中考数学专题：立体几何中的运动问题.尖子班

85第6讲·尖子班·教师版请思考以下问题？1．立体几何北京市五年高考三年模拟都仔细研究了吗？2．对于建系，列点，计算法向量等基本流程熟练吗？3．北京市高考立体几何多以3问的形式出现，第三问以探索性展开，自己是否对此进行了足量的应对训练？4．2015北京理数第8题和2016北京理数第14题，你做的怎么样？5．你知道学案贴吧吗？请在学案贴吧写出你在本节学习中的收获．1.（2006北京卷）平面的斜线AB交于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交于点C，则动点C的轨迹是（）A．一条直线B．一个圆C．一个椭圆D．双曲线的一支【解析】A2.（2006陕西卷）已知平面外不共线的三点ABC，，到的距离都相等，则正确的结论是（）A．平面ABC必平行于B．平面ABC必与相交C．平面ABC必不垂直于D．存在ABC△的一条中位线平行于或在内【解析】D思维训练课前思考立体几何中的运动问题86第6讲·尖子班·教师版3.（2010全国II理11）与正方体1111ABCDABCD的三条棱AB、1CC、11AD所在直线的距离相等的点（）A．有且只有1个B．有且只有2个C．有且只有3个D．有无数个【解析】D4.（2008辽宁理11文12）在正方体1111ABCDABCD中，,EF分别为棱11,AACC的中点，则在空间中与三条直线11,,ADEFCD都相交的直线（）A．不存在B．有且只有两条C．有且只有三条D．有无数条【解析】D5.正四棱锥SABCD中，侧棱与底面所成角为，侧面与底面所成二面角为，侧棱SB与底面正方形ABCD的对角线AC所成角为，相邻两侧面所成二面角为，则、、、之间的大小关系是________【解析】教师备案该板块列出了立体几何与空间向量的知识点网络体系，可以作为学生对自己知识与基本方法掌握情况的检验．可以重点梳理一下平行关系转化与垂直关系转化的具体过程．结合知识回顾梳理一下空间向量解决立体几何问题的方法．知识纵横点与线点在直线上点在直线外点与面点在面内点在面外相交空间几何体柱体棱柱圆柱正棱柱、长方体、正方体台体圆台锥体圆锥球三棱锥、四面体、正四面体三视图直观图体积棱台棱锥侧面积、表面积只有一个公共点长对正高平齐宽相等OSEDCBA87第6讲·尖子班·教师版考点1：角度小题转化例举【例1】⑴设直线l平面，过平面外一点A与l，都成30角的直线有且只有（）A．1条B．2条C．3条D．4条⑵（2009重庆卷理）已知二面角l的大小为50，P为空间中任意一点，则过点P且与平面和平面所成的角都是25的直线的条数为（）A．2B．3C．4D．5【解析】⑴B⑵B【备选】（2010江西理10）过正方形1111ABCDABCD的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，1AA所成的角都相等，这样的直线l可以作（）A．1条B．2条C．3条D．4条【解析】D【备选】已知异面直线ab，成60角．A为空间一点则过A与ab，都成45角的平面有________个．【追问】把题目中45改成30，20，答案又分别是多少？【解析】2把ab，平移至A的位置为','ab，则符合情况的平面经过','ab的角分线，而角分线分为两种．每种旋转的角的范围分别为030060，，，，只有在060，的时候有两种符合情况的情形．考点2：距离小题转化例举【铺垫】（北京2013理14）如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，E为BC的中点，点P在线段1DE上，点P到直线1CC的距离的最小值为．【解析】255【例2】⑴在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记π()BfA．设，是两个不同的平面，对空间任意一点P，1QffP，2QffP，恒有12PQPQ，则（）A．平面与平面垂直B．平面与平面所成的（锐）二面角为45C．平面与平面平行D．平面与平面所成的（锐）二面角为60例题精讲D1C1B1A1DCBAEPDCBAC1B1A1D188第6讲·尖子班·教师版⑵（2006安徽卷）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为12，和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：______（写出所有正确结论的编号．．）①3②4③5④6⑤7【解析】⑴A；⑵①③④⑤【备选】（2008江西理16）如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P．如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图2）．有下列四个命题：A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点PC．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点PD．若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是：（写出所有真命题的代号）．【解析】BD．考点3：三视图【铺垫】一条线段在三个视图中的视图长度分别为122，，，则这条线段原长为．【解析】3【铺垫】（2012北京理7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A．2865B．3065C．56125D．60125PP图12图αCDBAD1B1A1C14234正（主）视图侧（左）视图俯视图89第6讲·尖子班·教师版【解析】B【例3】⑴（2013新课标II7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是101，，，110，，，011，，，000，，，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（）ABCD⑵某几何体的三视图如图所示，则其体积为．