新课标版数学（理）高三总复习之4章单元测试卷

第四章单元测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1．sin210°cos120°的值为()A.14B．－34C．－32D.34答案A2．已知sin2α0，且cosα0，则角α的终边位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案C解析∵cosα0，sin2α＝2sinαcosα0，∴sinα0.∴α为第三象限角．故选C.3．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则sinα1－sin2α＋1－cos2αcosα的值等于()A．2B．－2C．－2或2D．0答案D解析原式＝sinα|cosα|＋|sinα|cosα，又角α的终边落在直线x＋y＝0上，∴|sinα|＝|cosα|且sinα与cosα互为相反数，∴sinα|cosα|＋|sinα|cosα＝0.4．已知sin(π3－x)＝35，则cos(x＋π6)＝()A.35B.45C．－35D．－45答案A解析cos(x＋π6)＝cos[π2－(π3－x)]＝sin(π3－x)＝35，选A.5．若sinαtanα1tanα(－π2απ2)，则α的取值范围是()A．(－π2，－π4)B．(－π4，0)C．(0，π4)D．(π4，π2)答案B解析由sinαtanα知，在－π2απ2的条件下，α的取值范围是－π2α0.又在(－π2，0)区间内，使tanα1tanα成立的是α∈(－π4，0)，故选B.6．已知sin2α＝13，则cos2(α－π4)＝()A．－13B．－23C.13D.23答案D解析cos2(α－π4)＝1＋cos2α－π22＝1＋cosπ2－2α2＝1＋sin2α2＝23.7．若将y＝sin4x的图像向左平移π12个单位长度，得y＝sin(4x＋φ)的图像，则φ等于()A．－π12B．－π3C.π3D.π12答案C8．已知f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则f(x)的表达式为()A．f(x)＝2sin(32x＋π4)B．f(x)＝2sin(32x＋5π4)C．f(x)＝2sin(43x＋2π9)D．f(x)＝2sin(43x＋2518π)答案B解析由图像知34T＝56π－(－π6)＝π⇒T＝43π.∴ω＝2πT＝2π×34π＝32.又(56π，2)为五点作图法中的第二个关键点，∴32×56π＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z.∴φ＝－34π＋2kπ，k∈Z.∴f(x)＝2sin(32x－34π＋2kπ)＝2sin(32x＋54π)．9．将函数y＝sin(6x＋π4)图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移π8个单位，得到的函数的一个对称中心是()A．(π2，0)B．(π4，0)C．(π9，0)D．(π16，0)答案A解析将函数y＝sin(6x＋π4)图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，得到函数y＝sin(2x＋π4)的图像，再向右平移π8个单位，得到函数f(x)＝sin[2(x－π8)＋π4]＝sin2x的图像，而f(π2)＝0，故选A.10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B＝()A．－12B.12C．－1D．1答案D解析∵acosA＝bsinB，∴sinAcosA＝sin2B.∴sinAcosA＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝1.11．设函数f(x)＝cosωx(ω0)，将y＝f(x)的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于()A.13B．3C．6D．9答案C解析由题意可知，nT＝π3(n∈N*)，∴n·2πω＝π3(n∈N*)．∴ω＝6n(n∈N*)，∴当n＝1时，ω取得最小值6.12．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω0，－πφ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝π2时，f(x)取得最大值，则()A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数答案A解析∵T＝6π，∴ω＝2πT＝2π6π＝13.又∵f(π2)＝2sin(13×π2＋φ)＝2sin(π6＋φ)＝2，∴π6＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，即φ＝π3＋2kπ，k∈Z.又∵－πφ≤π，∴φ＝π3.∴f(x)＝2sin(x3＋π3)．∴f(x)的单调递增区间为[－52π＋6kπ，π2＋6kπ]，单调递减区间为[π2＋6kπ，72π＋6kπ]，k∈Z.观察各选项，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知cosα＝17，cos(α＋β)＝－1114且α∈(0，π2)，α＋β∈(π2，π)，则cosβ的值为________．答案12解析∵α∈(0，π2)，α＋β∈(π2，π)，cosα＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴sinα＝1－cos2α＝1－172＝437，sin(α＋β)＝1－cos2α＋β＝1－－11142＝5314.∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝(－1114)×17＋5314×437＝12.14．在△ABC中，若b＝5，∠B＝π4，tanA＝2，则sinA＝________；a＝________.答案255，210解析∵tanA＝sinAcosA＝2，∴sinA＝255.又∵b＝5，B＝π4，根据正弦定理，得a＝bsinAsinB＝5×25522＝210.15．已知tan2θ＝2tan2φ＋1，则cos2θ＋sin2φ的值为________．答案0解析由tan2θ＝2tan2φ＋1，得cos2θ＝cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ＝1－tan2θ1＋tan2θ＝－tan2φtan2φ＋1.