新课标版数学（理）高三总复习之4-7三角函数

高考调研第1页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习第四章三角函数高考调研第2页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习第7课时正余弦定理高考调研第3页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．高考调研第4页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习请注意综合近两年的高考试卷可以看出：三角形中的三角函数问题已成为近几年的高考热点．不仅选择题中时有出现，而且解答题也经常出现，故这部分知识应引起充分的重视．高考调研第5页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习课前自助餐授人以渔自助餐题组层级快练高考调研第6页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习课前自助餐高考调研第7页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习变式：a＝，b＝，c＝.a∶b∶c＝∶_________∶__________.1．正弦定理asinA＝＝＝2R其中2R为△ABC外接圆直径．bsinBcsinC2RsinA2RsinB2RsinCsinAsinBsinC高考调研第8页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习2．余弦定理a2＝；b2＝；c2＝.变式：cosA＝___________；cosB＝；cosC＝.sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA.b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosCb2＋c2－a22bca2＋c2－b22aca2＋b2－c22ab高考调研第9页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习3．解三角形(1)已知三边a，b，c.运用余弦定理可求三角A，B，C.(2)已知两边a，b及夹角C.运用余弦定理可求第三边c.(3)已知两边a，b及一边对角A.高考调研第10页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习①A为锐角时，若absinA，______；若a＝bsinA，_____；若bsinAab，_______；若a≥b，_______．②A为直角或钝角时，若a≤b，_____；若ab，____．4．已知一边a及两角A，B(或B，C)用正弦定理，先求出一边，后求另一边．先用正弦定理，求sinB：sinB＝bsinAa.无解一解两解一解无解一解高考调研第11页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习4．三角形常用面积公式(1)S＝12a·ha(ha表示a边上的高)．(2)S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA＝abc4R.(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．高考调研第12页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)．(1)在△ABC中，AB必有sinAsinB.(2)在△ABC中，若b2＋c2a2，则△ABC为锐角三角形．(3)在△ABC中，若A＝60°，a＝43，b＝42，则∠B＝45°或∠B＝135°.(4)若满足条件C＝60°，AB＝3，BC＝a的△ABC有两个，则实数a的取值范围是(3，2)．高考调研第13页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习(5)在△ABC中，若acosB＝bcosA，则△ABC是等腰三角形．(6)在△ABC中，若tanA＝a2，tanB＝b2，则△ABC是等腰三角形．答案(1)√(2)×(3)×(4)√(5)√(6)×高考调研第14页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习2．(教材习题改编)在△ABC中，若a＝2bsinA，则B等于()A．30°或60°B．45°或60°C．60°或120°D．30°或150°答案D高考调研第15页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习3．(2015·启东中学期末)在△ABC中，若A＝60°，AC＝2，BC＝3，则AB等于________．答案1解析∵A＝60°，AC＝2，BC＝3，设AB＝x，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA，化简得x2－2x＋1＝0，∴x＝1，即AB＝1.高考调研第16页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习4．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C＝________.答案2π3解析∵(a＋b)2－c2＝ab，∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝－12.∴C＝2π3.4．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C＝________.答案2π3解析∵(a＋b)2－c2＝ab，∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝－12.∴C＝2π3.4．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C＝________.答案2π3解析∵(a＋b)2－c2＝ab，∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝－12.∴C＝2π3.高考调研第17页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习5．在△ABC中，已知c＝102，A＝45°，在a分别为20,102，2033，10和5的情况下，求相应的角C.答案30°，45°，60°或120°，90°，无解高考调研第18页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习解析sinC＝c·sinAa；当a＝20时，ac，∴sinC＝102×2220＝12，∴C＝30°；当a＝102时，a＝c，∴C＝45°；当a＝2033时，ac，sinC＝32，∴C＝60°或120°；当a＝10时，sinC＝1，∴C＝90°；当a＝5时，sinC＝2，无解．高考调研第19页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习授人以渔高考调研第20页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习题型一利用正、余弦定理解斜三角形例1(1)在△ABC中，已知a＝2，b＝3，A＝45°，求B，C及边c.(2)已知sinA∶sinB∶sinC＝(3＋1)∶(3－1)∶10，求最大角．