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第7讲分式方程分式方程――→去分母整式方程――→解整式方程整式方程的解――→检验分式方程的解―→实际问题的解知识点1分式方程的解1．若关于x的方程2x＋ax－1＝1的解是正数，则a的取值范围是a－1且a≠－2．知识点2分式方程的解法2．解分式方程：(1)2x＋1＝1x－1；解：去分母，得2(x－1)＝x＋1.解得x＝3.经检验x＝3是分式方程的解．(2)1x－2－3＝x－12－x；解：方程两边同乘x－2，得1－3(x－2)＝－(x－1)，即1－3x＋6＝－x＋1.整理，得－2x＝－6.解得x＝3.检验，当x＝3时，x－2≠0.则原方程的解为x＝3.(3)x＋1x－1＋41－x2＝1.解：方程的两边同乘(x－1)(x＋1)，得(x＋1)2－4＝(x－1)(x＋1)，解得x＝1.检验：把x＝1代入(x－1)(x＋1)＝0.所以原方程无解．知识点3分式方程的增根3．若关于x的分式方程2x－3＋x＋m3－x＝2有增根，则m的值是(A)A．m＝－1B．m＝0C．m＝3D．m＝0或m＝3知识点4分式方程的实际应用4．某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本，求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x本资料，列方程正确的是(D)A.240x－20－120x＝4B.240x＋20－120x＝4C.120x－240x－20＝4D.120x－240x＋20＝45．王师傅检修一条长600米的自来水管道，计划用若干小时完成，在实际检修过程中，每小时检修的管道长度是原计划的1.2倍，结果提前2小时完成任务，王师傅原计划每小时检修管道多少米？解：设原计划每小时检修管道x米．由题意，得600x－6001.2x＝2.解得x＝50.经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意．答：原计划每小时检修管道50米．重难点1分式方程的解法(2017·随州T18，6分)解分式方程：3x2－x＋1＝xx－1.原方程可化为：3＋x2－x＝x2.2分解得x＝3.4分检验：当x＝3时，x(x－1)＝6≠0，5分∴x＝3是原方程的解.6分【变式训练1】(2017·湖州)解方程：2x－1＝1x－1＋1.解：方程两边同乘以x－1，得2＝1＋x－1.解得x＝2.检验：∵当x＝2时，x－1≠0，∴x＝2是原方程的解．易错提示解分式方程应避免以下四点：1．去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程中分母为0，故一定要检验．Ｋ2．去分母时，方程中的常数项要乘以最简公分母．3．去分母时，分子是多项式则需要加括号．如：1x＋1中，(x＋1)为一个整体，分数线充当括号作用．4．约分时，不能约去含有未知数的整式．重难点2由分式方程解的情况确定字母的值或取值范围若关于x的方程axx－2＝4x－2＋1无解，则a的值是1或2．【思路点拨】分式方程无解有两种情况：一是去分母后的整式方程无解；二是整式方程有解，但整式方程的解使最简公分母为0，必须舍去．本题分两种情况讨论．【变式训练2】(2017·泸州)若关于x的分式方程x＋mx－2＋2m2－x＝3的解为正实数，则实数m的取值范围是m6且m≠2.,方法指导1．已知分式方程的解，求方程中字母的值，只需要将方程的解直接代入方程中计算即可．2．已知分式方程解的范围，求方程中字母的取值范围问题，需要先用字母表示出分式方程的解，再代入解的范围，从而确定字母，但要特别注意隐含条件分式的分母不能为0.3．分式方程无解，需分两种情况讨论：①分式方程去分母整理后出现形如ax＝b时，当a＝0且b≠0时，方程无解，所以分式方程无解；②去分母后的整式方程有解，但整式方程的解使最简公分母为0，所以分式方程无解．重难点3分式方程的应用(2017·广州)甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路60公里，再由乙队完成剩下的筑路工程，已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的43倍，甲队比乙队多筑路20天．(1)求乙队筑路的总公里数；(2)若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为5∶8，求乙队平均每天筑路多少公里？【思路点拨】(1)根据甲队筑路60公里以及乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的43倍，即可求出乙队筑路的总公里数；(2)设乙队平均每天筑路8x公里，则甲队平均每天筑路5x公里．根据等量关系：甲队比乙队多筑路20天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【自主解答】(1)60×43＝80(公里)．答：乙队筑路的总公里数为80公里．(2)设乙队平均每天筑路8x公里，则甲队平均每天筑路5x公里，根据题意，得605x－808x＝20.解得x＝0.1.经检验：x＝0.1是原方程的解．∴8x＝0.8.答：乙队平均每天筑路0.8公里．【变式训练3】(2017·扬州)星期天，小明和小芳从同一小区门口同时出发，沿同一路线去离该小区1800米的少年宫参加活动，为响应“节能环保，绿色出行”的号召，两人都步行，已知小明的速度是小芳的速度的1.2倍，结果小明比小芳早6分钟到达，求小芳的速度．解：设小芳的速度是x米/分钟，则小明的速度是1.2x米/分钟．根据题意，得1800x＝18001.2x＋6.解得x＝50.经检验x＝50是原方程的解．答：小芳的速度是50米/分钟．方法指导列分式方程解决实际问题的关键是找到等量关系，恰当地设出未知数，列出方程．