技能高考数学专题：典例精讲精练

8.4.1圆的方程【知识精讲】1．圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹．2．一个圆以C(a，b)为圆心，r为半径，点P(x，y)在圆上，则根据两点间距离公式得出圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.3．圆的一般方程：将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0①用配方法化为(1)当D2＋E2－4F0时，方程①表示圆心为半径为r＝的圆；(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程①表示一个点22224.224DEDEFxy,,22DE22142DEF,;22DE【知识精讲】(3)当D2＋E2－4F0时，方程①不表示任何图形．4．一般形式的二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件如下．(1)B＝0；(2)A＝C≠0；(3)D2＋E2－4F0.【典例剖析】【例1】求圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的圆心坐标和半径．【分析】已知圆的一般方程，求圆心坐标和半径，一般通过配方将方程化为标准方程的方法，也可利用圆的一般方程的结论．【答案】解法一：将方程左边配方，整理得(x－1)2＋(y＋3)2＝2，∴圆心坐标为(1，－3)，半径为2.解法二：∵26=1,=3,2222DE222211426482,22DEF∴圆心坐标为(1，－3)，半径r＝2.【典例剖析】【变式训练1】过点P(12，0)且与y轴切于原点的圆的方程为________________．【提示】圆心坐标为(6，0)．(x－6)2＋y2＝36【典例剖析】【例2】若方程x2＋y2＋(m－1)x＋2my＋m＝0表示的图形是圆，求实数m的取值范围．【分析】满足圆的充要条件即可求得．【答案】由题意得D＝m－1，E＝2m，F＝m.若方程表示圆，则D2＋E2－4F0，即(m－1)2＋(2m)2－4m0，即5m2－6m＋10，∴(5m－1)(m－1)0，解得m或m1，15故实数m的取值范围是∪(1，＋∞)．1,5【典例剖析】【变式训练2】求过点A(2，－3)，B(－2，－5)，且圆心在直线x－y－1＝0上的圆的方程．解：由已知设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，将已知条件代入可解得a＝－1，b＝－2，r2＝10.∴圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.【回顾反思】1．确定圆的方程需要三个条件同时满足．2．一般只有已知圆上三点时设圆的一般方程，而其他题设条件一般可求出圆心和半径，从而得到标准方程．【同步训练】一、选择题1．以点C(－2，4)为圆心，且圆的一条直径的两个端点分别在x轴与y轴上的圆的标准方程是()A．(x＋2)2＋(y－4)2＝10B．(x＋2)2＋(y－4)2＝20C．(x－2)2＋(y＋4)2＝10D．(x－2)2＋(y＋4)2＝20【提示】原点在圆上．B【同步训练】2．过点A(－1，1)，B(0，－2)，且圆心在x轴上的圆的标准方程是()A．(x－1)2＋y2＝5B．(x＋1)2＋y2＝5C．x2＋(y－1)2＝5D．x2＋(y＋1)2＝53．已知圆x2＋y2＋ax＋by－4＝0的圆心坐标是(2，－1)，则该圆的半径为()A．9B．3C．5D.AB5【提示】设圆心坐标为(a，0)，由两点之间距离公式得a＝1，r＝5.【提示】由－＝2，－＝－1，得a＝－4，b＝2，r＝3.2a2b【同步训练】4．若方程x2＋y2－2x＋y＋k＝0表示的图形是一个圆，则实数k的取值范围是()A.B.C.D.5．点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是()A．－1a1B．0a1C．a－1或a1D．a＝1或a＝－1AA【提示】由D2＋E2－4F＝4＋1－4k0可得．5,45,43,23,2【提示】由两点间距离公式d＝2可得．2211aa【同步训练】6．过点A(1，2)，且与两坐标轴同时相切的圆的方程为()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1或(x－5)2＋(y－5)2＝25B．(x－1)2＋(y－3)2＝2C．