中考数学考点滚动小专题：与圆的有关计算与证明

滚动小专题(十一)与圆的有关计算与证明类型1与圆的基本性质有关的计算与证明1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD.(1)求证：BD平分∠ABC；(2)当∠ODB＝30°时，求证：BC＝OD.证明：(1)∵OD⊥AC，OD为半径，∴CD︵＝AD︵.∴∠CBD＝∠ABD.∴BD平分∠ABC.(2)∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝30°.∴∠AOD＝∠OBD＋∠ODB＝30°＋30°＝60°.又∵OD⊥AC于E，∴∠OEA＝90°.∴∠A＝180°－∠OEA－∠AOD＝180°－90°－60°＝30°.又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.在Rt△ACB中，BC＝12AB，又∵OD＝12AB，∴BC＝OD.2．(2017·安徽)如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠B＝∠D，AD不平行于BC，过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆O于点E，连接AE.(1)求证：四边形AECD为平行四边形；(2)连接CO，求证：CO平分∠BCE.证明：(1)∵∠B＝∠D，∠B＝∠E，∴∠D＝∠E.∵CE∥AD，∴∠E＋∠DAE＝180°.∴∠D＋∠DAE＝180°，∴AE∥DC.∴四边形AECD是平行四边形．(2)过点O作OM⊥EC，ON⊥BC，垂足分别为M，N.∵四边形AECD是平行四边形，∴AD＝EC.又AD＝BC，∴EC＝BC.∴OM＝ON.∴CO平分∠BCE.3．(2017·苏州)如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，点D在⊙O上，OD∥BC，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CD交OE边于点F.(1)求证：△DOE∽△ABC；(2)求证：∠ODF＝∠BDE；(3)连接OC，设△DOE的面积为S1，四边形BCOD的面积为S2，若S1S2＝27，求sinA的值．解：(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵DE⊥AB，∴∠DEO＝90°.∴∠DEO＝∠ACB.∵OD∥BC，∴∠DOE＝∠ABC.∴△DOE∽△ABC.(2)证明：∵△DOE∽△ABC，∴∠ODE＝∠A.∵∠A和∠BDC是BC︵所对的圆周角，∴∠A＝∠BDC.∴∠ODE＝∠BDC.∴∠ODF＝∠BDE.(3)∵△DOE∽△ABC，∴S△DOES△ABC＝(ODAB)2＝14，即S△ABC＝4S△DOE＝4S1.∵OA＝OB，∴S△BOC＝12S△ABC，即S△BOC＝2S1.∵S1S2＝27，S2＝S△BOC＋S△DOE＋S△DBE＝2S1＋S1＋S△DBE，∴S△DBE＝12S1.∴BE＝12OE，即OE＝23OB＝23OD.∴sinA＝sin∠ODE＝OEOD＝23.类型2与圆的切线有关的计算与证明4．(2017·黄石)如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于点D，连接BD并延长至F，使得BD＝DF，连接CF，BE.(1)求证：DB＝DE；(2)求证：直线CF为⊙O的切线．证明：(1)∵E为△ABC的内心，∴∠DAC＝∠DAB，∠CBE＝∠EBA.又∵∠DBC＝∠DAC，∠DBE＝∠DBC＋∠CBE，∠DEB＝∠EAB＋∠EBA，∴∠DBE＝∠DEB.∴DB＝DE.(2)连接DC.∵∠DAB＝∠DAC，∴BD＝CD.又∵BD＝DF，∴BD＝CD＝DF.∴∠BCF＝90°.∴OC⊥CF，即直线CF为⊙O的切线．5．(2017·金华)如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连接OC，AC.(1)求证：AC平分∠DAO；(2)若∠DAO＝105°，∠E＝30°.①求∠OCE的度数；②若⊙O的半径为22，求线段EF的长．解：(1)证明：∵直线CD与⊙O相切，∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD，∴AD∥OC.∴∠DAC＝∠OCA.又∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA.∴∠DAC＝∠OAC.∴AC平分∠DAO.(2)①∵AD∥OC，∴∠EOC＝∠DAO＝105°，∵∠E＝30°，∴∠OCE＝45°.②作OG⊥CE于点G，可得FG＝CG.∵OC＝22，∠OCE＝45°，∴OG＝CG＝2.∴FG＝2.∵在Rt△OGE中，∠E＝30°，∴GE＝23.∴EF＝GE－FG＝23－2.6．(2017·贵港)如图，在菱形ABCD中，点P在对角线AC上，且PA＝PD，⊙O是△PAD的外接圆．