01全国高中数学联赛试卷及答案

12001年全国高中数学联合竞赛试题第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每题均给出（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的．请将正确答案的代表字母填在题后的括号内．每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分．1．已知a为给定的实数，那么集合RxaxxxM,023|22的子集的个数为（A）1（B）2（C）4（D）不确定【答】（）2．命题1长方体中，必存在到各顶点距离相等的点;命题2长方体中，必存在到各棱距离相等的点;命题3长方体中，必存在到各面距离相等的点.以上三个命题中正确的有（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个【答】（）3．在四个函数y=sin|x|，y=cos|x|，y=|cotx|，y=lg|sinx|中以为周期、在(0,)2上单调递增的偶函数是【答】（）（A）y=sin|x|（B）y=cos|x|（C）y=|cotx|（D）y=lg|sinx|4．如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k的△ABC恰有一个，那么k的取值范围是（A）k=38（B）0k≤12（C）k≥12（D）0k≤12或k=38【答】（）5．若100021xx的展开式为220000122000aaxaxax，则03691998aaaaa的值为【答】（）（A）（B）（C）（D）6．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是【答】（）（A）2枝玫瑰价格高（B）3枝康乃馨价格高（C）价格相同（D）不确定二、填空题（满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上．7．椭圆cos21的短轴长等于．8．若复数z1，z2满足|z1|=2，|z2|=3，123322zzi，则z1·z2=．9．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，则直线A1C1与BD1的距离是．210.不等式232log121x的解集为．11．函数232xxxy的值域为．12．在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有4种不同的植物可供选择，则有种栽种方案．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13．设na为等差数列，nb为等比数列，且211ba，222ba，23312,()baaa,又12lim()21nnbbb．试求{an}的首项与公差．14．设曲线C1：1222yax（a为正常数）与C2：y2=2（x+m）在x轴上方仅有一个公共点P．(1)求实数m的取值范围（用a表示）；(2)O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当102a时，试求ΔOAP的面积的最大值（用a表示）．15．用电阻值分别为a1、a2、a3、a4、a5、a6(a1a2a3a4a5a6)的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论．32001`年全国高中数学联合竞赛加试试题（10月14日上午10：0012：00）考生注意：(1)本试卷共三大题，全卷满分150分．一．（本题满分50分）如图，△ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N．求证：(1)OB⊥DF，OC⊥DE；(2)OH⊥MN．二．（本题满分50分）设0ix（i=1，2，…，n）且ninjkjkixxjkx11212，求niix1的最大值与最小值．三．（本题满分50分）将边长为正整数m，n的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形．每个正方形的边均平行于矩形的相应边．试求这些正方形边长之和的最小值．42001年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准一．选择题：1．C2．B3．D4．D5．C6．A二．填空题：7．3328．i137213309．6610．,42,11,07211．,223,112．732三．解答题：13．设所求公差为d，∵a1＜a2，∴d＞0．由此得412121)()2(dadaa化简得：0422121ddaa解得：1)22(ad………………………………………………………5分而022，故a1＜0若1)22(ad，则22122)12(aaq若1)22(ad，则22122)12(aaq………………………………10分但12)(21nnbbblim存在，故|q|＜1，于是2)12(q不可能．从而2)12)(222(12)12(121221aa所以222)22(,211ada………………………………20分514．解：(1)由)(212222mxyyax消去y得：0222222amaxax①设222222)(amaxaxxf，问题(1)化为方程①在x∈(－a，a)上有唯一解或等根．只需讨论以下三种情况：1°△＝0得：212am，此时xp＝－a2，当且仅当－a＜－a2＜a，即0＜a＜1时适合；2°f(a)f(－a)＜0，当且仅当－a＜m＜a；3°f(－a)＝0得m＝a，此时xp＝a－2a2，当且仅当－a＜a－2a2＜a，即0＜a＜1时适合．