中考数学考点讲解：二次函数的图象与性质

第12讲二次函数第1课时二次函数的图象与性质知识点1二次函数的概念1．关于x的函数y＝(m＋1)x2＋(m－1)x＋m，当m＝0时，它是二次函数；当m＝－1时，它是一次函数．知识点2二次函数的图象与性质2．已知h与t的函数关系式为h＝12gt2(g为常数，t为时间)，则函数图象为(A)3．抛物线y＝12x2，y＝x2，y＝－x2的共同性质是：①都是开口向上；②都以(0，0)为顶点；③都以y轴为对称轴；④都关于x轴对称．其中正确的个数有(B)A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，抛物线顶点坐标是P(1，3)，则函数y随自变量x的增大而减小的x的取值范围是(C)A．x＞3B．x＜3C．x＞1D．x＜15．二次函数y＝x2－2x－3的最小值是－4．知识点3二次函数图象的平移6．抛物线y＝(x＋2)2－3由抛物线y＝x2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到．7．将抛物线y＝2(x－1)2＋2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，那么得到的抛物线的表达式为y＝2(x＋2)2－2．知识点4确定二次函数的解析式8．已知二次函数的图象如图，则其解析式为(B)A．y＝x2－2x＋3B．y＝x2－2x－3C．y＝x2＋2x－3D．y＝x2＋2x＋39．若抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是A(2，1)，且经过点B(1，0)，则抛物线的函数关系式为y＝－x2＋4x－3．知识点5二次函数与方程、不等式10．抛物线y＝x2＋2x＋m－1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是(A)A．m＜2B．m＞2C．0＜m≤2D．m＜－211．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是(A)A．－1＜x＜3B．x＞3C．x＜－1D．x＞3或x＜－1重难点1二次函数的图象和性质(2017·枣庄)已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是(D)A．当a＝1时，函数图象经过点(－1，1)B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点C．若a＜0，函数图象的顶点始终在x轴的下方D．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大【思路点拨】(1)将a＝1代入原函数解析式，令x＝－1求出y值，由此得出A选项不符合题意；(2)将a＝2代入原函数解析式，令y＝0，根据根的判别式Δ＝8＞0，可得出当a＝－2时，函数图象与x轴有两个不同的交点，即B选项不符合题意；(3)利用配方法找出二次函数图象的顶点坐标，令其纵坐标小于零，可得出a的取值范围，由此可得出C选项不符合题意；(4)利用配方法找出二次函数图象的对称轴，结合二次函数的性质，即可得出D选项符合题意．【变式训练1】(2016·兰州)点P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(D)A．y3y2y1B．y3y1＝y2C．y1y2y3D．y1＝y2y3【变式训练2】(2017·泰安)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：x－1013y－3131下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x＝1；③当x1时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2＋bx＋c＝0有一个根大于4.其中正确的结论有(B)A．1个B．2个C．3个D．4个,方法指导解决二次函数图象和性质相关题，首先需明确二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标等与解析式中相关字母的关系，若确定解析式，也可通过将解析式配方，得出函数的对称轴，顶点坐标，函数图象与坐标轴的交点等，从而画出函数大致图象，再利用数形结合思想解题．方法指导比较抛物线上点的纵坐标大小的基本方法有以下三种：(1)利用抛物线上对称点的纵坐标相等，把各点转化到对称轴的同侧，再利用二次函数的增减性进行比较；(2)当已知抛物线的解析式及相应点的横坐标时，可先求出相应点的纵坐标，然后比较大小；(3)利用“开口向上，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越小，开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越大”比较大小．重难点2同一坐标系中的函数图象共存问题(2016·毕节)一次函数y＝ax＋c(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一个坐标系中的图象可能是(D)【变式训练3】函数y＝kx与y＝－kx2＋k(k≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是(B)方法指导解决函数图象共存问题主要有以下三种方法：(1)排除法：根据已知条件中得出的结论直接排除某选项，如：本例由已知条件可知两个函数的常数项都是c，说明两个函数图象与y轴交于同一个点，所以排除A选项；(2)同一法：一般可以先假定其中一种函数的图象(如：一次函数，反比例函数)，再根据函数图象得到该函数解析式中字母的范围，去判断另一个函数图象是否正确．如：本例B选项，若一次函数图象正确，则a0，c0，这与抛物线开口向上相矛盾．故B选项错误．重难点3二次函数图象与字母系数的关系(2016·随州)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(－1，0)，对称轴为直线x＝2，下列结论：(1)4a＋b＝0；(2)9a＋c3b；(3)8a＋7b＋2c0；(4)若点A(－3，y1)，点B(－12，y2)、点C(72，y3)在该函数图象上，则y1y3y2；(5)若方程a(x＋1)(x－5)＝－3的两根为x1和x2，且x1x2，则x1－15x2.其中正确的结论有(B)A．2个B．3个C．4个D．5个【思路点拨】(1)利用对称轴公式判别；(2)观察形式发现当x＝－3时，y＝9a－3b＋c＜0，可得9a＋c＜3b；(3)根据对称轴为x＝2，得b＝－4a，则8a＋7b＋2c＝－20a＋2c，由a＜0，c0，可得－20a＋2c0；(4)抛物线的开口向下，距离对称轴越远，纵坐标越小；(5)方程a(x＋1)(x－5)＝－3的两根x1和x2为直线y＝－3与抛物线y＝a(x＋1)(x－5)的两个交点的横坐标，这两个交点在抛物线y＝a(x＋1)(x－5)与x轴两交点的两侧，因此x1－15x2.