新课标版数学（理）高三总复习之4-3三角函数

高考调研第1页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习第四章三角函数高考调研第2页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习第3课时两角和与差的三角函数高考调研第3页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦．高考调研第4页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习请注意本课主要题型有：①三角函数式的化简与求值；②三角函数式的简单证明．这部分知识难度已较以前有所降低，应适当控制其难度．高考调研第5页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习课前自助餐授人以渔自助餐题组层级快练高考调研第6页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习课前自助餐高考调研第7页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习1．两角和的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α＋β)＝.(2)cos(α＋β)＝.(3)tan(α＋β)＝.sinαcosβ＋cosαsinβcosαcosβ－sinαsinβtanα＋tanβ1－tanαtanβ高考调研第8页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习(3)tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝．2．两角差的正弦、余弦、正切公式(1)sinαcosβ－cosαsinβ＝．(2)cosαcosβ＋sinαsinβ＝．sin(α－β)cos(α－β)tan(α－β)高考调研第9页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习3．常用公式的变化形式(1)asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)，其中cosφ＝aa2＋b2，sinφ＝ba2＋b2或asinx＋bcosx＝a2＋b2cos(x－θ)，其中cosθ＝ba2＋b2，sinθ＝aa2＋b2.(2)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)．高考调研第10页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习(3)1－tanα1＋tanα＝tan(π4－α)．(4)1＋tanα1－tanα＝tan(π4＋α)．高考调研第11页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习1．计算sin43°cos13°＋sin47°cos103°的结果等于()A.12B.33C.22D.32答案A解析原式＝sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝12.高考调研第12页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习2．化简cos(α－β)cosβ－sin(α－β)sinβ的结果为()A．sin(2α＋β)B．cos(α－2β)C．cosαD．cosβ答案C解析等式即cos(α－β＋β)＝cosα.高考调研第13页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习3．已知α∈(－π2，0)，sinα＝－45，则tan(α＋π4)等于()A．－7B．－17C.17D．7答案B高考调研第14页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习解析∵α∈(－π2，0)，sinα＝－45，∴cosα＝35，∴tanα＝－43.∴tan(α＋π4)＝1＋tanα1－tanα＝1－431＋43＝－17.高考调研第15页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习4．设A，B是△ABC的内角，且cosA＝35，sinB＝513，则sin(A＋B)的值为()A.6365或－1665B.1665C.1665或－6365D.6365答案D高考调研第16页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习解析求sin(A＋B)需要用到sinA，cosB，求出代入．由A，B为△ABC的内角，得sinA＝45.由sinB＝51312，cosA＝3532，∴A30°，B30°(否则B150°，A＋B180°)，故cosB＝1213.可得sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝6365.高考调研第17页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习误区警示：本题极易求得两解，问题出在∠B上，因为由sinB＝513，可得两个B值，考虑A的因素，只有一个适合，因此sinC只有一个结果．总结评述：利用三角函数解决三角形问题要注意一些隐含条件，再根据所给的三角函数值首先确定角的范围，然后再进行求值．本题其实应用三角形中大角对大边，也可知AB⇔ab⇔sinAsinB，知B为锐角．高考调研第18页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习5．函数y＝3sinx＋3cosx，x∈[－π2，π2]的值域为________________________________________________________________________．答案[－3,23]高考调研第19页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习授人以渔高考调研第20页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习题型一知角求值例1(1)化简sin15°cos9°－cos66°sin15°sin9°＋sin66°的结果是()A．tan9°B．－tan9°C．tan15°D．－tan15°高考调研第21页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】sin15°cos9°－cos66°sin15°sin9°＋sin66°＝sin15°·cos9°－sin24°sin15°·sin9°＋cos24°＝sin15°·cos9°－sin15°·cos9°－cos15°·sin9°sin15°·sin9°＋cos15°·cos9°－sin15°·sin9°＝－cos15°·sin9°cos15°·cos9°＝－tan9°.