f(a)＝0得m＝－a，此时xp＝－a－2a2，由于－a－2a2＜－a，从而m≠－a．综上可知，当0＜a＜1时，212am或－a＜m≤a；当a≥1时，－a＜m＜a．………………………………………………10分(2)△OAP的面积payS21∵0＜a＜21，故－a＜m≤a时，0＜maaa2122＜a，由唯一性得maaaxp2122显然当m＝a时，xp取值最小．由于xp＞0，从而yp＝221axp取值最大，此时22aayp，∴2aaaS．当212am时，xp＝－a2，yp＝21a，此时2121aaS．下面比较2aaa与2121aa的大小：令22121aaaaa，得31a故当0＜a≤31时，2aaa≤2121aa，此时2121aaSmax．6当2131a时，22121aaaaa，此时2aaaSmax．………20分15．解：设6个电阻的组件(如图3)的总电阻为RFG，当Ri＝ai，i＝3，4，5，6，R1、R2是a1、a2的任意排列时，RFG最小………………………………………………5分证明如下：1．设当两个电阻R1、R2并联时，所得组件阻值为R，则21111RRR．故交换二电阻的位置，不改变R值，且当R1或R2变小时，R也减小，因此不妨取R1＞R2．2．设3个电阻的组件(如图1)的总电阻为RAB2132312132121RRRRRRRRRRRRRRAB显然R1＋R2越大，RAB越小，所以为使RAB最小必须取R3为所取三个电阻中阻值最小的—个．3．设4个电阻的组件(如图2)的总电阻为RCD43243142142324131214111RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRABCD若记411,jijiRRS412kjikjiRRRS，则S1、S2为定值，于是4313212RRSRRRSRCD只有当R3R4最小，R1R2R3最大时，RCD最小，故应取R4＜R3，R3＜R2，R3＜Rl，即得总电阻的阻值最小……………………………………………………………………15分4°对于图3把由R1、R2、R3组成的组件用等效电阻RAB代替．要RFG最小，由3°必需使R6＜R5；且由1°应使RCE最小．由2°知要使RCE最小，必需使R5＜R4，且应使RCD最小．而由3°，要使RCD最小，应使R4＜R3＜R2且R4＜R3＜R1，这就说明，要证结论成立……………………………………………………………20分72001年全国高中数学联合竞赛加试参考答案及评分标准一．证明：(1)∵A、C、D、F四点共圆∴∠BDF＝∠BAC又∠OBC＝21(180°－∠BOC)＝90°－∠BAC∴OB⊥DF．(2)∵CF⊥MA∴MC2－MH2＝AC2－AH2①∵BE⊥NA∴NB2－NH2＝AB2－AH2②∵DA⊥BC∴BD2－CD2＝BA2－AC2③∵OB⊥DF∴BN2－BD2＝ON2－OD2④∵OC⊥DE∴CM2－CD2＝OM2－OD2⑤……………………………………30分①－②＋③＋④－⑤，得NH2－MH2＝ON2－OM2MO2－MH2＝NO2－NH2∴OH⊥MN……………………………………………………………………50分另证：以BC所在直线为x轴，D为原点建立直角坐标系，设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，则bakcakABAC,∴直线AC的方程为)(cxcay，直线BE的方程为)(bxacy8由)()(cxcaybxacy得E点坐标为E(2222222,caabcaccabcca)同理可得F(2222222,baabcabbacbba)直线AC的垂直平分线方程为)2(2cxacay直线BC的垂直平分线方程为2cbx由2)2(2cbxcxacay得O(aabccb2,22)bcaacabcbbaabcabkabacabcbcbaabckDFOB222222,22∵1DFOBkk∴OB⊥DF同理可证OC⊥DE．在直线BE的方程)(bxacy中令x＝0得H(0，abc)∴acabbcacbabcaabckOH32222直线DF的方程为xbcaacaby2由)(2cxcayxbcaacaby得N(22222222,2cbcaacabccbcabcca)同理可得M(22222222,2bbcaababcbbcacbba)9∴bcaacabbcabcabcbcacbakMN3)3)()(())((222222∵kOH·kMN＝－1，∴OH⊥MN．二．解：先求最小值，因为niinjkjkniiniixxxjkxx11122112)(≥1等号成立当且仅当存在i使得xi＝1，xj＝0，j＝i∴niix1最小值为1．……………………………………………………………10分再求最大值，令kkykx∴nknjkjkkykyky11212①设nknkkkykxM11，令nnnnayayyayyy22121则①122221naaa……………………………………………………30分令1na＝0，则nkkkaakM11)(nknknknknkkkkkkakkakakakak111111)1(1由柯西不等式得：212121])1([)(])1([121212nknkknkkkakkM等号成立222221)1()1(1nnakkaank10222222221)1()1()12(1kkannaaakn21])1([112nkkkkkka(k=1，2，…，n)由于a1≥a2≥…≥an，从而0])1([)11(221121nkkkkkkkkkaay，即xk≥0所求最大值为21])1([12nkkk……………………………………………50分三．解：记所求最小值为f(m，n)，可义证明f(m，n)＝rn＋n－(m，n)(*)其中(m，n)表示m和n的最大公约数………………………