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第八章圆第29讲圆的有关概念及性质考点一圆的有关概念及性质1．圆的概念有两种方式(1)在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合．2．圆上任意两点间的部分叫做弧；小于半圆的弧叫劣弧；大于半圆的弧叫优弧．3．连接圆上任意两点的线段叫做弦；经过圆心的弦叫做直径；直径是圆内最长的弦；直径等于半径的2倍．4．圆的对称性(1)圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴．(2)圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．(3)圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合，这就是圆的旋转不变性．考点二垂径定理及其推论1．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．如图，CD是⊙O的直径，AB为弦，CD⊥AB，垂足为E，则AE＝EB，AD＝DB，AC＝BC.2．推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．温馨提示：不重合的两条直径一定互相平分，但不一定互相垂直，只有被平分的弦不是直径时才互相垂直.考点三圆心角、弧、弦之间的关系1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．2．推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等．考点四圆心角与圆周角1．定义：顶点在圆心的角叫做圆心角；顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．如图，圆周角∠C和圆心角∠AOB都对着AB，则∠C＝12∠AOB.3．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．温馨提示：1.圆周角定理的意义在于把圆周角和圆心角这两类不同的角联系在一起.2.同一条弧所对的圆周角相等；同一条弦所对的圆周角相等或互补.3.当已知条件中有直径时，常常作直径所对的圆周角，这是圆中常添加的辅助线.考点五圆内接四边形性质定理1．性质定理1：圆内接四边形的对角互补．2．性质定理2：圆内接四边形的外角等于它的对角．如图，四边形ABCD内接于⊙O，则∠A＋∠BCD＝∠B＋∠D＝180°，∠DCE＝∠A.考点六圆的性质的应用1．垂径定理的应用用垂径定理进行计算或证明，常需作出圆心到弦的垂线段(即弦心距)，则垂足为弦的中点，再解由半径、弦心距和弦的一半组成的直角三角形来达到目的．2．借助在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角或圆心角相等进行角的等量代换；也可在同圆或等圆中，由相等的圆周角所对的弧(或弦)相等，进行弧(或弦)的等量代换．考点一垂径定理及其推论例1如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是()A．OE＝BEB.BC＝BDC．△BOC是等边三角形D．四边形ODBC是菱形【点拨】垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧，由此可知BC＝BD，其他结论均错误．故选B.【答案】B考点二圆心角、弧、弦之间的关系例2如图，AB是⊙O的直径，BC＝CD＝DE，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是()A．51°B．56°C．68°D．78°【点拨】∵BC＝CD＝DE，∠COD＝34°，∴∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝34°，∴∠AOE＝180°－34°×3＝78°.∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠A＝12(180°－∠AOE)＝12×(180°－78°)＝51°.故选A.【答案】A方法总结：在同圆或等圆中，如果要证明两条弧、两条弦、两个圆心角中的一组相等，可以考虑通过说明其他两组量中的一组相等来证明.考点三圆周角定理及其推论例3如图，△ABC的顶点A，B，C均在⊙O上，若∠ABC＋∠AOC＝90°，则∠AOC的大小是()A．30°B．45°C．60°D．70°【点拨】∵∠ABC和∠AOC分别是AC所对的圆周角和圆心角，∴∠ABC＝12∠AOC.又∵∠ABC＋∠AOC＝90°，∴12∠AOC＋∠AOC＝90°，∴∠AOC＝60°.故选C.【答案】C方法总结：求圆心角的度数，可以转化为求同弧所对的圆周角的度数；同理，求圆周角的度数，也可以转化为求同弧所对的圆心角的度数.考点四垂径定理的应用例4在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示，若油面AB＝160cm，则油的最大深度为()A．40cmB．60cmC．80cmD．100cm【点拨】如图，作OC⊥AB于点C，并延长与⊙O交与点D，连接OA，∵AB＝160cm，∴AC＝12AB＝80(cm)．在Rt△OAC中，OA＝100cm，∴OC＝OA2－AC2＝1002－802＝60(cm)．∴CD＝OD－OC＝100－60＝40(cm)．故选A.【答案】A方法总结：有关在半圆、优弧、劣弧中求相关数量的题目常通过连接半径、作出弦心距，从而利用垂径定理构造直角三角形解答.1．如图，在⊙O中，半径OD⊥弦AB于点C，则下列结论：①AC＝BC；②AD＝DB；③∠DAB＝12∠AOD；④∠OAB＝∠DAB.其中正确的结论是()A．①②③B．②③④C．①②④D．仅有①②解析：由垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，可得AC＝BC，AD＝BD，故①正确；再由AD＝BD，可得AD＝BD，故②正确；由圆周角定理可得∠DAB＝12∠BOD＝12∠AOD，故③正确；无法得出∠OAB＝∠DAB，故④错误．故选A.答案：A2．已知⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，则AB，CD之间的距离为()A．17cmB．7cmC．12cmD．7cm或17cm解析：分两种情况讨论：(1)当AB，CD在圆心O的同侧时，如图，连接OD，OB，作OF⊥CD于点F，OF交AB于点E，则OE⊥AB.在Rt△OBE中，∠OEB＝90°，OB＝13cm，BE＝12AB＝12(cm)，∴OE＝132－122＝5(cm)．同理OF＝12(cm)．