大学物理课件：第八章

第八章真空中的稳恒磁场一、基本要求1．掌握磁感应强度的概念。理解毕奥－萨伐尔定律。能计算一些简单问题中的磁感应强度。2．理解稳恒磁场的规律：磁场的高斯定理和安培环路定理。理解用安培环路定理计算磁感应强度的条件和方法。3．理解安培定律和洛仑兹力公式。了解磁矩的概念。能计算简单几何形状载流导体和载流平面线圈在均匀磁场中或在无限长直载流导线产生的非均匀磁场中所受的力和力矩。能分析点电荷在均匀电磁场（包括纯电场，纯磁场）中的受力和运动。二、基本内容1.基本概念：电流产生磁场，描述磁场的基本物理量——磁感应强度矢量，磁场线，磁通量，磁场对电流的作用。2.毕奥－萨伐尔定律电流元dlI在空间某点激发的磁感应强度为：0024ddrlrBI其中，r表示从电流元到该点的距离，0r表示从电流元到该点的单位矢量。从该定律可以直接得到在直电流的延长线和反向延长线上各点的磁感应强度为零。它是求解磁场的基本规律，它从电流元的磁场出发，可得到计算线电流产生磁场的方法002()()4LLddrlrBBI应用上式在教材中导出了一些电流产生磁场的计算公式，包括：一段直电流在空间任意一点的磁场，无限长直载流导线在空间任意一点的磁场，圆电流在轴线上各点的磁场，一段载流圆弧在圆心处的磁场，圆电流在圆心处的磁场。这些计算公式在求解问题时可以直接使用。3.磁场的叠加原理121nniiBBBBB该原理表明多个电流在空间某点产生的磁场，等于各电流单独存在时在该点处产生的磁场的矢量和。将磁场的计算公式和叠加原理结合使用，可以求解多种电流在空间某点产生的磁场。在计算中首先应该将复杂的电流分成计算公式已知的电流段，然后分段计算，最后求出矢量和。对于电流连续分布的载流体，可以选择合适的电流元dI，用已知公式求出电流元在所求点的磁场dB，然后根据dB的分布特点，建立合适的坐标系，求出各个磁场分量，最后求其矢量和。4.磁场中的高斯定理()0SdBS该定理表明：磁场是无源场，磁场线是无头无尾的闭合曲线。应用该定理求解均匀磁场中非闭合曲面的通量时，可以作平面，使平面和曲面形成闭合曲面，由于闭合曲面的通量为零，即曲面的通量等于平面通量的负值，从而达到以平代曲的目的。5.安培环路定理01NiLidIBl该定理表明：磁场是有旋场，磁场是非保守力场。应用该定理时，首先应该注意穿过以L为边界的任意曲面的电流的正负；其次应该知道环流为零，环路上各点的磁感应强度不一定为零。在应用定理求解具有轴对称电流分布的磁场和均匀磁场的磁感应强度时，要根据电流的对称性和磁场的性质选择合适的环路L。6.安培定律电流元在外磁场中受安培力为：dIdflB其中，df的大小sinIdlBdf，df方向由IdlB确定。该定律是计算磁场对电流的作用的基本定律。一段载流导线在磁场中受到的安培力为：()()LLdIdfflB应用上式时，应该注意电流上各点的磁场是否均匀及磁力的分布特点。如果电流上各点的磁场相等，并且是一段直电流，可以先求出导线上的磁场，然后用公式sinBLIf求出结果；如果电流上各点所受的磁力的大小不同但方向相同，可以先在电流上取一小线段dl，求出dl段电流所受的磁力，然后通过标量积分得结果；如果电流上各点所受的磁力的大小不同方向分布在一个平面上，可以先在电流上取一小线段dl，求出dl段电流所受的磁力，然后建立直角坐标，积分求出磁力分量，最后合成，求得电流所受到的磁场力。8．载流线圈在磁场中受到的力矩mMPB式中0mISPn，S为线圈所围的面积，0n为线圈面元法向的单位矢量，mP称为载流线圈的磁矩，其数值为ISPm。若线圈为N匝时，NISPm。9．