513000元，则该采购商一次采购该智能手机的台数为（ ）A．80B．85C．90D．1004．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的x的值为（ ）A．7B．6C．5D．45．（5分）已知某多面体的三视图如图所示，则在该多面体的距离最大的两个面中，两个顶点距离的最大值为（ ）A．2B．C．D．6．（5分）已知a＞0且a≠1，函数在[﹣2，2]上的最大值为3，则实数a的取值范围是（ ）A．B．C．D．7．（5分）函数图象向右平移个单位长度，所得图象关于原点对称，则f（x）在上的单调递增区间为（ ）A．B．C．D．8．（5分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，四边形ABCD为矩形，AB＝2，AD＝2，∠ASB＝120°，SA⊥AD，则四棱锥外接球的表面积为（ ）A．16πB．20πC．80πD．100π二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝的取值范围为 10．（5分）设等差数列（an）的前N项和为Sn，若a1+a3+a5＝15，S4＝16，则a4＝ 11．（5分）若角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝3x上，则＝ 12．（5分）已知点P在直线x+2y﹣l＝0上，点Q在直线x+2y+3＝0，PQ的中点为M（x0，y0），且﹣1≤y0﹣x0≤7，则的取值范围是 ．13．（5分）椭圆C：+＝1的右焦点为F（1，0），左顶点为A，线段AF的中点为B，圆F过点B，且与C交于D，E，△BDE是等腰直角三角形，则圆F的标准方程是 ．14．（5分）已知函数f（x）的导函数为f'（x），且对任意的实数x都有f'（x）＝e﹣x（2x+3）﹣f（x）（e是自然对数的底数），且f（0）＝1，若关于x的不等式f（x）﹣m＜0的解集中恰有两个整数，则实数m的取值范围是 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知等差数列{an}的公差d≠0，它的前n项和为Sn，若S5＝70，且a2，a7，a22成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为Tn，求证：≤Tn＜．16．（13分）△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足＝0．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）若△ABC外接圆半径为3，b+c＝2，求△ABC的面积．17．（13分）已知如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，，点E，F，M分别为C1D1，A1D1，B1C1的中点，过点M的平面α与平面DEF平行，且与长方体的面相交，交线围成一个几何图形．（1）在图中画出这个几何图形，并求这个几何图形的面积（画图说出作法，不用说明理由）；（2）求证：D1B⊥平面DEF．18．（13分）某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过1kg的包裹，除收费10元之外，超过1kg的部分，每超出1kg（不足1kg，按1kg计算）需要再收费5元．该公司近60天每天揽件数量的频率分布直方图如下图所示（同一组数据用该区间的中点值作代表）．（1）求这60天每天包裹数量的平均值和中位数；（2）该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用．已知公司前台有工作人员3人，每人每天工资100元，以样本估计总体，试估计该公司每天的利润有多少元？（3）小明打算将A（0.9kg），B（1.3kg），C（1.8kg），D（2.5kg）四件礼物随机分成两个包裹寄出，且每个包裹重量都不超过5kg，求他支付的快递费为45元的概率．19．（14分）已知函数f（x）＝alnx﹣ex﹣1+1，其中a∈R．（1）若x＝1是函数f（x）的导函数的零点，求f（x）的单调区间；（2）若不等式f（x）≤0对∀x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．20．（14分）从抛物线y2＝36x上任意一点P向x轴作垂线段，垂足为Q，点M是线段PQ上的一点，且满足．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）设直线x＝my+1（m∈R）与轨迹c交于A，B两点，T为C上异于A，B的任意一点，直线AT，BT分别与直线x＝﹣1交于D，E两点，以DE为直径的圆是否过x轴上的定点？若过定点，求出符合条件的定点坐标；若不过定点，请说明理由．2019年北京市人大附中高考数学模拟试卷（文科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知U＝R，函数y＝ln（1﹣x）的定义域为M，集合N＝{x|x2﹣x＜0}．则下列结论正确的是（ ）A．M∩N＝NB．M∩（∁UN）＝∅C．M∪N＝UD．M⊆（∁UN）【分析】分别解出关于M，N的范围，然后判断即可．【解答】解：由1﹣x＞0，解得：x＜1，故函数y＝ln（1﹣x）的定义域为M＝（﹣∞，1），由x2﹣x＜0，解得：0＜x＜1，故集合N＝{x|x2﹣x＜0}＝（0，1），∴M∩N＝N，故选：A．【点评】本题考察了集合的包含关系，考察不等式问题，是一道基础题．2．（5分）已知复数z满足z（1﹣i）2＝1+i（i为虚数单位），则＝（ ）A．﹣+iB．﹣﹣iC．+iD．﹣i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z（1﹣i）2＝1+i，得z＝，∴．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（5分）某种最新智能手机市场价为每台6000元，若一次采购数量x达到某数值，还可享受折扣．