∴EF＝12－5＝7(cm)，即AB，CD之间的距离为7cm.(2)当AB，CD在圆心O的异侧时，同理可得AB，CD之间的距离为17cm.故选D.答案：D3．如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB是()A．正方形B．长方形C．菱形D．以上答案都不对解析：设AB与OC的交点为D，∵OC⊥AB，∴AD＝BD.又∵OD＝CD，∴四边形OACB是平行四边形．又∵OC⊥AB，∴平行四边形OACB是菱形．故选C.答案：C4．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，∠ABC＝120°，AD为⊙O的直径，AD＝6，那么BD＝.解析：如图，连接CD，则四边形ABCD内接于⊙O.∴∠ADC＝180°－∠ABC＝180°－120°＝60°.又∵AB＝BC，∴∠ADB＝12∠ADC＝30°.又∵AD为⊙O的直径，∴∠ABD＝90°.∴在Rt△ABD中，BD＝AD·cos30°＝6×32＝33.答案：335．在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度AB是cm.解析：如图，连接OB，过点O作OD⊥AB于点D，并延长交⊙O于点C，则AD＝BD＝12AB.根据题意可知OB＝OC＝26cm，CD＝16cm，∴OD＝10cm.在Rt△BOD中，BD＝OB2－OD2＝262－102＝24(cm)，∴AB＝2BD＝48(cm)．答案：486．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD.(1)求证：BD平分∠ABC；(2)当∠ODB＝30°时，求证：BC＝OD.证明：(1)∵OD⊥AC，由垂径定理，得OD平分AC，即CD＝AD，∴∠CBD＝∠ABD，即BD平分∠ABC.(2)如图，连接OC，∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠ODB＝30°.由(1)，得∠OBC＝2∠OBD＝60°，又∵OC＝OB，∴△OCB为等边三角形．∴BC＝OC＝OD.考点训练一、选择题(每小题4分，共48分)1．(2021·温州)如图，已知点A，B，C在⊙O上，ACB为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是()A．2∠CB．4∠BC．4∠AD．∠B＋∠C解析：∵∠C和∠AOB分别是AB所对的圆周角和圆心角，∴∠AOB＝2∠C.故选A.答案：A2．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是(D)A．80°B．160°C．100°D．80°或100°3．(2021·内江)如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝60°，AB＝AC＝2，则弦BC的长为()A.3B．3C．23D．4解析：∵AB＝AC，∴AB＝AC，∴OA⊥BC，∠C＝12∠AOB＝30°.设OA与BC的交点为D，则BD＝CD.在Rt△ACD中，∵AC＝2，∠C＝30°，∴AD＝12AC＝1，∴CD＝AC2－AD2＝22－12＝3，∴BC＝2CD＝23.故选C.答案：C4．(2021·苏州)如图，AB是半圆的直径，点D是AC的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于()A．55°B．60°C．65°D．70°解析：连接BD，∵点D是AC的中点，∠ABC＝50°，∴∠ABD＝12∠ABC＝25°.∵AB是半圆的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＝90°－∠ABD＝90°－25°＝65°.故选C.答案：C5．如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点F，连接BC，DB.则下列结论错误的是()A.AD＝BDB．AF＝BFC．OF＝CFD．∠DBC＝90°解析：∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为F，∴AD＝BD，F为AB的中点，即AF＝BF，选项A，B成立；而OF与CF不一定相等，选项C不成立；∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC＝90°，选项D成立．故选C.答案：C6．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AB＝10，AC＝6，OD⊥BC，垂足为D，则BD的长为()A．2B．3C．4D．6解析：∵AB是直径，∴∠C是直角，∴BC＝102－62＝8.∵OD⊥BC，∴根据垂径定理，可得BD＝12BC＝4.故选C.答案：C7．(2021·长春)如图，在⊙O中，AB是直径，BC是弦，点P是BC上任意一点，若AB＝5，BC＝3，则AP的长不可能是()A．3B．4C.92D．5解析：如图，连接AC，∵在⊙O中，AB是直径，∴∠C＝90°.∵AB＝5，BC＝3，∴AC＝AB2－BC2＝52－32＝4.∵点P是BC上任意一点，∴4≤AP≤5.故选A.答案：A8．(2021·北京)如图，⊙O的直径AB⊥弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为()A．22B．4C．42D．8解析：连接DO，∵∠A＝22.5°，∴∠BOC＝45°.∵直径AB⊥CD，∴BC＝BD，∴∠BOC＝∠BOD＝45°，∴∠COD＝90°.在Rt△COD中，∵OC＝4，∴CD＝OC2＋OD2＝42＋42＝42.故选C.答案：C9．如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B，C两点，已知B(8,0)，C(0，6)，则⊙A的半径为()A．3B．4C．5D．8解析：方法一：如图①，连接BC，∵B(8,0)，C(0,6)，∴OB＝8，OC＝6.∵∠BOC＝90°，∴BC＝OB2＋OC2＝10.又∵∠BOC＝90°是圆周角，∴BC为⊙A的直径，∴⊙A的半径为5.故选C.图①方法二：如图②，过点A作AD⊥x轴于点D，AE⊥y轴于点E，垂足分别为D，E.图②∵B(8,0)，C(0,6)，∴OB＝8，OC＝6，∴OD＝4，OE＝3.∵∠BOC＝∠ADO＝∠AEO＝90°，∴四边形ADOE是矩形，∴AD＝OE＝3，∴OA＝OD2＋AD2＝5.故选C.答案：C10．(2021·连云港)如图，点P在以AB为直径的半圆内，连接AP，BP，并延长分别交半圆于点C，D，连接AD，BC并延长交于点F，作直线PF，下列说法一定正确的是()①AC垂直平分BF；②AC平分∠BAF；③FP⊥AB；④BD⊥AF.A．①③B．①④C．②④D．③④解