洛伦兹力运动电荷q在外磁场中所受的洛伦兹力为：qfBv洛伦兹力的方由Bv的方向和q的正负决定。当q的为正时，洛伦兹力的方向与Bv的方向相同；当q的为负时，洛伦兹力的方向与Bv的方向相反。三、习题选解8-1如图所示，一根无限长直导线通有电流I，但中部一段弯曲成圆弧形，圆弧BEC的曲率半径为R，所对圆心角为120。求图中圆心O处的磁感应强度矢量的大小和方向。题8-1图解：点O的磁感应强度由直线AB，CD及圆弧BEC三部分载流导线所产生。0ABCDBECBBBB由于对称性AB和CD在O点产生的磁感应强度相等，方向均垂直纸面向里。由教材（8.12式）得00(cos150cos180)0.674cos60ABCDIIBBRR00(sin90sin60)0.0674cos60IIRR在BEC圆弧上任取一电流元Idl如图()a所示，它在O点产生的磁感应强度的方向也垂直于纸面向里，量值为dRIRIRdRIdldB44402020导线BEC在O产生的磁感应强度12000002(0)4436BECIIIBdBdRRR题8-1()a图000020.0670.216ABCDBECIIIBB+BBRRR方向垂直纸面向里。8-2有两个圆形线圈AA和BB，其平面相互正交，圆心重合的放置。AA线圈的半径cmRA20，共10匝，通以电流A0.10；BB线圈半径cmRB10，共20匝，通以电流A0.5。求公共圆心O处的0B矢量。解：线圈AA在圆心O处的磁感应强度TRINB41110110143.32线圈BB在圆心O处的磁感应强度TRINB42220210285.62故TBBB422211003.7题8-2图0.2tan12BB63.438-3如图所示，有两根导线沿半径引向圆环电阻上的BA、两点，并在很远处与电源相连。求环中心的磁感应强度。解：两根导线的延长线通过圆心O，则在圆心O产生的磁感应强度为零，O点的磁感应强度由AB和AEB两载流圆弧产生0ABAEBBBBIABI1+I2EOR-I题8-3图0101112224ABIIlBlRRR方向垂直纸面向里02224AEBIBlR方向垂直纸面向外圆弧AB和AEB组成并联电路，电阻分别为1R、2R，则2211RIRI又SlR11SlR22故2211lIlIO点磁感应强度0011222()04ABAEBBBBIlIlR8-4将一根导线做成n边的多边形，多边形的外接圆半径为a，设导线中有电流I，求外接圆中心处的磁感应强度的大小。解：对于n边多边形，每一边b在圆心产生的磁感应强度dB的大小，方向都相同。)sin(sin40hIdB0(sinsin)4Ih002sin22bIIhhatan22200aIahbI题8-4图tan20anIndBB又n22，n故)tan(20nanIB8-5如图所示，有一闭合回路由半径为a和b的两个同心共面半圆连接而成，其上均匀分布线密度为的电荷，当回路以匀角速度绕过O点垂直于回路平面的轴转动时，求圆心O点处的磁感应强度的大小。解：小圆环带电aq1，大圆环带电bq2，两环转动时相当于两圆电流1I、2I题8-5图112qI，222qI在O点产生的磁场分别为aIB2101，bIB2202001414aaB题8-5图44002bbB在AB段距O点为l处任取线元dl，带电dldq,转动时线元相当于一圆电流dqdI2,在O点产生磁感应强度为dllldIdB42003AB段在O点产生的磁场babaabldllBln4)(ln440003同理CD段在O点产生的磁场abBln4042ln2004321abBBBBB8-6如图所示，在半径为1R和2R的两圆周之间，有一总匝数为N的均匀密绕平面螺旋线圈通以电流I，求线圈中心O点处的磁感应强度。