∴cos2θ＋sin2φ＝－tan2φtan2φ＋1＋sin2φ＝－sin2φ＋sin2φ＝0.16．下面有五个命题：①函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；②终边在y轴上的角的集合是{α|α＝kπ2，k∈Z}；③在同一坐标系中，函数y＝sinx的图像和函数y＝x的图像有三个公共点；④把函数y＝3sin(2x＋π3)的图像向右平移π6得到y＝3sin2x的图像；⑤函数y＝sin(x－π2)在[0，π]上是减函数．其中，真命题的编号是________．(写出所有真命题的编号)答案①④解析考查①y＝sin2x－cos2x＝－cos2x，所以最小正周期为π.②k＝0时，α＝0，则角α终边在x轴上．③由y＝sinx在(0,0)处切线为y＝x，所以y＝sinx与y＝x图像只有一个交点．④y＝3sin(2x＋π3)图像向右平移π6个单位得y＝3sin[2(x－π6)＋π3]＝3sin2x.⑤y＝sin(x－π2)＝－cosx在[0，π]上为增函数．综上知①④为真命题．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知α为第三象限角，f(α)＝sinα－π2cos3π2＋αtanπ－αtan－α－πsin－α－π.(1)化简f(α)；(2)若f(α)＝45，求tan2α的值．答案(1)f(α)＝－cosα(2)247解析(1)f(α)＝－cosαsinα－tanα－tanαsinα＝－cosα.(2)由f(α)＝45，得cosα＝－45.又因为α为第三象限角，所以sinα0，所以sinα＝－1－cos2α＝－35.所以tanα＝sinαcosα＝34，故tan2α＝2tanα1－tan2α＝247.18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝3sin2x－2sin(π2＋x)cos(π－x)．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若f(α2－π12)＝32，α是第二象限角，求cos(2α＋π3)的值．答案(1)[kπ－π3，kπ＋π6](k∈Z)(2)7＋3516解析(1)f(x)＝3sin2x－2cosx(－cosx)＝3sin2x＋2cos2x＝3sin2x＋cos2x＋1＝2sin(2x＋π6)＋1，由2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，得kπ－π3≤x≤kπ＋π6(k∈Z)．故函数f(x)的单调增区间为[kπ－π3，kπ＋π6](k∈Z)．(2)∵f(α2－π12)＝2sinα＋1＝32，∴sinα＝14.∵α是第二象限角，∴cosα＝－1－sin2α＝－154.∴sin2α＝－158，cos2α＝78.∴cos(2α＋π3)＝cos2αcosπ3－sin2αsinπ3＝78×12－(－158)×32＝7＋3516.19．(本小题满分12分)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC(tanAtanC－1)＝1.(1)求B的大小；(2)若a＋c＝332，b＝3，求△ABC的面积．答案(1)π3(2)5316解析(1)由2cosAcosC(tanAtanC－1)＝1，得2cosAcosC(sinAsinCcosAcosC－1)＝1.∴2(sinAsinC－cosAcosC)＝1.∴cos(A＋C)＝－12.∴cosB＝12.又0Bπ，∴B＝π3.(2)由余弦定理，得cosB＝a2＋c2－b22ac＝12.∴a＋c2－2ac－b22ac＝12.又a＋c＝332，b＝3，∴274－2ac－3＝ac，∴ac＝54.∴S△ABC＝12acsinB＝12×54×32＝5316.20．(本小题满分12分)设函数f(x)＝2sinxcosx－cos(2x－π6)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)画出函数f(x)在区间[0，π]上的图像；(3)当x∈[0，2π3]时，求函数f(x)的最大值及取得最大值时的x的值．答案(1)π(2)略(3)x＝5π12时f(x)最大值为1解析(1)∵f(x)＝2sinxcosx－cos(2x－π6)＝sin2x－(cos2xcosπ6＋sin2xsinπ6)＝12sin2x－32cos2x＝sin(2x－π3)，∴f(x)＝sin(2x－π3)．∴函数f(x)的最小正周期为π.(2)列表，描点，作图．(3)∵x∈[0，2π3]，∴2x－π3∈[－π3，π]．∴当2x－π3＝π2，即x＝5π12时，函数f(x)取得最大值1.21．(本小题满分12分)如图所示，在四边形ABCD中，AC＝CD＝12AB＝1，AB→·AC→＝1，sin∠BCD＝35.(1)求BC边的长；(2)求四边形ABCD的面积．解析(1)∵AC＝CD＝12AB＝1，∴AB→·AC→＝|AB→|·|AC→|·cos∠BAC＝2cos∠BAC＝1.∴cos∠BAC＝12，∴∠BAC＝60°.在△ABC中，由余弦定理，有BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝22＋12－2×2×1×12＝3，∴BC＝3.(2)由(1)知，在△ABC中，有AB2＝BC2＋AC2.∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°.∴S△ABC＝12BC·AC＝12×3×1＝32.又∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90°＋∠ACD，sin∠BCD＝35，∴cos∠ACD＝35.从而sin∠ACD＝1－cos2∠ACD＝45.∴S△ACD＝12AC·CD·sin∠ACD＝12×1×1×45＝25.∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝32＋25＝4＋5310.22．(本小题满分12分)如图所示，扇形AOB，圆心角AOB等于60°，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP＝θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值．答案θ＝30°时△POC面积最大值为32解析∵CP∥OB，∴∠CPO＝∠POB＝60°－θ.∴∠OCP＝120°.在△POC中，由正弦定理，得OPsin∠PCO＝CPsinθ.∴2sin120°＝CPsinθ，∴CP＝43sinθ.又OCsi