易错提示利用分式方程解应用题一定要注意检验，找出符合实际情况的答案．1．(2017·河南)解分式方程1x－1－2＝31－x，去分母得(A)A．1－2(x－1)＝－3B．1－2(x－1)＝3C．1－2x－2＝－3D．1－2x＋2＝32．(2017·孝感)方程2x＋3＝1x－1的解是(B)A．x＝53B．x＝5C．x＝4D．x＝－53．(2017·成都)已知x＝3是分式方程kxx－1－2k－1x＝2的解，那么实数k的值为(D)A．－1B．0C．1D．24．(2017·滨州)分式方程xx－1－1＝3（x－1）（x＋2）的解为(C)A．x＝1B．x＝－1C．无解D．x＝－25．(2017·聊城)如果解关于x的分式方程mx－2－2x2－x＝1时出现增根，那么m的值为(D)A．－2B．2C．4D．－46．(2017·南宁)一艘轮船在静水中的最大航速为35km/h，它以最大航速沿江顺流航行120km所用时间与以最大航速逆流航行90km所用时间相等，设江水的流速为vkm/h，则可列方程为(D)A.120v＋35＝90v－35B.12035－v＝9035＋vC.120v－35＝90v＋35D.12035＋v＝9035－v7．(2017·泰安)某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x件衬衫，则所列方程为(B)A.10000x－10＝14700（1＋40%）xB.10000x＋10＝14700（1＋40%）xC.10000（1－40%）x－10＝14700xD.10000（1－40%）x＋10＝14700x8．(2017·荆州)若关于x的分式方程k－1x＋1＝2的解为负数，则k的取值范围为k3且k≠1．9．(2016·黔西南)关于x的两个方程x2－x－6＝0与2x＋m＝1x－3有一个解相同，则m＝－8．10．(2017·温州)甲、乙工程队分别承接了160米，200米的管道铺设任务，已知乙比甲每天多铺设5米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米？设甲每天铺设x米，根据题意可列出方程160x＝200x＋5．11．解分式方程：(1)(2017·济宁)2xx－2＝1－12－x；解：去分母，得2x＝x－2＋1.移项、合并同类项，得x＝－1.经检验x＝－1是分式方程的解．(2)(2017·泰州)x＋1x－1＋41－x2＝1.解：去分母，得x2＋2x＋1－4＝x2－1.解得x＝1.经检验x＝1是增根，所以分式方程无解．12．(2017·黄冈)黄麻中学为了创建全省“最美书屋”，购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多5元，已知学校用12000元购买的科普类图书的本数与用9000元购买的文学类图书的本数相等，求学校购买的科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元？解：设文学类图书平均每本的价格为x元，则科普类图书平均每本的价格为(x＋5)元．根据题意，得12000x＋5＝9000x.解得x＝15.经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意，则科普类图书平均每本的价格为15＋5＝20(元)．答：文学类图书平均每本的价格为15元，科普类图书平均每本的价格为20元．13．(2016·威海)某校进行期末体育达标测试，甲、乙两班的学生数相同，甲班有48人达标，乙班有45人达标，甲班的达标率比乙班高6%，求乙班的达标率．解：设乙班的达标率是x，则甲班的达标率为(x＋6%)．根据题意，得48x＋6%＝45x.解得x＝0.9.经检验，x＝0.9是所列方程的根，且符合题意．答：乙班的达标率为90%.14．某商场销售的一款空调机每台的标价是1635元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利9%.(1)求这款空调每台的进价；(利润率＝利润进价＝售价－进价进价)(2)在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100台，问盈利多少元？解：(1)设这款空调每台的进价为x元，根据题意，得1635×0.8－xx＝9%.解得x＝1200.经检验，x＝1200是原方程的解．答：这款空调每台的进价为1200元．(2)100×1200×9%＝10800(元)．答：盈利10800元．15．(2016·凉山)关于x的方程3x－2x＋1＝2＋mx＋1无解，则m的值为(A)A．－5B．－8C．－2D．516．(2017·达州)某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨13.小丽家去年12月份的水费是15元，而今年5月的水费则是30元．已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m3.求该市今年居民用水的价格．设去年居民用水价格为x元/m3，根据题意列方程，正确的是(A)A.30（1＋13）x－15x＝5B.30（1－13）x－15x＝5C.30x－15（1＋13）x＝5D.30x－15（1－13）x＝517．(2016·菏泽)为了响应“十三五”规划中提出的绿色环保的倡议，某校文印室提出了每个人都践行“双面打印，节约用纸”．已知打印一份资料，如果用A4厚型纸单面打印，总质量为400克，将其全部改成双面打印，用纸将减少一半；如果用A4薄型纸双面打印，这份资料的总质量为160克，已知每页薄型纸比厚型纸轻0.8克，求A4薄型纸每页的质量．(墨的质量忽略不计)解：设A4薄型纸每页的质量为x克，则A4厚型纸每页的质量为(x＋0.8)克，根据题意，得400x＋0.8＝160x×2.解得x＝3.2.经检验，x＝3.2是原分式方程的解，且符合题意．答：A4薄型纸每页的质量为3.2克．