【答案】B高考调研第22页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习(2)(2013·重庆理)4cos50°－tan40°＝________.【解析】4cos50°－tan40°＝4sin40°cos40°－sin40°cos40°＝2sin80°－sin40°cos40°＝2sin100°－sin40°cos40°＝2sin60°＋40°－sin40°cos40°＝2×32cos40°＋2×12sin40°－sin40°cos40°＝3.【答案】3高考调研第23页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习(3)tan70°cos10°(3tan20°－1)．【解析】原式＝tan70°cos10°3sin20°－cos20°cos20°＝sin70°cos70°cos10°－2sin10°cos20°＝－sin20°cos70°＝－1.【答案】－1高考调研第24页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习探究1对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路：(1)化为特殊角的三角函数值；(2)化为正、负相消的项，消去求值；(3)化分子、分母出现公约数进行约分求值．高考调研第25页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习思考题1(1)(tan10°－3)sin40°的值为()A．－1B．0C．1D．2【解析】(tan10°－3)·sin40°＝(sin10°cos10°－sin60°cos60°)·sin40°＝－sin50°cos10°·cos60°·sin40°＝－2sin40°·cos40°cos10°＝－sin80°cos10°＝－1.【答案】A高考调研第26页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习(2)sin50°1＋3tan10°－cos20°cos80°·1－cos20°＝________.【答案】2高考调研第27页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习题型二知值求值例2(1)若tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，则tan(α＋π4)等于()A.1328B.1322C.322D.16高考调研第28页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】tan(α＋π4)＝tan[(α＋β)－(β－π4)]＝tanα＋β－tanβ－π41＋tanα＋β·tanβ－π4＝25－141＋25×14＝322.【答案】C高考调研第29页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习(2)已知－π2β0απ2，cos(α－β)＝35，sinβ＝－513，求sinα的值．高考调研第30页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】∵－π2β0απ2，∴0α－βπ.∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.又∵sinβ＝－513，－π2β0，∴cosβ＝1213.故sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)·sinβ＝45×1213＋35×(－513)＝3365.【答案】3365高考调研第31页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习(3)若cosα＋cosβ＝12，sinα＋sinβ＝13，求cos(α－β)的值．【思路】本题主要考查两角和与差的正、余弦公式的熟练运用．因为cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，所以将已知两式平方后相加可得．高考调研第32页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】∵cosα＋cosβ＝12，①sinα＋sinβ＝13，②①2＋②2，得2＋2(cosα·cosβ＋sinα·sinβ)＝14＋19.即2＋2cos(α－β)＝1336.∴cos(α－β)＝－5972.【答案】－5972高考调研第33页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习探究2(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(3)常见的配角技巧：α＝2·α2；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；β＝12[(α＋β)－(α－β)]；π4＋α＝π2－(π4－α)．高考调研第34页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习思考题2(1)已知tan(α＋β)＝－1，tan(α－β)＝12，则sin2αsin2β的值为()A.13B．－13C．3D．－3高考调研第35页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】sin2αsin2β＝sin[α＋β＋α－β]sin[α＋β－α－β]＝sinα＋βcosα－β＋cosα＋βsinα－βsinα＋βcosα－β－cosα＋βsinα－β＝tanα＋β＋tanα－βtanα＋β－tanα－β＝13.【答案】A高考调研第36页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习(2)已知0＜β＜π4＜α＜34π，cos(π4－α)＝35，sin(3π4＋β)＝513，求sin(α＋β)的值．【思路】比较给出的角与待求式中的角的关系，不难发现(3π4＋β)－(π4－α)＝π2＋(α＋β)，或者是先将cos(π4－α)变化为sin(π4＋α)，再考虑(π4＋α)＋(34π＋β)＝π＋(α＋β)，再利用诱导公式即可出现α＋β，故只需求出相应角的正、余弦值，利用两角和与差的三角公式即可．高考调研第37页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】cos(π4－α)＝sin(α＋π4)＝35，∵π2＜α＋π4＜π，∴cos(α＋π4)＝－45.∵sin(3π4＋β)＝513，3π4＜β＋3π4＜π，∴cos(3π4＋β)＝－1213.∴sin(α＋β)＝－sin(α＋π4＋β＋3π4)＝－[sin(α＋π4)cos(β＋3π4)＋sin(β＋3π4)cos(α＋π4)]＝5665.【答案】5665高考调研第38页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习题型三知值求角例3(1)已知α，β均为锐角，sinα＝55，cosβ＝1010，求α－β的值．【