(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若AC＝8，tan∠BAC＝22，求⊙O的半径．解：(1)证明：连接OP，OA，OP交AD于E，∵PA＝PD，∴AP︵＝DP︵.∴OP⊥AD，AE＝DE.∴∠DAC＋∠OPA＝90°.∵OP＝OA，∴∠OAP＝∠OPA.∴∠DAC＋∠OAP＝90°.∵四边形ABCD为菱形，∴∠DAC＝∠BAC.∴∠BAC＋∠OAP＝90°.∴OA⊥AB.∴AB是⊙O的切线．(2)连接BD，交AC于点F，∵四边形ABCD为菱形，∴DB与AC互相垂直平分．∵AC＝8，tan∠BAC＝22，∴AF＝4，tan∠DAC＝DFAF＝22.∴DF＝22.∴AD＝AF2＋DF2＝26.∴AE＝6.在Rt△PAE中，tan∠DAC＝PEAE＝22，∴PE＝3.设⊙O的半径为R，则OE＝R－3，OA＝R，在Rt△OAE中，∵OA2＝OE2＋AE2，∴R2＝(R－3)2＋(6)2.∴R＝332，即⊙O的半径为332.7．(2017·孝感)如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠ACB的平分线交⊙O于D，过点D作DE∥AB交CA的延长线于点E，连接AD，BD.(1)由AB，BD，AD︵围成的曲边三角形的面积是252＋25π4；(2)求证：DE是⊙O的切线；(3)求线段DE的长．解：(2)证明：连接OD.∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD.∴AD＝DB.又∵AB为直径，∴AD⊥DB，∴∠ADB＝90°.∴OD⊥AB.∵DE∥AB，∴OD⊥DE.∴DE是⊙O的切线．(3)∵AB＝10，AC＝6，∴BC＝AB2－AC2＝8.过点A作AF⊥DE于点F，则四边形AODF是正方形，∴AF＝OD＝FD＝5，∠BAF＝90°.∵∠EAF＋∠CAB＝90°，∠ABC＋∠CAB＝90°，∴∠EAF＝∠ABC.∴tan∠EAF＝tan∠ABC.∴EFAF＝ACBC，即EF5＝68.∴EF＝154.∴DE＝DF＋EF＝5＋154＝354.8．(2017·呼和浩特)如图，点A，B，C，D是直径为AB的⊙O上的四个点，C是劣弧BD︵的中点，AC与BD交于点E.(1)求证：DC2＝CE·AC；(2)若AE＝2，EC＝1，求证：△AOD是正三角形；(3)在(2)的条件下，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点H，求△ACH的面积．解：(1)证明：∵C是劣弧BD︵的中点，∴CD︵＝CB︵.∴∠DAC＝∠CDB.又∵∠ACD＝∠DCE，∴△ACD∽△DCE.∴ACDC＝CDCE.∴DC2＝CE·AC.(2)证明：∵AE＝2，CE＝1，∴AC＝3.∴DC2＝3，DC＝3.连接OC，OD，∵C是劣弧BD︵的中点，∴OC平分∠DOB.∴BC＝DC＝3.∵AB是⊙O的直径，∴AB＝AC2＋BC2＝9＋3＝23.∴OB＝OC＝OD＝BC＝DC＝3.∴∠BOC＝∠DOC＝60°.∴∠BOD＝120°.∴∠DOA＝60°.又∵OA＝OD，∴△AOD是正三角形．(3)∵CH是⊙O的切线，∴OC⊥CH.∵∠COH＝60°，∴∠H＝30°.∴AC＝CH＝3.∴S△AHC＝12×33×32＝934.9．(2017·成都)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F.(1)求证：DH是圆O的切线；(2)若A为EH的中点，求EFFD的值；(3)若EA＝EF＝1，求圆O的半径．解：(1)证明：连接OD.∵OB＝OD，∴△OBD是等腰三角形．∴∠OBD＝∠ODB.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∴∠ODB＝∠OBD＝∠ACB.∴OD∥AC.∵DH⊥AC，∴DH⊥OD.∴DH是⊙O的切线．(2)∵∠E与∠B都是AD︵所对的圆周角，∴∠E＝∠B，由(1)可知，∠E＝∠B＝∠C.∴△EDC是等腰三角形．又∵DH⊥AC且点A是EH中点，设AE＝x，EC＝4x，则AC＝3x.连接AD，∵AB是直径，∴AD⊥BD.又∵△ABC是等腰三角形，∴D是BC中点．∴OD是△ABC中位线．∴OD∥12AC，OD＝32x.∵OD∥AC，∴∠E＝∠ODF.在△AEF和△ODF中，∠E＝∠ODF，∠OFD＝∠AFE，∴△AEF∽△ODF.∴EFDF＝AEOD.∵AEOD＝x32x＝23，∴EFFD＝23.(3)设⊙O半径为r，即OD＝OB＝r.∵EF＝EA，∴∠EFA＝∠EAF.又∵OD∥EC，∴∠FOD＝∠EAF.∴∠FOD＝∠EAF＝∠EFA＝∠OFD，∴DF＝OD＝r.∵DE＝DF＋EF＝r＋1，∴BD＝CD＝DE＝r＋1.在⊙O中，∵∠BDE＝∠EAB，∴∠BFD＝∠EFA＝∠EAB＝∠BDE.∴BF＝BD，△BDF是等腰三角形．∴BF＝BD＝1＋r.∵AF＝AB－BF＝2OB－BF＝2r－(1＋r)＝r－1.在△BFD和△EFA中，∠BFD＝∠EFA，∠B＝∠E，∴△BFD∽△EFA.∵EFFA＝BFDF，1r－1＝r＋1r.解得r1＝1＋52，r2＝1－52(舍)．∴综上，⊙O的半径为1＋52.