高一数学培优宝典-高考知识练习：平面向量（必修4）

1．(2015·课标Ⅰ，7，易)设D为△ABC所在平面内一点，BC→＝3CD→，则()A.AD→＝－13AB→＋43AC→B.AD→＝13AB→－43AC→C.AD→＝43AB→＋13AC→D.AD→＝43AB→－13AC→【答案】A如图所示，在△ABC中，BC→＝AC→－AB→.又∵BC→＝3CD→，∴CD→＝13BC→＝13AC→－13AB→，∴AD→＝AC→＋CD→＝－13AB→＋43AC→.2．(2015·安徽，8，中)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB→＝2a，AC→＝2a＋b，则下列结论正确的是()A．|b|＝1B．a⊥bC．a·b＝1D．(4a＋b)⊥BC→【答案】D如图，在等边△ABC中，AB→＝2a，AC→＝2a＋b，∵AB→＋BC→＝AC→，∴BC→＝b.又∵|BC→|＝2，|AB→|＝2，∴|b|＝2，|a|＝1，a与b的夹角为120°，∴a·b＝|a||b|cos120°＝－1.∴A，B，C不正确．4a＋b＝AB→＋AC→＝2AD→，又AD→⊥BC→，故D正确．3．(2015·课标Ⅱ，13，易)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．【解析】因为λa＋b与a＋2b平行，所以存在实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)，即(λ－μ)a＋(1－2μ)b＝0，由于a，b不平行，所以λ－μ＝0，1－2μ＝0，解得λ＝12.【答案】124．(2015·江苏，6，易)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．【解析】由ma＋nb＝(9，－8)得，m(2，1)＋n(1，－2)＝(9，－8)，即(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，∴2m＋n＝9，m－2n＝－8，解得m＝2，n＝5，∴m－n＝－3.【答案】－35．(2015·北京，13，易)在△ABC中，点M，N满足AM→＝2MC→，BN→＝NC→，若MN→＝xAB→＋yAC→，则x＝________；y＝________.【解析】如图，在△ABC中，MN→＝MA→＋AB→＋BN→＝－23AC→＋AB→＋12BC→＝－23AC→＋AB→＋12(AC→－AB→)＝12AB→－16AC→，∴x＝12，y＝－16.【答案】12－161．(2013·辽宁，3，易)已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量AB→同方向的单位向量为()A.35，－45B.45，－35C.－35，45D.－45，35【答案】AAB→＝(3，－4)，|AB→|＝5.与AB→同方向的单位向量为AB→|AB→|＝35，－45.故选A.2．(2012·广东，3，易)若向量BA→＝(2，3)，CA→＝(4，7)，则BC→＝()A．(－2，－4)B．(2，4)C．(6，10)D．(－6，－10)【答案】ABC→＝BA→＋AC→＝BA→－CA→＝(－2，－4)，故选A.3．(2014·浙江，8，中)记max{x，y}＝x，x≥y，y，xy，min{x，y}＝y，x≥y，x，xy.设a，b为平面向量，则()A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2【答案】D根据向量运算的几何意义，即三角形法则，可知min{|a＋b|，|a－b|}与min{|a|，|b|}的大小不确定；因为|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2ab，|a－b|2＝|a|＋|b|2－2a·b，则当a·b≥0时，max{|a＋b|2，|a－b|2}＝|a|2＋|b|2＋2a·b≥|a|2＋|b|2；当a·b0时，max{|a＋b|2，|a－b|2}＝|a|2＋|b|2－2a·b≥|a|2＋|b|2，即总有max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2，故选D.4．(2012·安徽，8，中)在平面直角坐标系中，点O(0，0)，P(6，8)，将向量OP→绕点O按逆时针方向旋转3π4后得向量OQ→，则点Q的坐标是()A．(－72，－2)B．(－72，2)C．(－46，－2)D．(－46，2)【答案】A由题意，得|OP→|＝10，由三角函数定义，设P点坐标为(10cosθ，10sinθ)，则cosθ＝35，sinθ＝45.则Q点的坐标应为10cosθ＋3π4，10sinθ＋3π4.由三角函数知识得10cosθ＋3π4＝－72，10sinθ＋3π4＝－2，所以Q(－72，－2)．故选A.5．(2014·北京，10，易)已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2，1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.【解析】∵λa＋b＝0，∴λa＝－b.∴|λa|＝|b|，∴|λ|·|a|＝|b|，∴|λ|·1＝5，∴|λ|＝5.【答案】56．(2014·课标Ⅰ，15，中)已知A，B，C为圆O上的三点，若AO→＝12(AB→＋AC→)，则AB→与AC→的夹角为________．【解析】由AO→＝12(AB→＋AC→)可知O为BC的中点，即BC为圆O的直径，又因为直径所对的圆周角为直角，所以∠BAC＝90°，所以AB→与AC→的夹角为90°.【答案】90°7．(2014·陕西，18，12分，中)在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．(1)若PA→＋PB→＋PC→＝0，求|OP→|；(2)设OP→＝mAB→＋nAC→(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．解：(1)方法一：∵PA→＋PB→＋PC→＝0，又PA→＋PB→＋PC→＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)，∴6－3x＝0，6－3y＝0，解得x＝2，y＝2，即OP→＝(2，2)，故|OP→|＝22.