1121⑶（2013海淀高三期末理12）三棱锥DABC及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱BD的长为________．左视图主视图ABDC23422【解析】⑴A；⑵π3；⑶42．考点4：立体几何背景下的函数问题【铺垫】（2008北京理8）如图，动点P在正方体1111ABCDABCD的对角线1BD上．过点P作垂直于平面11BBDD的直线，与正方体表面相交于MN，．设BPx，MNy，则函数()yfx的图象大致是（）PNMABCDA1B1C1D1DCBAxyOxyOxyOOyx90第6讲·尖子班·教师版【解析】B【例4】⑴（2012朝阳高三期末7）已知正方形ABCD的边长为22，将ABC△沿对角线AC折起，使平面ABC平面ACD，得到如图所示的三棱锥BACD．若O为AC边的中点，M，N分别为线段DC，BO上的动点（不包括端点），且BNCM．设BNx，则三棱锥NAMC的体积yfx的函数图象大致是（）121Oyx121xyOA．B．121Oyx121xyOC．D．⑵（2012丰台高三期末8）如图，P是正方体1111ABCDABCD对角线1AC上一动点，设AP的长度为x，若PBD△的面积为()fx，则()fx的图象大致是（）OyxOyxA．B．OyxOyxC．D．⑶（2012江西10）如右图，已知正四棱锥SABCD所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记(01)SExx，截面下面部分的体积为()Vx，则函数()yVx的图象大致为（）A．B．ONMDCBAPABCDA1B1C1D1EDCBAS91第6讲·尖子班·教师版C．D．【解析】⑴B；⑵A；⑶A；考点5：立体几何探索性问题【铺垫】（2012北京理16）如图1，在RtABC△中，90C，3BC，6AC．D，E分别是AC，AB上的点，且DEBC∥，2DE，将ADE△沿DE折起到1ADE△的位置，使1ACCD，如图2．⑴求证：1AC平面BCDE；⑵若M是1AD的中点，求CM与平面1ABE所成角的大小；⑶线段BC上是否存在点P，使平面1ADP与平面1ABE垂直？说明理由．【解析】⑴CDDE，1AEDEDE平面1ACD，又1AC平面1ACD，1ACDE又1ACCD，1AC平面BCDE．⑵CM与平面1ABE所成角的大小45．⑶设线段BC上存在点P，设P点坐标为00a，，，则03a，则1023APa，，，20DPa，，设平面1ADP法向量为1111nxyz，，则111123020ayzxay∴11113612zayxayACDEBA1MCBED图1图2zyxA1(0,0,23)D(-2,0,0)E(-2,2,0)B(0,3,0)C(0,0,0)M92第6讲·尖子班·教师版∴1363naa，，假设平面1ADP与平面1ABE垂直则10nn，∴31230aa，612a，2a．∵03a，∴在线段BC上不存在点P，使平面1ADP与平面1ABE垂直．【铺垫】（2013北京理17）如图，在三棱柱111ABCABC中，11AACC是边长为4的正方形．平面ABC平面11AACC，3AB，5BC．⑴求证：1AA平面ABC；⑵求二面角111ABCB的余弦值；⑶证明：在线段1BC上存在点D，使得1ADAB，并求1BDBC的值．C1B1A1CBA【解析】⑴∵11AACC为正方形，∴1AAAC．∵平面ABC平面11AACC，且1AA垂直于这两个平面的交线AC，∴1AA平面ABC．⑵二面角111ABCB的余弦值为1625．⑶设111Dxyz，，是线段1BC上一点，且1BDBC．所以1113434xyz，，，，．解得14x，133y，14z．所以4334AD，，．由10ADAB，即9250，解得925．因为90125，，所以在线段1BC上存在点D，使得1ADAB．此时，1925BDBC．【例5】（2013天津）如图，四棱柱1111ABCDABCD中，侧棱1AA底面ABCD，ABDC∥，ABAD，1ADCD，12AAAB，E为棱1AA的中点．⑴证明11BCCE；⑵求二面角11BCEC的正弦值．⑶设点M在线段1CE上，且直线AM与平面11ADDA所成角的正弦ED1C1B1A1DCBADzyxC1B1A1CBA93第6讲·尖子班·教师版值为26，求线段AM的长．【解析】方法一如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得000A，，，002B，，，101C，，，1022B，，，1121C，，，010E，，．MED1A1C1B1ADCBxyz⑴易得11101BC，，，111CE，，，于是110BCCE，所以11BCCE⊥．⑵所以二面角11BCEC的正弦值为217．⑶2AM．【例6】如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，2AB，1AF，M是线段EF的中点．⑴求证AM∥平面BDE；⑵求二面角ADFB的大小；⑶试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60．【解析】方法二⑴建立如图所示的空间直角坐标系．设ACBDN，连接NE，则点N、E的坐标分别是22022，，、001，，，∴22122NE，，，又点AM，的坐标分别是220，，、22122，，∴22122AM，，EDABMCFNyxz94第6讲·尖子班·教师版∴NEAM且NE与AM不共线，∴NEAM∥．又∵NE平面BDE，AM平面BDE，∴AM∥平面BDF．⑵即所求二面角ADFB的大小是60．⑶点P是AC的中点．考点6：备案—立体几何综合题【例7】（2013福建19）如图，在四棱柱1111ABCDABCD中，侧棱1AA底面ABCD，ABDC∥，11AA，3ABk，4ADk，5BCk，6DCk，（0k），⑴求