高考调研第21页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习【思路】(1)已知a，b，A，由正弦定理可求B，从而可求C，c；(2)sinA∶sinB∶sinC由正弦定理可转化为a∶b∶c，从而可知最大边c，所以最大角为C，用余弦定理可求．高考调研第22页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】(1)方法一：由正弦定理，得asinA＝bsinB.∴sinB＝basinA＝32·sin45°＝32·22＝32.∵ba，BA＝45°，∴有两解B＝60°或120°.高考调研第23页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习①当B＝60°时，C＝180°－(45°＋60°)＝75°，c＝asinA·sinC＝2sin45°sin75°＝6＋22.②当B＝120°时，C＝180°－(45°＋120°)＝15°，c＝asinA·sinC＝2sin45°·sin15°＝6－22.高考调研第24页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习方法二：由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA.∴c2－6c＋1＝0，∴c＝6±22.当c＝6＋22时，cosB＝a2＋c2－b22ac＝－12，∴B＝120°.当c＝6－22时，cosB＝a2＋c2－b22ac＝12，∴B＝60°.高考调研第25页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习(2)由正弦定理，可得a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.∴a∶b∶c＝(3＋1)∶(3－1)∶10.由此可知c最大，∴角C最大．设a＝(3＋1)k，b＝(3－1)k，c＝10k，(k0)，∵cosC＝a2＋b2－c22ab＝[3＋1k]2＋[3－1k]2－10k223＋13－1k2＝－12，∴C∈(0，π)，∴C＝2π3.高考调研第26页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习【答案】(1)B＝60°，C＝75°，c＝6＋22或B＝120°，C＝15°，c＝6－22(2)C＝2π3高考调研第27页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习探究1(1)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其他边角的问题时，首先必须判明是否有解，(例如在△ABC中，已知a＝1，b＝2，A＝60°，则sinB＝basinA＝31，问题就无解)，如果有解，是一解，还是二解．(2)正、余弦定理可将三角形边的关系转化为角的关系，也可将角(三角函数)的关系转化为边的关系．(3)在三角形的判断中注意应用“大边对大角”来确定．高考调研第28页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习思考题1(1)已知△ABC的三个内角的比是A∶B∶C＝3∶2∶1，那么对应的三边之比a∶b∶c＝()A．3∶2∶B.3∶2∶1C.3∶2∶1D．2∶3∶1【解析】由题意知A＝π2，B＝π3，C＝π6.由正弦定理知a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶1，故选D.【答案】D高考调研第29页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习(2)(2015·衡水调研卷)在△ABC中，AC＝2，BC＝1，cosC＝34.①求AB的值；②求sin(2A＋C)的值．【解析】①由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC＝22＋12－2×2×1×34＝2.∴AB＝2.高考调研第30页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习②由cosC＝34且0Cπ，得sinC＝1－cos2C＝74.由正弦定理，得ABsinC＝BCsinA，解得sinA＝BCsinCAB＝148，所以cosA＝528.由二倍角公式，得sin2A＝2sinAcosA＝5716且cos2A＝1－2sin2A＝916.故sin(2A＋C)＝sin2AcosC＋cos2AsinC＝378.高考调研第31页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习【答案】①2②378高考调研第32页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习例2在△ABC中，a，b，c分别表示三个内角A，B，C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，试判断该三角形的形状．【思路】利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系．题型二三角形形状的判定高考调研第33页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】方法一：已知得a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]．∴2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA.由正弦定理，得sin2AcosAsinB＝sin2BcosBsinA.∴sinAsinB(sinAcosA－sinBcosB)＝0.∴sin2A＝sin2B.由02A,2B2π，得2A＝2B或2A＝π－2B.即△ABC是等腰三角形或直角三角形．高考调研第34页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习方法二：同方法一可得2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA.由正、余弦定理，得a2bb2＋c2－a22bc＝b2aa2＋c2－b22ac.∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)．即(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0.∴a＝b或c2＝a2＋b2.∴三角形为等腰三角形或直角三角形．【答案】三角形为等腰三角形或直角三角形高考调研第35页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习【误区警示】方法一：本题容易由sin2A＝sin2B只得出2A＝2B而漏掉2A＝π－2B.方法二：对于a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)若采用约分只得出a2＝b2而漏解．高考调研第36页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习探究2三角形形状的判定方法：(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a＝2RsinA，a2＋b2－c2＝2abcosC等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sinA＝sinB⇔A＝B；sin(A－B