如图为某位采购商根据折扣情况设计的算法的程序框图，若输出的y＝513000元，则该采购商一次采购该智能手机的台数为（ ）A．80B．85C．90D．100【分析】根据程序框图得出y关于x的函数解析式，再分情况解方程得出x的值即可．【解答】解：由程序框图可知：y＝，（1）若x≤80，令6000x＝513000，解得x＝85.5，舍去；（2）若80＜x≤120，令6000×0.95x＝513000，解得x＝90，（3）若x＞120，令6000×0.85x＝513000，解得x≈100.6，舍去．综上，x＝90．故选：C．【点评】解决程序框图题应注意三个方面，一是搞清判断框内的条件是计数变量还是累计变量表示；二是注意判断框的条件是否含等号；三是准确利用赋值语句与变量间的关系把握程序框图的整体功能．4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的x的值为（ ）A．7B．6C．5D．4【分析】根据程序框图进行模拟运算即可．【解答】解：若输入x＝1，则S＝0，k＝1，k＝k+1＝2，S＝＝，x＝1+1＝2，S≥不成立，k＝3，S＝+＝+＝，x＝3，S≥不成立，k＝4，S＝+＝，x＝4，S≥不成立，k＝5，S＝+＝，x＝5，S≥成立，输出x＝5，故选：C．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用程序框图进行模拟运算是解决本题的关键．5．（5分）已知某多面体的三视图如图所示，则在该多面体的距离最大的两个面中，两个顶点距离的最大值为（ ）A．2B．C．D．【分析】根据三视图知该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，结合图形得出该多面体的距离最大的两个面为截面三角形，求出这两个平面三角形对应顶点距离的最大值是面对角线的长．【解答】解：根据几何体的三视图知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图所示；则该多面体的距离最大的两个面为截面三角形，所以这两个平面三角形对应顶点距离的最大值是面对角线的长，为2．故选：D．【点评】本题考查了利用三视图求几何体结构特征的应用问题，是基础题．6．（5分）已知a＞0且a≠1，函数在[﹣2，2]上的最大值为3，则实数a的取值范围是（ ）A．B．C．D．【分析】根据分段函数的表达式，分别求出函数递增[﹣2，0]和（0，2]上的最大值，建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：当x≤0时，f（x）＝2x3+3x2+2，f′（x）＝6x2+6x＝6x（x+1），由f′（x）＞0得x＞0（舍）或﹣2≤x＜﹣1，此时f（x）为增函数，由f′（x）＜0得﹣1＜x≤0，此时f（x）为减函数，则当x＝﹣1时，f（x）取得极大值，极大值为f（﹣1）＝3，当x＝﹣2时，f（x）取得最小值，最小值我f（﹣2）＝﹣2，∵f（x）在[﹣2，2]上的最大值为3，∴当0＜x≤2时，函数f（x）＝ax+1的最大值不能超过3即可，当a＞1时，f（x）为增函数，则当0＜x≤2时，函数f（x）＝ax+1的最大值为f（2）＝a2+1≤3，即a2≤2，得1＜a≤，当0＜a＜1时，f（x）为减函数，则f（x）＜a0+1＝1+1＝2，此时满足条件．综上实数a的取值范围是0＜a＜1或1＜a≤，故选：A．【点评】本题主要考查函数最值的求解，结合分段函数的表达式，利用函数的导数，以及指数函数的单调性分别求出对应函数的最值是解决本题的关键．7．（5分）函数图象向右平移个单位长度，所得图象关于原点对称，则f（x）在上的单调递增区间为（ ）A．B．C．D．【分析】根据三角函数的图象平移关系结合函数关于原点对称的性质求出φ的值，结合函数的单调性进行求解即可．【解答】解：函数图象向右平移个单位长度，得到y＝cos[2（x﹣）+φ]＝cos（2x+φ﹣），所得图象关于原点对称，则φ﹣＝kπ+，得φ＝kπ+，k∈Z，∵|φ|＜，∴当k＝﹣1时，φ＝﹣，则f（x）＝cos（2x﹣），由2kπ﹣π≤2x﹣≤2kπ，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，∵x∈，∴当k＝0时，﹣≤x≤，即﹣≤x≤，即f（x）在上的单调递增区间为，故选：A．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，求出函数的解析式结合三角函数的单调性是解决本题的关键．8．（5分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，四边形ABCD为矩形，AB＝2，AD＝2，∠ASB＝120°，SA⊥AD，则四棱锥外接球的表面积为（ ）A．16πB．20πC．80πD．100π【分析】由已知证明平面SAB⊥平面ABCD，由正弦定理求出三角形SAB外接球的半径，设出四棱锥外接球的球心，由勾股定理求得四棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．【解答】解：由四边形ABCD为矩形，得AB⊥AD，又SA⊥AD，且SA∩AB＝A，∴AD⊥平面SAB，则平面SAB⊥平面ABCD，设三角形SAB的外心为G，则GA＝．过G作GO⊥底面SAB，且SO＝1，则OS＝．即四棱锥外接球的半径为．∴四棱锥外接球的表面积为S＝．故选：B．【点评】本题考查多面体外接球的表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝的取值范围为 （﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，判断求解即可．【解答】解：变量x，y满足约束条件的可行域如图：目标函数z＝的几何意义的可行域内的点与D（4，﹣4）点连线的斜率，可得z＝≥kDA＝＝1，z＝≤kDO＝＝﹣1．则目标函数z＝的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．【点评】