1.6-线性代数

线性代数一、行列式二、矩阵三、n维向量四、线性方程组五、矩阵的特征值和特征向量六、二次型把个不同的元素排成一列，叫做这个元素的全排列（或排列）．nn个不同的元素的所有排列的种数用表示，且．nnP!nPn1.全排列一、行列式逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列．在一个排列中，若数，则称这两个数组成一个逆序．nstiiiii21stii一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数．2.逆序数例1计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.217986354解453689712544310010t18此排列为偶排列.540100134nnnpppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD21212121222211121113.n阶行列式的定义.,,2,1;;,,2,12121列取和的所有排表示对个排列的逆序数为这的一个排列为自然数其中ntnppppppnn.094321112xx求解方程例2解方程左端1229184322xxxxD,652xx解得由052xx3.2xx或.,)()4.,)()3.),()2.DD,1)T乘此行列式等于用数一数中所有的元素都乘以同列行列式的某一行等于零则此行列式完全相同列如果行列式有两行行列式变号列互换行列式的两行即式相等行列式与它的转置行列kk4.n阶行列式的性质.,)(,)()8.,)()7.,)()6.)()5行列式的值不变对应的元素上去行后加到另一列然的各元素乘以同一数行把行列式的某一列式之和此行列式等于两个行列则的元素都是两数之和行若行列式的某一列式为零则此行列元素成比例列行列式中如果有两行提到行列式符号的外面以的所有元素的公因子可列行列式中某一行例3计算阶行列式nabbbbabbbbabbbbaD解abbbnababbnabbabnabbbbna1111D将第都加到第一列得n,,3,2abbbabbbabbbbna1111)1(babababbbbna1)1(00.)()1(1nbabna１）余子式与代数余子式.,)1(1的代数余子式叫做元素；记的余子式，记作阶行列式叫做元素列划去后，留下来的行和第所在的第阶行列式中，把元素在aAMAManjianijijijjiijijijij5.行列式按行（列）展开２）关于代数余子式的重要性质.,0;,.,0;,11jijiAjijiAAaAajknkikkjnkki当当或当当例43351110243152113D03550100131111115312cc34cc0551111115)1(330550261155526)1(315028.4012rr6.克拉默法则.,,,2,1.,,2,1,,0.,,122112222212111212111所得到的行列式，换成常数项列中第）是把系数行列式（其中那么它有唯一解的系数行列式如果线性方程组２bbbjDnjDnjDDxDbxaxaxabxaxaxabxaxaxanjjjnnnnnnnnnn.,0.0,0,0221122221211212111那么它没有非零解的系数行列式如果齐次线性方程组Dxaxaxaxaxaxaxaxaxannnnnnnnn.它的系数行列式必为零组有非零解，则如果上述齐次线性方程定理定理二、矩阵1.矩阵的定义mnmmnnaaaaaaaaa212222111211列的数表行排成的个数由nmnjmianmij),2,1;,2,1(mnmn称为行列矩阵，简称矩阵,记作mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211简记为.ijnmijnmaaAA元的矩阵nmA,.,简称为元的元素个数称为这Anm2.几种特殊矩阵(2)只有一行的矩阵,,,,21naaaA称为行矩阵(或行向量).(1)行数与列数都等于的矩阵，称为阶nnA.nA方阵.也可记作,21naaaB只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).称为对角矩阵(或对角阵）.n00000021（3）形如的方阵,OO不全为0记作.,,,21ndiagA（4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作或.nmnmoo注意000000000,0,0,0.00000000不同阶数的零矩阵是不相等的.例如(5)单位阵：对角线上全为1的对角阵100010001nEE称为单位矩阵（或单位阵）.OO全为1(6)对称矩阵定义设为阶方阵，如果A的元素满足那末称为对称阵.Ann,,,j,iaajiij21A.A为对称阵例如6010861612对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.说明2）两个矩阵为同型矩阵,并且对应元素相等,即ijijbBaA与,,,2,1;,,2,1njmibaijij则称矩阵相等,记作BA与.BA例如9348314736521与为同型矩阵.3.同型矩阵与矩阵相等的概念1）两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.