方法二：∵PA→＋PB→＋PC→＝0，则(OA→－OP→)＋(OB→－OP→)＋(OC→－OP→)＝0，∴OP→＝13(OA→＋OB→＋OC→)＝(2，2)，∴|OP→|＝22.(2)OP→＝(x，y)，AB→＝(1，2)，AC→＝(2，1)．∵OP→＝mAB→＋nAC→，∴(x，y)＝(m＋2n，2m＋n)，∴x＝m＋2n，①y＝2m＋n，②②－①得，m－n＝y－x，令m－n＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大值，故m－n的最大值为1.思路点拨：(1)根据向量相等，求出P点坐标后求|OP→|；(2)根据向量相等，将m－n转化为x，y的关系，变换为线性规划问题．考向1平面向量的线性运算向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫作a与b的差a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ0时，λa与a的方向相同；当λ0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0(1)结合律：λ(μa)＝λμa＝μ(λa)；(2)第一分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)第二分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb(1)(2014·课标Ⅰ，6)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB→＋FC→＝()A.AD→B.12AD→C.BC→D.12BC→(2)(2013·四川，12)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB→＋AD→＝λAO→，则λ＝________．【解析】(1)如图，EB→＋FC→＝EC→＋CB→＋FB→＋BC→＝EC→＋FB→＝12(AC→＋AB→)＝12·2AD→＝AD→.(2)如图，因为ABCD为平行四边形，所以AB→＋AD→＝AC→＝2AO→，已知AB→＋AD→＝λAO→，故λ＝2.【答案】(1)A(2)2【点拨】解题(1)时注意向量加法平行四边形法则的运用；解题(2)的思路是在平行四边形中把AB→＋AD→用AO→表示，结合已知条件求出λ的值．向量的线性运算的解题策略(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．(2014·福建，10)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则OA→＋OB→＋OC→＋OD→等于()A.OM→B．2OM→C．3OM→D．4OM→【答案】D依题意知，点M是线段AC的中点，也是线段BD的中点，所以OA→＋OC→＝2OM→，OB→＋OD→＝2OM→，所以OA→＋OC→＋OB→＋OD→＝4OM→，故选D.考向2共线向量定理、平面向量基本定理及应用1．向量共线的判定定理和性质定理(1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ使得b＝λa，则向量b与a共线．(2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.(3)A，B，C是平面上三点，且A与B不重合，P是平面内任意一点，若点C在直线AB上，则存在实数λ，使得PC→＝PA→＋λAB→(如图所示)．2．向量共线定理的应用(1)证明点共线；(2)证明两直线平行；(3)已知向量共线求字母的值(或范围)．3．平面向量基本定理(1)平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．(2)平面向量基本定理的实质平面向量基本定理反映了利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．4．平面向量基本定理的应用(1)证明向量共面，如果有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，那么a，e1，e2共面．(2)根据向量基本定理求字母的值(或范围)．(1)(2014·福建，8)在下列向量组中，可以把向量a＝(3，2)表示出来的是()A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2)B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)(2)(2013·江苏，10)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE→＝λ1AB→＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．(3)(2015·安徽阜阳一模，14)在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若AB→＝λAM→＋μAN→，则λ＋μ＝________．【解析】(1)方法一：若e1＝(0，0)，e2＝(1，2)，则e1∥e2，而a不能由e1，e2表示，排除A；若e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)，因为－15≠2－2，所以e1，e2不共线，根据平面向量基本定理，可以把向量a＝(3，2)表示出来，故选B.方法二：因为a＝(3，2)，若e1＝(0，0)，e2＝(1，2)，不存在实数λ，μ，使得a＝λe1＋μe2，排除A；若e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)，设存在实数λ，μ，使得a＝λe1＋μe2，则(3，2)＝(－λ＋5μ，2λ－2μ)，所以3＝－λ＋5μ，2＝2λ－2μ，解得λ＝2，μ＝1，所以a＝2e1＋e2，故选B.(2)∵DE→＝DB→＋BE→＝12AB→＋23BC→＝12AB→＋23(AC→－AB→)＝23AC→－16AB→，又DE→＝λ1