高一数学宝典-数与式的运算

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1第一讲数与式的运算在初中,我们已学习了实数,知道字母可以表示数用代数式也可以表示数,我们把实数和代数式简称为数与式.代数式中有整式(多项式、单项式)、分式、根式.它们具有实数的属性,可以进行运算.在多项式的乘法运算中,我们学习了乘法公式(平方差公式与完全平方公式),并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便.由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算,因此本节中将拓展乘法公式的内容,补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式.在根式的运算中,我们已学过被开方数是实数的根式运算,而在高中数学学习中,经常会接触到被开方数是字母的情形,但在初中却没有涉及,因此本节中要补充.基于同样的原因,还要补充“繁分式”等有关内容.一、乘法公式【公式1】cabcabcbacba222)(2222证明:2222)(2)(])[()(ccbabacbacbacabcabcbacbcacbaba222222222222等式成立【例1】计算:22)312(xx解:原式=22]31)2([xx913223822)2(312312)2(2)31()2()(234222222xxxxxxxxxx说明:多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列.【公式2】3322))((babababa(立方和公式)证明:3332222322))((bababbaabbaabababa说明:请同学用文字语言表述公式2.【例2】计算:))((22bababa解:原式=333322)(])()()][([bababbaaba我们得到:【公式3】3322))((babababa(立方差公式)请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系,公式1、2、3均称为乘法公式.【例3】计算:2(1))416)(4(2mmm(2))41101251)(2151(22nmnmnm(3))164)(2)(2(24aaaa(4)22222))(2(yxyxyxyx解:(1)原式=333644mm(2)原式=3333811251)21()51(nmnm(3)原式=644)()44)(4(63322242aaaaa(4)原式=2222222)])([()()(yxyxyxyxyxyx63362332)(yyxxyx说明:(1)在进行代数式的乘法、除法运算时,要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构.(2)为了更好地使用乘法公式,记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、4、…、10的立方数,是非常有好处的.【例4】已知0132xx,求331xx的值.解:0132xx0x31xx原式=18)33(3]3)1)[(1()11)(1(2222xxxxxxxx说明:本题若先从方程0132xx中解出x的值后,再代入代数式求值,则计算较烦琐.本题是根据条件式与求值式的联系,用整体代换的方法计算,简化了计算.请注意整体代换法.本题的解法,体现了“正难则反”的解题策略,根据题求利用题知,是明智之举.【例5】已知0cba,求111111()()()abcbccaab的值.解:bacacbcbacba,,,0原式=abbacaccabbccbaabccbaabccacbbbcaa222)()()(①abccabccabbababa3)3(]3))[((32233abccba3333②,把②代入①得原式=33abcabc说明:注意字母的整体代换技巧的应用.引申:同学可以探求并证明:))((3222333cabcabcbacbaabccba3二、根式式子(0)aa叫做二次根式,其性质如下:(1)2()(0)aaa(2)2||aa(3)(0,0)ababab(4)(0,0)bbabaa【例6】化简下列各式:(1)22(32)(31)(2)22(1)(2)(1)xxx解:(1)原式=|32||31|23311(2)原式=(1)(2)23(2)|1||2|(1)(2)1(1x2)xxxxxxxx说明:请注意性质2||aa的使用:当化去绝对值符号但字母的范围未知时,要对字母的取值分类讨论.【例7】计算(没有特殊说明,本节中出现的字母均为正数):(1)323(2)11ab(3)3282xxx解:(1)原式=23(23)3(23)63323(23)(23)(2)原式=22ababababab(3)原式=2222222223222xxxxxxxxxxx说明:(1)二次根式的化简结果应满足:①被开方数的因数是整数,因式是整式;②被开方数不含能开得尽方的因数或因式.(2)二次根式的化简常见类型有下列两种:①被开方数是整数或整式.化简时,先将它分解因数或因式,然后把开得尽方的因数或因式开出来;②分母中有根式(如323)或被开方数有分母(如2x).这时可将其化为ab形式(如2x可化为2x),转化为“分母中有根式”的情况.化简时,要把分母中的根式化为有理式,采取分子、分母同乘以一个根式进行化简.(如323化为43(23)(23)(23),其中23与23叫做互为有理化因式).【例8】计算:(1)2(1)(1)()ababab(2)aaaabaab解:(1)原式=22(1)()(2)2221baaabbaabb(2)原式=11()()aaaabaababab()()2()()ababaababab说明:有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算.【例9】设2323,2323xy,求33xy的值.解:22(23)23743,74314,12323xyxyxy原式=2222()()()[()3]14(143)2702xyxxyyxyxyxy说明:有关代数式的求值问题:(1)先化简后求值;(2)当直接代入运算较复杂时,可根据结论的结构特点,倒推几步,再代入条件,有时整体代入可简化计算量.三、分式当分式AB的分子、分母中至少有一个是分式时,AB就叫做繁分式,繁分式的化简常用以下两种方法:(1)利用除法法则;(2)利用分式的基本性质.【例10】化简11xxxxx解法一:原式=222(1)11(1)1(1)(1)11xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解法一:原式=22(1)1(1)(1)111()xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx5说明:解法一的运算方法是从最内部的分式入手,采取通分的方式逐步脱掉繁分式,解法二则是利用分式的基本性质AAmBBm进行化简.一般根据题目特点综合使用两种方法.【例11】化简222396162279xxxxxxxx解:原式=22239611612(3)3(3)(3)2(3)(3)(39)(9)xxxxxxxxxxxxxxx22(3)12(1)(3)(3)32(3)(3)2(3)(3)2(3)xxxxxxxxxx说明:(1)分式的乘除运算一般化为乘法进行,当分子、分母为多项式时,应先因式分解再进行约分化简;(2)分式的计算结果应是最简分式或整式.A组1.二次根式2aa成立的条件是()A.0aB.0aC.0aD.a是任意实数2.若3x,则296|6|xxx的值是()A.-3B.3C.-9D.93.计算:(1)2(34)xyz(2)2(21)()(2)ababab(3)222()()()abaabbab(4)221(4)(4)4ababab4.化简(下列a的取值范围均使根式有意义):(1)38a(2)1aa(3)4ababba(4)112232315.化简:(1)219102325mmmmmm(2)222(0)2xyxyxyxxyB组1.若112xy,则33xxyyxxyy的值为():练习6A.35B.35C.53D.532.计算:(1)()()abcabc(2)111()233.设11,3232xy,求代数式22xxyyxy的值.4.当22320(0,0)aabbab,求22ababbaab的值.5.设x、y为实数,且3xy,求yxxyxy的值.6.已知11120,19,21202020axbxcx,求代数式222abcabbcac的值.7.设512x,求4221xxx的值.8.展开4(2)x9.计算(1)(2)(3)(4)xxxx10.计算()()()()xyzxyzxyzxyz11.化简或计算:(1)113(184)2323(2)22122(25)352(3)2xxxyxxyyxyyxxyy(4)()()babababaababbabaab7第一讲习题答案A组1.C2.A3.(1)2229166824xyzxyxzyz(2)22353421aabbab(3)2233abab(4)331164ab4.2()22212abaaaab5.2mmxyB组1.D2.2,3223acbac3.13364.3,25.236.37.358.4328243216xxxx9.43210355024xxxx10.444222222222xyzxyxzyz11.433,,,3xybay

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