高一数学培优宝典-高考知识练习：数列（必修5）

1(2015·课标Ⅰ，17，12分，中)Sn为数列{an}的前n项和．已知an0，a2n＋2an＝4Sn＋3.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝1anan＋1，求数列{bn}的前n项和．解：(1)∵a2n＋2an＝4Sn＋3，∴a2n＋1＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.两式相减得a2n＋1－a2n＋2(an＋1－an)＝4an＋1，即2(an＋1＋an)＝a2n＋1－a2n＝(an＋1＋an)·(an＋1－an)．由于an0，可得an＋1－an＝2.又a21＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)，a1＝3.所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，所以通项公式an＝2n＋1.(2)由an＝2n＋1可知bn＝1anan＋1＝1（2n＋1）（2n＋3）＝1212n＋1－12n＋3.设数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1213－15＋15－17＋…＋12n＋1－12n＋3＝n3（2n＋3）.1．(2013·辽宁，4，易)下面是关于公差d0的等差数列{an}的四个命题：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列ann是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．其中的真命题为()A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p42【答案】D{an}是等差数列，则an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，因为d0，所以{an}是递增数列，故p1正确；对p2，举反例，令a1＝－3，a2＝－2，d＝1，则a12a2，故{nan}不是递增数列，p2不正确；ann＝d＋a1－dn，当a1－d0时，ann递减，p3不正确；an＋3nd＝4nd＋a1－d，4d0，{an＋3nd}是递增数列，p4正确．故p1，p4是正确的，故选D.2．(2011·江西，5，易)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，那么a10＝()A．1B．9C．10D．55【答案】Aa10＝S10－S9＝(S1＋S9)－S9＝S1＝a1＝1，故选A.3．(2013·湖南，15，难)设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝(－1)nan－12n，n∈N*，则(1)a3＝________；(2)S1＋S2＋…＋S100＝________.【解析】(利用an与Sn的关系求通项公式)(1)由已知得S3＝－a3－123，S4＝a4－124，两式相减得a4＝a4＋a3－124＋123，∴a3＝124－123＝－116.(2)已知Sn＝(－1)nan－12n，①当n为奇数时，Sn＋1＝an＋1－12n＋1，Sn＝－an－12n，两式相减得an＋1＝an＋1＋an＋12n＋1，∴an＝－12n＋1；②当n为偶数时，则Sn＋1＝－an＋1－12n＋1，Sn＝an－12n，两式相减得an＋1＝－an＋1－an＋12n＋1，即an＝－2an＋1＋12n＋1＝12n.综上，an＝－12n＋1（n为奇数），12n（n为偶数），3∴S1＋S2＋…＋S100＝－a1－12＋a2－122＋…＋a100－12100＝[(a2＋a4＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]－12＋122＋…＋12100＝122＋124＋…＋12100＋122＋124＋…＋12100－12＋122＋…＋12100＝122＋124＋…＋12100－12＋123＋…＋1299＝1221－122501－14－121－122501－14＝1312100－1.【答案】(1)－116(2)1312100－14．(2012·四川，20，12分，中)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a2an＝S2＋Sn对一切正整数n都成立．(1)求a1，a2的值；(2)设a10，数列lg10a1an的前n项和为Tn.当n为何值时，Tn最大？并求出Tn的最大值．解：(1)取n＝1，得a2a1＝S2＋S1＝2a1＋a2，①取n＝2，得a22＝2a1＋2a2，②由②－①，得a2(a2－a1)＝a2.③若a2＝0，由①知a1＝0.若a2≠0，由③知a2－a1＝1.④由①④解得a1＝2＋1，a2＝2＋2或a1＝1－2，a2＝2－2.综上可得，a1＝0，a2＝0或a1＝2＋1，a2＝2＋2或a1＝1－2，a2＝2－2.(2)当a10时，由(1)知a1＝2＋1，a2＝2＋2.4当n≥2时，有(2＋2)an＝S2＋Sn，(2＋2)an－1＝S2＋Sn－1，所以(1＋2)an＝(2＋2)an－1，即an＝2an－1(n≥2)，所以an＝a1(2)n－1＝(2＋1)·(2)n－1.令bn＝lg10a1an，则bn＝1－lg(2)n－1＝1－12(n－1)lg2＝12lg1002n－1.所以数列{bn}是单调递减的等差数列公差为－12lg2，从而b1b2…b7＝lg108lg1＝0，当n≥8时，bn≤b8＝12lg10012812lg1＝0，故当n＝7时，Tn取得最大值，且Tn的最大值为T7＝7（b1＋b7）2＝7（1＋1－3lg2）2＝7－212lg2.考向1由递推公式求通项公式1．递推公式如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且任何一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即an＝f(an－1)或an＝f(an－1，an－2)，那么这个式子叫作数列{an}的递推公式．2．已知递推关系式求通项一般用代数的变形技巧整理变形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式．