例5设,131,213321zyxBA.,,,zyxBA求已知解,BA.2,3,2zyxmnmnmmmmnnnnbababababababababaBA2211222222212111121211111)加法设有两个矩阵那末矩阵与的和记作，规定为nm,bB,aAijijABBA4.矩阵的运算;1ABBA.2CBACBAmnmmnnaaaaaaaaaA1122221112113.,04BABAAA,ija.负矩阵的称为矩阵A.112222111211mnmmnnaaaaaaaaaAA2)数与矩阵相乘规定为或的乘积记作与矩阵数,AAA;1AA;2AAA.3BABA矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.skkjiksjisjijiijbabababac12211,,,2,1;,2,1njmi并把此乘积记作.ABC3)矩阵与矩阵相乘设是一个矩阵，是一个矩阵，那末规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵，其中ijaAsmijbBnsnmijcCAB注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.例１222263422142C221632816?注：（1）矩阵乘法不满足交换律.00,0BAAB或不能得出BAAB2222)(BABABAkkkBAAB)((2)矩阵乘法不满足消去律,即可逆时成立）只有当不能推出由A(CBACAB;1BCACAB,2ACABCBA;CABAACBBABAAB3（其中为数）;;4AEAAE若A是阶方阵，则为A的次幂，即并且5nkAk个kkAAAA,AAAkmkm.mkkmAA为正整数k,m（注：单位矩阵E在矩阵乘法中的作用类似于数1）定义把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.AAA例,854221A;825241TA,6,18B.618TB4）矩阵的转置转置矩阵的运算性质;1AATT;2TTTBABA;3TTAA.4TTTABAB注：若A为对称阵，则TAA5）方阵的行列式定义由阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵的行列式，记作或nAAA.detA8632A例8632A则.2运算性质;1AAT;2AAn;3BAAB.BAAB定义行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵AijAnnnnnnAAAAAAAAAA212221212111性质.EAAAAA称为矩阵的伴随矩阵.A6）伴随矩阵7）逆矩阵定义对于阶方阵，如果有一个阶方阵则说方阵是可逆的，并把方阵称为的逆矩阵.nAB,EBAABBAnA使得.1AA的逆矩阵记作定理1方阵可逆的充要条件是，且,11AAAA0A.的伴随矩阵为矩阵其中AA二阶矩阵的逆矩阵用该公式求，三阶及以上矩阵的逆矩阵用初等变换求。且可逆则数可逆若,,0,2AA且亦可逆则为同阶方阵且均可逆若,,,3ABBA1ABB11A.111AA逆矩阵的运算性质.,,1111AAAA且亦可逆则可逆若.,,0,10kkAAEAA定义时当另外为正整数k.,,4AAAAT且亦可逆则可逆若TT11有为整数时当,,,0A,AAA.AA.AA,A115则有可逆若AAAA32,1,.61且为三阶矩阵设例解：11*AAAA33115155*32AAAA矩阵方程解BAX1BAX1BCAX11BAXBXACAXBBBAABA求设例,2,321011324.7ABAB2ABEA)2(AEAB1)2(定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换:）；记作两行对调两行（对调jirrji,,1;02乘以某一行的所有元素以数k）记作行乘（第krkii,.3）记作行上倍加到第行的对应的元素上去（第倍加到另一行把某一行所有元素的jikrrikjk5.矩阵的初等变换定义2矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换．初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．jirrkri逆变换;jirr逆变换;)1(krkrii或jikrr逆变换.)(jijikrrrkr或定义由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.E三种初等变换对应着三种初等方阵.行（列）上去．乘某行（列）加到另一以数乘某行或某列；以数对调两行或两列；kk.30.2.16.初等矩阵定理设是一个矩阵，对施行一次初等行变换，相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵.nmmnAAAAA初等变换初等矩阵初等逆变换初等逆矩阵初等矩阵的作用定理设A为可逆方阵，则存在有限个初等方阵.,,,,2121llPPPAPPP使.,:~BPAQQnPmBAnm使阶可逆方阵及阶可逆方阵存在的充分必要条件是矩阵推论．等价，记作与就称矩阵，矩阵经有限次初等变换变成如果矩阵BABABA~利用初等变换求逆阵的方法：，有时，由当lPPPA