【变式训练4】(2017·荆门)在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的大致图象如图所示，则下列结论正确的是(D)A．a0，b0，c0B．－b2a＝1C．a＋b＋c0D．关于x的方程ax2＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根变式训练4图变式训练5图【变式训练5】(2017·广安)如图所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为B(－1，3)，与x轴的交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，以下结论：①b2－4ac＝0；②a＋b＋c0；③2a－b＝0；④c－a＝3，其中正确的有(B)A．1个B．2个C．3个D．4个方法指导解答二次函数的图象信息问题，通常先抓住抛物线的对称轴和顶点坐标，再依据图象与字母系数之间的关系求解．常考的一些式子的判断方法如下：(1)判断2a＋b与0的关系，需比较对称轴与1的大小；判断2a－b与0的关系，需比较对称轴与－1的大小；(2)判断a＋b＋c与0的关系，需看x＝1时的纵坐标，即比较x＝1时函数值与0的大小；判断a－b＋c与0的关系，需看x＝－1时的纵坐标，即比较x＝－1时函数值与0的大小；(3)判断4a＋2b＋c与0的关系，需看x＝2时的纵坐标，即比较x＝2时函数值与0的大小；判断4a－2b＋c与0的关系，需看x＝－2时的纵坐标，即比较x＝－2时函数值与0的大小．1．(人教九上教材P37练习的变式题)(2017·长沙)抛物线y＝2(x－3)2＋4的顶点坐标是(A)A．(3，4)B．(－3，4)C．(3，－4)D．(2，4)2．(2017·连云港)已知抛物线y＝ax2(a0)过A(－2，y1)，B(1，y2)两点，则下列关系式一定正确的是(C)A．y10y2B．y20y1C．y1y20D．y2y103．(2017·襄阳)将抛物线y＝2(x－4)2－1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为(A)A．y＝2x2＋1B．y＝2x2－3C．y＝2(x－8)2＋1D．y＝2(x－8)2－34．(2017·兰州)下表是一组二次函数y＝x2＋3x－5的自变量x与函数值y的对应值：x11.11.21.31.4y－1－0.490.040.591.16那么方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是(C)A．1B．1.1C．1.2D．1.35．(2016·临沂)二次函数y＝ax2＋bx＋c，自变量x与函数y的对应值如下表：x…－5－4－3－2－10…y…40－2－204…下列说法正确的是(D)A．抛物线的开口向下B．当x＞－3时，y随x的增大而增大C．二次函数的最小值是－2D．抛物线的对称轴是直线x＝－526．(2017·六盘水)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则(B)A．b0，c0B．b0，c0C．b0，c0D．b0，c07．(2017·广州)a≠0，函数y＝ax与y＝－ax2＋a在同一直角坐标系中的大致图象可能是(D)8．(易错易混)(2017·徐州)若函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是(A)A．b1且b≠0B．b1C．0b1D．b19．(2017·苏州)若二次函数y＝ax2＋1的图象经过点(－2，0)，则关于x的方程a(x－2)2＋1＝0的实数根为(A)A．x1＝0，x2＝4B．x1＝－2，x2＝6C．x1＝32，x2＝52D．x1＝－4，x2＝010．(2017·邵阳)若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则a的值可能是答案不唯一，如：－2．(写一个即可)11．(2017·广州)当x＝1时，二次函数y＝x2－2x＋6有最小值5．12．(2017·兰州)如图，若抛物线y＝ax2＋bx＋c上的P(4，0)，Q两点关于它的对称轴x＝1对称，则Q点的坐标为(－2，0)．第12题图第13题图13．(2017·咸宁)如图，直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于A(－1，p)，B(4，q)两点，则关于x的不等式mx＋nax2＋bx＋c的解集是x－1或x4．14．(2017·广东改编)在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋ax＋b交x轴于A(1，0)，B(3，0)两点，求抛物线y＝－x2＋ax＋b的解析式．解：因为抛物线y＝－x2＋ax＋b交x轴于A(1，0)，B(3，0)两点，所以可设抛物线y＝－x2＋ax＋b的解析式为y＝k(x－1)(x－3)，即y＝k(x2－4x＋3)．故k＝－1.所以抛物线的解析式为y＝－x2＋4x－3.15．(2017·南京)已知函数y＝－x2＋(m－1)x＋m(m为常数)．(1)该函数的图象与x轴公共点的个数是(D)A．0B．1C．2D．1或2(2)求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y＝(x＋1)2的图象上；(3)当－2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．解：(2)y＝－x2＋(m－1)x＋m＝－(x－m－12)2＋（m＋1）24，所以该函数的图象的顶点坐标为m－12，（m＋1）24.把x＝m－12代入y＝(x＋1)2，得y＝(m－12＋1)2＝（m＋1）24.因此，不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y＝(x＋1)2的图象上．(3)设函数z＝（m＋1）24.当m＝－1时，z有最小值0.当m－1时，z随m的增大而减小；当m－1时，z随m的增大而增大．又当m＝－2时，z＝（－2＋1）24＝14；当m＝3时，z＝（3＋1）24＝4.因此，当－2≤m≤3时，该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围是0≤z≤4.16．(2017·绵阳)将二次函数y＝x2的图象先向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的图象与一次函数y＝2x＋b的图象有公共点，则实数b的取值范围是(D)A．b8B．b－8C．b≥8D．b≥－817．(2017·嘉兴)下列关于函数y＝x2－6x＋10的四个命题：①当x＝0时，y有最小值1