(x－5)2＋(y－5)2＝25D．(x－1)2＋(y－1)2＝1A【提示】设圆心为(a，a)，则半径r＝a，圆的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2，将点(1，2)代入得a＝1或a＝5.【同步训练】二、填空题7．两直线y＝x＋2a和y＝2x＋a＋1的交点在圆x2＋y2＝4的内部，则实数a的取值范围是________．8．过点A(3，5)和B(4，－2)，且圆心在y轴上的圆的标准方程是____________________．x2＋(y－1)2＝25【提示】由方程组可得交点为(a－1，3a－1)，∴(a－1)2＋(3a－1)24.【提示】设圆心坐标为(0，b)，由两点间距离公式可得b＝1，r＝5.1,15【同步训练】9．圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4外一点P(2，－2)与该圆上一点之间的最短距离是________．10．圆心为(2，3)，且过直线x－2y－1＝0与x＋2y＋2＝0的交点的圆的标准方程为____________________．3【提示】由圆心(－1，2)到点P(2，－2)的距离与半径之差可得．【提示】先求两直线的交点坐标，再用两点间的距离公式求出半径即可．(x－2)2＋(y－3)2＝32516【同步训练】三、解答题11．(2019年湖北省技能高考真题)设直线5x＋2y－6＝0与y轴的交点为P，求以P为圆心，以点(3，－2)到直线3x＋4y＋9＝0的距离为半径的圆的一般方程．解：令x＝0，代入5x＋2y－6＝0，得圆心P(0，3)，由点到直线的距离公式，得圆的半径为因此所求圆的标准方程为x2＋(y－3)2＝4，故所求圆的一般方程为x2＋y2－6y＋5＝0.r＝＝2，223342934【同步训练】12．已知圆x2＋y2＋ax＋2ay＋＝0的圆心在直线2x＋y－5＝0上，求圆心坐标和半径．2a解：圆心坐标2,,,222aaaa代入直线方程中可得a＝－5,2∴圆心坐标为55,,42同时求出r＝145.48.4.2直线与圆的位置关系【知识精讲】1．点与圆的位置关系：点在圆内、点在圆上和点在圆外．判断方法：设点到圆心的距离为d，当dr时，点在圆内；当d＝r时，点在圆上；当dr时，点在圆外．2．直线与圆的位置关系：相离、相切和相交．(1)判定方法：①直线方程与圆的方程联立方程组，所得一元二次方程的判别式Δ，Δ0⇔直线与圆相交，Δ＝0⇔直线与圆相切，Δ0⇔直线与圆相离；【知识精讲】②把圆心到直线的距离d与半径r比较，dr⇔直线与圆相交，d＝r⇔直线与圆相切，dr⇔直线与圆相离．(2)过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2(也可先求得斜率，斜率为过已知点和圆心连线斜率的负倒数，再用点斜式求得切线方程)；求过圆外一点的切线方程，可先设直线方程的点斜式，再利用d＝r求得k，切线有两条，应注意斜率不存在的情况．已知直线的斜率求切线方程，可先设直线为点斜式y＝kx＋b，再利用d＝r，求得待定系数b.【知识精讲】(3)直线与圆相交，弦长公式为l＝3．判断直线与圆的位置关系及求切线方程时常用到的公式．(1)点到直线的距离公式d＝(2)两点间距离公式|P1P2|＝222.rd0022||;AxByCAB222121.xxyy【回顾反思】1．掌握直线与圆的位置关系的判断方程．2．会求直线被圆截得的弦长和切线长，灵活动用弦长和切线长公式．3．会求给定条件下的圆的方程．【同步训练】1．直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且l不通过第四象限，则l的斜率的取值范围是________．2．经过点(3，5)和(－3，7)，且圆心在x轴上的圆的方程为____________________．【提示】l通过圆心(1，2)．[0，2]【提示】这两点的垂直平分线与x轴的交点即为圆心．(x＋2)2＋y2＝50【同步训练】3．若直线2x－y＋m＝0被圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25截得的弦长为8，求实数m的值．解：由数形结合知圆心到直线的距离为3，再由点到直线的距离公式d＝＝3，225m得m＝4±35.【同步训练】4．求圆心在直线2x－7y＝0上，且与直线x－y＋2＝0和x＋y－2＝0都相切的圆的方程．再由点到直线的距离公式可求得a＝0或a＝7，解：由圆心在直线2x－7y＝0上可设圆心坐标为2,,7aa故圆的方程为x2＋y2＝2或(x－7)2＋(y－2)2＝49.2