(1)(2013·安徽，14)如图，互不相同的点A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn，…分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面积均相等，设OAn＝an，若a1＝1，a2＝2，则数列{an}的通项公式是________．(2)(2014·安徽合肥一模，14)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，an＋2＋2an＝3an＋1(n∈N*)，则数列{an}5的通项公式an＝________．(3)(2015·山东临沂模拟，11)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，则数列{an}的通项公式为________．【解析】(1)设△A1B1O的面积为S0，梯形AnBnBn＋1An＋1的面积为S，由比例性质得S0S0＋S＝a1a22＝14，S＝3S0，所以S0＋nSS0＋（n＋1）S＝an＋1an＋22⇒1＋3n4＋3n＝an＋1an＋22，得到3n－23n＋1＝anan＋12，由累乘法可得a1a22·a2a32·a3a42·…·anan＋12＝a1an＋12＝14×47×710×…×3n－23n＋1＝13n＋1⇒a1an＋12＝13n＋1⇒an＋1＝3n＋1，且a1＝1，则an＝3n－2.(2)由an＋2＋2an－3an＋1＝0，得an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，∴数列{an＋1－an}是以a2－a1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1－an＝3·2n－1，∴n≥2时，an－an－1＝3·2n－2，…，a3－a2＝3·2，a2－a1＝3，将以上各式累加得an－a1＝3·2n－2＋…＋3·2＋3＝3(2n－1－1)，∴an＝3·2n－1－2(当n＝1时，也满足)．(3)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)．∴an＋1＋1an＋1＝3，∴数列{an＋1}是等比数列，公比q＝3.又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1.【答案】(1)an＝3n－2(2)3·2n－1－2(3)an＝2·3n－1－1【点拨】解题(1)的关键是根据三角形中的比例性质找出递推公式，然后再用累乘法求an；解题(2)的关键是将an＋2＋2an＝3an＋1变形后得出数列{an＋1－an}是等比数列，再利用累加法求解；解题(3)的关键是构造等比数列．已知数列的递推公式求通项公式的常见类型及解法(1)形如an＋1＝an＋f(n)，常用累加法．即利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)求通6项公式．(2)形如an＋1＝anf(n)，常用累乘法，即利用恒等式an＝a1·a2a1·a3a2·…·anan－1求通项公式．(3)形如an＋1＝ban＋d(其中b，d为常数，b≠0，1)的数列，常用构造法．其基本思路是：构造an＋1＋x＝b(an＋x)(其中x＝db－1)，则{an＋x}是公比为b的等比数列，利用它即可求出an.(4)形如an＋1＝panqan＋r(p，q，r是常数)的数列，将其变形为1an＋1＝rp·1an＋qp.若p＝r，则1an是等差数列，且公差为qp，可用公式求通项；若p≠r，则采用(3)的办法来求．(5)形如an＋2＝pan＋1＋qan(p，q是常数，且p＋q＝1)的数列，构造等比数列．将其变形为an＋2－an＋1＝(－q)·(an＋1－an)，则{an－an－1}(n≥2，n∈N*)是等比数列，且公比为－q，可以求得an－an－1＝f(n)，然后用累加法求得通项．(6)形如a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝f(n)的式子，由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝f(n)，①得a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝f(n－1)，②再由①－②可得an.(1)(2015·山东临沂模拟，5)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln1＋1n，则an等于()A．2＋lnnB．2＋(n－1)lnnC．2＋nlnnD．1＋n＋lnn(2)(2015·山东日照模拟，12)设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a2n＋1－na2n＋an＋1·an＝0(n＝1，2，3，…)，则它的通项公式an＝________．(3)(2015·四川成都月考，14)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝52－1an，bn＝1an－2，则数列{bn}的通项公式bn＝________.(1)【答案】A由已知，an＋1－an＝lnn＋1n，a1＝2，所以an－an－1＝lnnn－1(n≥2)，an－1－an－2＝lnn－1n－2，……7a2－a1＝ln21，将以上n－1个式子叠加，得an－a1＝lnnn－1＋lnn－1n－2＋…＋ln21＝lnnn－1·n－1n－2·…·21＝lnn.所以an＝2＋lnn(n≥2)，经检验n＝1时也适合．故选A.(2)【解析】因为(n＋1)a2n＋1＋an＋1·an－na2n＝0，所以(an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan]＝0.又an＋1＋an0，所以(n＋1)an＋1－nan＝0，即an＋1an＝nn＋1，所以a2a1·a3a2·a4a3·a5a4·…·anan－1＝12×23×34×45×…×n－1n，所以an＝1n.【答案】1n(3)【解析】由于an＋1－2＝52－1an－2＝an－22an，所以1an＋1－2＝2anan－2＝4an－2＋2，即bn＋1＝4bn＋2，bn＋1＋23＝4bn＋23.又a1＝1，故b1＝1a1－2＝－1.所以bn＋23是首项为－13，公比为4的等比数列，bn＋23＝－13×4n－1，bn＝－13×4n－1－23.【答案】－13×4n－1－238考向2由Sn和an的关系求通项1．an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝S1（n＝1），Sn－Sn－1（n≥2）.2．已知Sn求an时应注意