解：均匀密绕平面螺旋电流可视作由许多圆题8-6图形电流所组成在距圆心O为R处取一圆电流dIdRRRNIdI)(12该圆电流在O点产生的磁感应强度dBdRRRNRIdIRdB120022整个螺旋线圈在O点产生的磁感应强度2100221211ln2()2()RRNINIRdRBdBRRRRRRB的方向垂直纸面向外。8-7如图所示，两个共面的平面带电圆环，其内外环半径分别为1R、2R、3R，外面的圆环以每秒2n转的转速顺时针转动，里面圆环以每秒1n转的转速反时针转动。若电荷面密度都是，求1n和2n的比值多大时O点处磁感应强度为零。题8-7图解：均匀带电圆环可视作由许多均匀带电环带组成，任一环带所电量为drrdq2。当环带以每秒n转旋转时，带电环形成圆电流ndqdI，在O产生磁感应强度为rdIdB20外圆环在O产生磁场32)(2223202022RRRRndrrnrdBB内圆环在O产生磁场)(221210101121RRndrrnrdBBRR12、BB方向相反，012BBB。若使O点磁场为零，需21BB则122321RRRRnn8-8如图所示，一半径cmR0.1的无限长41圆柱形金属薄片，沿轴向通有AI0.10的电流，设电流在金属薄片上均匀分布，试求圆柱轴线上任意一点P的磁感应强度。题8-8图解：无限长41圆金属薄片电流可看作由许多狭长条电流组成，任一狭长条电流为dlRIIRdldI242在P点产生的磁感应强度的方向如图，大小为dlRIRdIdB22002在P点建立直角坐标系（如图所示），y轴与BP夹角为45，由于对称性0xxdBB44cosyyBdBdB004422244cossinIIRddRR题8-8图TRIRI42020108.12)4sin(4sin41.810yBTBjj8-9半径为R的塑料薄圆盘均匀带有电荷Q，圆盘绕通过盘心且垂直于盘面的轴转动，每秒钟的转数为n。求盘心的磁感应强度。解：圆盘带电荷Q，电荷面密度2RQ，在薄圆盘上取半径为r宽为dr的面元dS。其电量为22222QQrdSrdrrdrdrRRdq圆盘转动时面元dS相当一圆电流drRnQrndqdI22在盘中心处产生磁场drRnQrdIdB2002题8-9图则整个圆盘在O点产生磁感应强度RRnQdrRnQdBB0020B方向垂直纸面向里8-10两块平行的大金属板上有均匀电流流通，面电流密度都是j，但方向相反，求板间合板外的磁场分布。解：坐标轴如图所示，并设板中电流沿轴方向流动。由例8-8可知，无限大载流平板外两侧的磁场都是均匀场，在平板两侧B的大小相等，但方向相反。板1的电流所产生的磁场201jB其方向在板1左侧沿x轴负方向，12yx题8-10图在板1右侧沿x轴正方向；板2电流所产生的磁场202jB其方向在板2左侧沿x轴方向，在板2右侧沿x轴负方向。这样，在两个电流板将全空间分成的三个区域（板1左侧，两板之间，板2右侧）中，只有两板之间1B和2B的方向相同从而相互迭加，在两板之外全部抵销为零，在板间0jBi。8-11矩形截面的螺绕环的内外直径分别为1D和2D，厚度为h。（1）试求环内磁感应强度的分布；（2）试证明通过螺绕环截面的磁通量mΦ为021ln2NIhDD，其中N为螺绕环的总匝题8-11图数，I为线圈中的电流强度。解：（1）根据电流分布的对称性，可得与螺绕环共轴的圆周上各点B的大小相等，方向沿圆周的切线方向。以在环内顺着环管的半径为r的圆周为安培回路L，则2dBrBl该环路所包围的电流为NI，故安培环路定理给出NIrB02由此得rNIB20（在管内）对于管